流体力学课后习题答案刘鹤年


2.17 用多管水银测压计测压,图中标高的单位为 m,试求水面的压强 p 0 。



1 .4

1 .2
Δ


解:
p 0 ? p 4 ? ? 3 .0 ? 1 .4 ? ? g ? p 5 ? ? 2 .5 ? 1 .4 ? ? H g g ? ? 3 .0 ? 1 .4 ? ? g

? p a ? ? 2 .3 ? 1 .2 ? ? H g g ? ? 2 .5 ? 1 .2 ? ? g ? ? 2 .5 ? 1 .4 ? ? H g g ? ? 3 .0 ? 1 .4 ? ? g ? p a ? ? 2 .3 ? 2 .5 ? 1 .2 ? 1 .4 ? ? H g g ? ? 2 .5 ? 3 .0 ? 1 .2 ? 1 .4 ? ? g
? p a ? ? ? 2 .3 ? 2 .5 ? 1 .2 ? 1 .4 ? ? 1 3 .6 ? ? 2 .5 ? 3 .0 ? 1 .2 ? 1 .4 ? ? g ? ? g ? ?

? p a ? 2 6 5 .0 0 (kPa)

答:水面的压强 p 0 ? 2 6 5 .0 0 kPa。

2.21 绘制题图中 AB 面上的压强分布图。

A h1 h2 h2 h1 B B

Δ

Δ

Δ

Δ

p0

3 .0 2 .5



2 .3

A

A

h

B

解:

A
ρ g h1 ρ g h1 ρ g h1

ρgh2

B

A
ρ g (h 2 -h1)

ρ g (h 2 -h1)

B

A

B

ρgh

2.24 矩形平板闸门 AB ,一侧挡水,已知长 l =2m,宽 b =1m,形心点水深 h c =2m,倾角 ? =
45 ? ,闸门上缘 A 处设有转轴,忽略闸门自重及门轴摩擦力,试求开启闸门所需拉力 T 。

T

hc

A

b
B α
解: (1)解析法。
P ? p C ? A ? h C ? g ? b l ? 1 0 0 0 ? 9 .8 0 7 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 9 .2 2 8 (kN)
bl y D ? yC ? IC yC A ? hC s in ? ? hC s in ?
3

12 ? bl

?

2 s in 4 5
?

?

2

l
2

12 ? 2 s in 4 5
?

? 2

2 ?

2 12

? 2 .9 4 6 (m)

对 A 点取矩,当开启闸门时,拉力 T 满足:
P ? y D ? y A ? ? T ? l co s ? ? 0

T ?

P ? ? yD ? yA ? l co s ?

?

? ? 2 l l ?? ? hC ? hC ? P ?? ? ? ? sin ? 1 2 ? h C 2 ?? ? sin ? ? ? sin ? ? ? l ? co s ?

?

? ? 2 l l ? ? P ? ? 1 2 ? hC 2? ? ? sin ? ? ? l ? co s ?

? 3 .9 2 2 8 ?

?1 12 ? 2 ? co s 4 5

2

? 3 1 .0 0 7 (kN)

当 T ? 3 1 .0 0 7 kN 时,可以开启闸门。 (2)图解法。 压强分布如图所示:

T T P1 A

P2

D1 D2 B
l ? ? ? p A ? ? h C ? sin 4 5 ? ? g ? 1 2 .6 8 (kPa) 2 ? ? l ? ? ? p B ? ? h C ? s in 4 5 ? ? g ? 2 6 .5 5 (kPa) 2 ? ?

P ?

? pA

? pB ? ?

lb 2

?

? 1 2 .6 8 ? 2 6 .5 5 ? ? 2 ? 1
2

? 3 9 .2 3 (kN)

? 对 A 点取矩,有 P1 ? A D 1 ? P2 ? A D 2 ? T ? A B ? co s 4 5 ? 0

pA ?l ?b ?

l 2

?

? pB

? pA ??l ?
?

1 2

?b?

2 3

l

∴ T ?

l ? cos 45

1 2 .6 8 ? 1 ? 1 ? ? 2 6 .5 5 ? 1 2 .6 8 ? ? 1 ? ? cos 45
?

2 3

? 3 1 .0 0 9 (kN)

答:开启闸门所需拉力 T ? 3 1 .0 0 9 kN。 2.25 矩形闸门高 h =3m,宽 b =2m,上游水深 h 1 =6m,下游水深 h 2 =4.5m,试求: (1) 作用在闸门上的静水总压力; (2)压力中心的位置。

h1

解: (1)图解法。 压强分布如图所示:

h1 h2

h

p
∵ p ? ? ? h1 ? h ? ? ? h 2 ? h ? ? ? g ? ?
? ? h1 ? h 2 ? ? g

h2

? ? 6 ? 4 .5 ? ? 1 0 0 0 ? 9 .8 0 7

? 1 4 .7 1 (kPa)
P ? p ? h ? b ? 1 4 .7 1 ? 3 ? 2 ? 8 8 .2 6 3 (kN)

合力作用位置:在闸门的几何中心,即距地面 (1 .5 m , ) 处。
2

b

(2)解析法。
P1 ? p 1 A ? ? g ? h1 ? 1 .5 ? ? h b ? ? 6 ? 1 .5 ? ? 9 8 0 7 ? 3 ? 2 ? 2 6 4 .7 8 9 (kN)
bh y D1 ? yC 2 ?
1 4 .5
3

IC yC 2 A

? 4 .5 ?

1 12 ? 4 .5 ? b h 4 .5

? h ? 2 ? 4 .5 ? ? 12 ? ?
2

?

? ? 2 0 .2 5 ? 0 .7 5 ? ? 4 .6 6 7 (m)

P2 ? p 2 A ? ? g ? h 2 ? 1 .5 ? ? h b ? 3 ? 9 .8 0 7 ? 3 ? 2 ? 1 7 6 .5 2 6 (kN)
IC yC1 A IC ? 1 2 1 ? 2 ? yC1 ? ? ? ? 3 ? 0 .7 5 ? ? 3 .2 5 (m) yC1 ? A ? 3

y D 2 ? yC1 ?

?

合力: P ? P1 ? P2 ? 8 8 .2 6 3 (kN) 合力作用位置(对闸门与渠底接触点取矩) :
y D P ? P1 ? h1 ? y D 1 ? ? P2 ? h 2 ? y D 2 ?
P1 ? h1 ? y D 1 ? ? P2 ? h 2 ? y D 2 ? P 2 6 4 .7 8 9 ? ? 6 ? 4 .6 6 7 ? ? 1 7 6 .5 2 6 ? ? 4 .5 ? 3 .2 5 ? 8 8 .2 6 3

yD ?

?

? 1 .4 9 9 (m)

答: (1)作用在闸门上的静水总压力 8 8 .2 6 3 kN; (2)压力中心的位置在闸门的几何中心, 即距地面 (1 .5 m , ) 处。
2 b

2.29 一弧形闸门,宽 2m,圆心角 ? = 30 ? ,半径 R =3m,闸门转轴与水平齐平,试求作用 在闸门上的静水总压力的大小和方向。

R A α

h

B
? R s in ? ?
2
2

解: (1)水平压力: Px ?

? g ?b ?

? 3 ? s in 3 0 ?
?

2

? 2 ? 9 .8 0 7

2

? 2 2 .0 6 6 (kN)

(→)
1 12
2

(2)垂向压力: Pz ? V ? g ? ? g ? ? R 2 ?
?
2

?

?

1 2

? R s in ? ? R c o s ? ? ?

?? ?3 3 ? ? ? 9 .8 0 7 ? ? ? s in 3 0 c o s 3 0 12 2 ?

? ?? 2 ?

? 7 .9 9 6 (kN)

(↑)
2

合力: P ?
? ? a rc ta n
Pz Px

Px ? Pz ?
2 2

2 2 .0 6 6 ? 7 .9 9 6
2

? 2 3 .4 7 0 (kN)

? 1 9 .9 2

?

A
θ

P

B
? 答:作用在闸门上的静水总压力 P ? 2 3 .4 7 0 kN, ? ? 1 9 .9 2 。

4.7 一变直径管段 AB,直径 dA=0.2m,dB=0.4m,高差△h=1.5m,测得 pA=30kPa, pB=40kPa,B 点处断面平均流速 vB=1.5m/s.水在管中的流动方向。
解:
vB ? vA ?

?
4 d

dB
2 A

2

?
4

?

1 .5 ? 0 .4 0 .2
2

2

? 6m s

以过 A 点的水平面为等压面,则

H

A

?

pA

?g

?

vA

2

? vB
2

30 9 .8

?

6

2

2g pB ?

2 ? 9 .8 40 9 .8

? 4 . 8980 mH 2 O ? 1 .5
2

H

B

? h?

?g

? 1 .5 ?

2g

2 ? 9 .8

? 5 . 6964 mH 2 O

可以看出: H B ? H A ,水将从 B 点流向 A 点。
pA vA
2

或: z A ?

?g

?

2g

? zB ?

pB

?g

?

vB

2

2g

? hw

解得水头损失为: h w ? ? 0 . 7984 mH 2 O ,水将从 B 点流向 A 点。

4.17 水由喷嘴射出, 如图 6-32 所示。 已知流量 Q=0.4m3/s, 主管直径 D=400mm, 喷嘴直径 d=100mm,水头损失不计,水流作用在喷嘴上的力。 解:

根据连续性方程得

v1 ? v2 ?

4Q

?D
4Q

2

? ?

4 ? 0 .4 3 . 14 ? 0 . 4 4 ? 0 .4 3 . 14 ? 0 . 1
2 2

? 3 . 185 m/s ? 50 . 955 m/s

?d

2

根据伯努利方程得

p1

?
p1 ? 1 2
2 1

?
2

v1

2

?
1 2

v2

2

2g
2

2g
? 1 ? ( 50 . 955
2

?( v ? v ) ?

? 3 . 185

2

) ? 1293 . 134 kPa

根据动量方程得

p1

?D
4

2

? R ? ? Q ( v 2 ? v1 )

? R ? ? Q ( v 2 ? v1 ) ? p 1

?D
4

2

? 1 ? 0 . 4 ? ( 50 . 955 ? 3 . 185 ) ? 1293 . 134 ? ? ? 143 . 31 kN
水流作用在喷嘴上的力为 143.31 kN

3 . 14 ? 0 . 4 4

2

4.18 闸下出流,平板闸门宽 b=2m,闸前水深 h1=4m,闸后水深 h2=0.5m,出流量 Q=8m3/s,不计摩擦阻力,水流对闸门的作用力, ,并与按静水压强分布规律计算 的结果相比较。

4.19 矩形断面的平底渠道,宽度 B=2.7m,渠底在某断面处抬高 0.5m,抬高前的 水深 h=2m,下游水面降低 h1=0.15m,如忽略边壁和底部阻力,试求:1 渠道的流 量;2 水流对底坎的冲力 R。 解: 对 1-1 和 2-2 断面列能量方程:
z1 ? v1
2

2g

? z2 ?

v2

2

2g

? hw

v2

2

?

3v1

2

2g

4g

? ? h 1 ? h 2 ? ? ? ? 0 . 12 m

? A2 ? ? 1 . 38 ? ? ? v2 ? v1 ? v 2 ? ? ? 0 . 766 v 2 ? A ? ? 1 .8 ? ? 1 ? v 2 ? 1 . 6057 m s v 1 ? 1 . 231 m s Q ? 5 . 9829 m
3

s

取基准面 O-O 与上游渠道底部重合,对计算断面 1-1、2-2 列伯努利方程

由连续性方程得

上面两式联立可得到流量为 v2=2.32m/s v1=1.57m/s Q=8.47m3/s 取计算断面 1-1、2-2 和渠道间的水体为控制体,列动量方程 P1-P2-R'=ρ Q(β 2v2-β 1v1) 其中

底坎对水流的作用力为 R'=P1-P2-ρ Q(v2-v1)=22.4kN 水流对底坎的推力 R=-R',大小为 22.4kN,方向水 平向右,

6-23 输水管道中设有阀门,已知管道直径为 50 ㎜, 通过流量为 3.34 l/s,水银压差计读值Δh=150 ㎜,沿程 水头损失不计,试求阀门的局部阻力系数。 解:
? ?
4Q

?d

2

?

4 ? 0 . 00334

? ? 0 . 05 ?

2

? 1 . 70 m / s

h m ? 12 . 6 ? h ? 12 . 6 ? 0 . 15 ? 1 . 89 m

6-27 水管直径为 50 ㎜,1、2 两断面相距 15 m,高差 3 m,通过流量 Q=6 l/s,水银压差计读值为 250 ㎜,试求 管道的沿程阻力系数。 解:

? ?
Z1 ?

4Q

?d
p1

2

?

4 ? 0 . 006

? ? 0 . 05 ?
2

2

? 3 . 06 m / s
p2

?g

?

?1

2g

? Z2 ?

?g

?

?2

2

2g

? hf

? p ? ? p ? Z1 ? 1 ? ? ? Z 2 ? 2 ? ? h f ? ?g ? ? ?g ? ? ? 1 2 .6 h p ? 1 2 .6 ? 0 .2 5 ? 3 .1 5 m
hf ? ? l ?
2

? 3 . 15 m

d 2g

? ?
15

3 .1 5 ? 3 .0 6
2

? 0 .0 2 2

0 .0 5

1 9 .6

6-28???? 7-9 薄壁孔口出流, 直径 d=2mm,水箱水位恒定 H=2m, 试求: (1) 孔口流量 Q; (2)此孔口外接圆柱形管嘴的流量 Qn; (3) 管嘴收缩断面的真空。 解: (1) (2) (3)
pv
Q =? A 2 g H ? 0 .6 2 ?

? ? 0 .0 2 ?
4
2

2

2 g ? 2 ? 1 .2 2 m /s
3

Qn ? ? n A

2 g H ? 0 .8 2 ?

? ? 0 .0 2 ?
4

2 g ? 2 ? 1 .6 1 m /s
3

?g

? 0 .7 5 H ? 0 .7 5 ? 2 ? 1 .5 m

7-14 虹吸管将 A 池中的水输入 B 池, 已知长度 l1=3m, l2=5m, 直径 d=75mm,两池水面高差 H=2m,最大超高 h=1.8m,沿程 阻力系数λ=0.02,局部阻力系数:进口ζa=0.5,转弯ζb =0.2, 出口ζc=1。 试求流量及管道最大超高断面的真空度。 解:列上下游水池的伯诺里方程 H ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? hl

8 ? ? l ? l2 ?? ? ?? hl ? ? ? 1 ??a ??b ??c ? ? ? 0 .0 2 ? ? 0 .5 ? 0 .2 ? 1 ? ? 3 .8 3 d 0 .0 7 5 2g ? ? 2g ? ? 2g
2 2 2

? ?

? 3 .2 0 m s 3 .8 3 2 ? ? ? 0 .0 7 5 ? Q ? ? A ? 3 .2 0 ? ? 1 4 .1 3 4 3 .8 3

2 gH

?

1 9 .6 ? 2

l/s

列上游水池和最大超高处的伯诺里方程
H ? Pv pa

?g
?

?0? h?

pc

?g ?
2

?

?

2

2g

? h l1

h l1

? ? l ? ? ? ? 1 ? ? a ? ? b ? ? 1 .5 ? 2 .5 ? 2g ? d ?
2

Pa ? Pc

?g

?g

? h?

2g

? 1 ? 1 .5 ? ? 1 .8 ? 2 .5 ?

3 .2 0

2

? 3 .1 1m

1 9 .6

8-11


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