第3章 流体运动的基本概念和方程


《流体力学》 流体力学》 第三章流体运动的基本概念 和基本方程
西北工业大学 动力与能源学院

第三章 流体运动的基本概念和基本方程
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 §3.9 §3.10 §3.11 研究流体流动的方法 流动的分类 迹线与流线 流管 流束 流量 系统与控制体 连续方程 动量方程与动量矩方程 动量方程与动量矩方程 能量方程 伯努利方程及其应用 沿流线主法线方向压强和速度的变化 粘性流体总流的伯努利方程 粘性流体总流的伯努利方程

§3.1 研究流体流动的方法
一、欧拉法
1.方法概要 1.方法概要
着眼于流场中各空间点时的运动情况, 流场中各空间点时的运动情况 着眼于流场中各空间点时的运动情况,通过综合流场 中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律, 中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律,来获得 整个流场的运动特性。 整个流场的运动特性。 流场:充满运动流体的空间。 流场:充满运动流体的空间。

2. 研究对象
流场

§3.1 研究流体流动的方法 研究流体流动的方法
一、欧拉法(续) 欧拉法(
3.运动描述 3.运动描述
流速场: 流速场:

?u x = u x ( x, y, z , t ) ? ?u y = u y ( x, y, z , t ) ?u = u ( x, y, z , t ) ? z z

?

其他物理量( 其他物理量(N)场:

压强场: 压强场: 密度场: 密度场:

p = p ( x, y , z , t )
ρ = ρ ( x, y , z , t )

N = N ( x, y , z , t )

§3.1 研究流体流动的方法 研究流体流动的方法
一、欧拉法(续) 欧拉法(
4.加速度及其他物理量的时间变化率 4.加速度及其他物理量的时间变化率
(1)加速度
ax = dv x ?v x ? v x dx ? v x dy ? v x dz = + + + ?t ? x dt ? y dt dt ? z dt

?v x ? v x dx ? v x dy ? v x dz ? ax = + + + ? ?t ? x dt ? y dt ? z dt ? ? ?v y ? v y dx ? v y dy ? v y dz ? + + + ?a y = ?t ? x dt ? y dt ? z dt ? ? ?v z ? v z dx ? v z dy ? v z dz + + + ?a z = ?t ? x dt ? y dt ? z dt ? ?



r r r r ?v a = + (v ? ? )v ?t

§3.1 研究流体流动的方法 研究流体流动的方法
一、欧拉法(续) 欧拉法(
4.加速度及其他物理量的时间变化率( 4.加速度及其他物理量的时间变化率(续) 加速度及其他物理量的时间变化率
(1)加速度

r r ?v r r a = + (v ? ? )v ?t
r ?v ?t

当地加速度: 当地加速度:表示通过固定空间点的流体质点速度 随时间的变化率; 随时间的变化率; 迁移加速度: 迁移加速度:表示流体质点所在空间位置的变化 所引起的速度变化率。 所引起的速度变化率。

r r (v ? ? )v

§3.1 研究流体流动的方法 研究流体流动的方法
一、欧拉法(续) 欧拉法(
4.加速度及其他物理量的时间变化率( 4.加速度及其他物理量的时间变化率(续) 加速度及其他物理量的时间变化率
(2)其他物理量的时间变化率
r d ? = + v ?? dt ?t

密度: 密度:

dρ ? ρ r = + v ??ρ dt ?t

dρ ? ρ ?ρ ?ρ ?ρ = + vx + vy + vy dt ?t ?x ?y ?z

§3.1 研究流体流动的方法 研究流体流动的方法
二、拉格朗日法
1.方法概要 1.方法概要
着眼于流体各质点的运动情况,研究各质点的运动历 着眼于流体各质点的运动情况, 程,通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个 流体运动的规律。 流体运动的规律。

2. 研究对象
流体质点

§3.1 研究流体流动的方法 研究流体流动的方法
二、拉格朗日法(续) 拉格朗日法(
3.运动描述 3.运动描述
? x = x ( a , b, c , t ) ? 流体质点坐标: 流体质点坐标: ? y = y (a, b, c, t ) ? z = z ( a , b, c , t ) ?

流体质点速度: 流体质点速度:

vx =

dx dy dz ,v y = , z = v dt dt dt

d 2x d2y d 2z 流体质点加速度: 流体质点加速度: a x = 2 ,a y = 2 ,a z = 2 dt dt dt

§3.1 研究流体流动的方法 研究流体流动的方法
三、两种方法的比较
拉格朗日法 分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数的空间分布

不适合描述流体微元的运动变形特性 适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法

§3.2 流动的分类
按照流体性质分: 按照流体性质分:
理想流体的流动和粘性流体的流动 不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动

按照流动状态分: 按照流动状态分:
定常流动和非定常流动 有旋流动和无旋流动 层流流动和紊流流动

按照流动空间的坐标数目分: 按照流动空间的坐标数目分:
一维流动、 一维流动、二维流动和三维流动

§3.2 流动的分类
一、定常流动和非定常流动
1. 定常流动
流动参量不随时间变化的流动。 流动参量不随时间变化的流动。 不随时间变化的流动

r r v = v ( x, y , z ) p = p ( x, y , z ) ρ = ρ ( x, y , z )
特点:流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数, 特点:流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数, 而与时间无关。 而与时间无关。 即:
? () =0 ?t

§3.2 流动的分类
一、定常流动和非定常流动(续) 定常流动和非定常流动(
2. 非定常流动
流动参量随时间变化的流动。 流动参量随时间变化的流动。 r r v = v ( x, y , z , t )

p = p ( x, y , z , t )

ρ = ρ ( x, y , z , t )
特点:流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数, 特点:流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数, 而且与时间有关。 而且与时间有关。 ? () 即: ≠0 ?t

§3.2 流动的分类
二、一维流动、二维流动和三维流动 一维流动、
1. 定义
流动参量是几个坐标变量的函数,即为几维流动。 流动参量是几个坐标变量的函数,即为几维流动。
一维流动 二维流动 三维流动
r r v = v (x) r r v = v ( x, y ) r r v = v ( x, y , z )

2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具 .实际流体力学问题均为三元流动 实际流体力学问题均为三元流动。 体情况加以简化。 体情况加以简化。

§3.3 迹线与流线
一、迹线
1. 定义
流体质点的运动轨迹。 拉格朗日方法研究的内容 研究的内容。 流体质点的运动轨迹。是拉格朗日方法研究的内容。

§3.3 迹线与流线
二、流线
1. 定义
在同一瞬间, 在同一瞬间,位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此 线在该点的切线重合,则这条线称为流线。适于欧拉方法 欧拉方法。 线在该点的切线重合,则这条线称为流线。适于欧拉方法。
u6 u1 1 2 u2 3 4
流线

u3

6 u 5 5 u4

§3.3 迹线与流线
u6

二、流线(续) 流线(
2. 流线微分方程
1

u1 2

u2 3
流 线

u3 4

5

6 u5 u4

r r v × ds = 0
r v dx ? cos(v , x) = x = v ds ? ? v y dy ? r = ? cos(v , y ) = v ds ? r vz d ? cos(v , z ) = = v ds ? ?

?

dx dy dz = = vx v y vz

§3.3 迹线与流线
二、流线(续) 流线(
3. 流线的性质
(1)流线彼此不能相交。 流线彼此不能相交。 (2)流线是一条光滑的曲线, 流线是一条光滑的曲线, 不可能出现折点。 不可能出现折点。 (3)定常流动时流线形状不变, 定常流动时流线形状不变, 非定常流动时流线形状发生变化。 非定常流动时流线形状发生变化。
v1
折点 交点

v1 v2

s1

s2
v2

s

§3.4 流管 流束 流量
一、流管 流束
1. 流管 流束
流管:在流场内任意作一封闭曲线(不是流线),通过封闭曲线 流管:在流场内任意作一封闭曲线(不是流线),通过封闭曲线 ), 上所有各点作流线,所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。 上所有各点作流线,所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。

流束:流管内部的流体称为流束。封闭曲线无限小时所形成的流管 流束:流管内部的流体称为流束。封闭曲线无限小时所形成的流管 无限小

§3.4 流管 流束 流量
一、流管 流束(续) 流束(
2. 微元流管
微元流管:封闭曲线无限小时所形成的流管 微元流管:封闭曲线无限小时所形成的流管 无限小 微元流管的极限为流线 微元流管的极限为流线

§3.4 流管 流束 流量
二、缓变流 急变流
缓变流: 缓变流:流线平行或接近平行的流动 急变流:流线间相互不平行, 急变流:流线间相互不平行,有夹角的流动
急变流 缓变流 缓变流 急变流 缓变流 急变流

缓变流

缓变流

急变流

急变流

§3.4 流管 流束 流量
三、有效截面 流量 平均流速
1.有效截面 1.有效截面
处处与流线相垂直的流束的截面

2.流量 2.流量
单位时间内流经某一规定表面的流体量 r qv = ∫∫ v cos(v , x)dA 有效截面: 有效截面: qv = ∫∫ vdA
A
A

3.平均流速 3.平均流速
流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商

va = qv A

§3.4 流管 流束 流量
四、湿周 水力半径
1.湿周 1.湿周
在有效截面上, 在有效截面上,流体同固体边界接触部分的周长
A R B Χ=2πR C Χ=AB+BC+CD B Χ=ABC D A C

2.水力半径 2.水力半径
有效截面积与湿周之比称为水力半径
Rh = A X

§3.5 系统与控制体
一、系统 控制体
1.系统 1.系统
一团流体质点的集合,拉格朗日法研究流体运动的研究对象。 一团流体质点的集合,拉格朗日法研究流体运动的研究对象。 始终包含确定的流体质点 有确定的质量 系统的表面常常是不断变形地

2.控制体 2.控制体
流场中某一确定的空间区域,欧拉法研究流体运动的研究对象。 流场中某一确定的空间区域,欧拉法研究流体运动的研究对象。 控制体的周界称为控制面 一旦选定后, 一旦选定后,其形状和位置就固定不变

§3.5 系统与控制体
一、系统 控制体 (续)
z
II

z v n
α I II '

n v
α III

o y x
t时刻 系统 控制体
x

o

y

t+δt时刻 t+δ

§3.5 系统与控制体
二、输运公式
将拉格朗日法求系统内物理量的时间 拉格朗日法求系统内物理量的时间 欧拉法去计算的公式 变化率转换为按欧拉法 变化率转换为按欧拉法去计算的公式 推导过程: 推导过程: (1)符号说明 符号说明
x z v n
α I II '

n v
α III

o

y

t时刻该系统内流体所 N : t时刻该系统内流体所 具有的某种物理量( 具有的某种物理量(如质 动量等) 量、动量等) n : 单位质量流体所具有的 物理量

系统所占有 的空间体积 t时刻 时刻 t+δt时刻 δ 时刻 II II’+III

控制体所占有 的空间体积 II II’+I

§3.5 系统与控制体
二、输运公式(续) 输运公式(
推导过程( 推导过程(续):
? ? ? ? ? ∫∫∫ηρdV ? ?? ∫∫∫ηρdV ? V′ ?t +δt ? V ?t = lim ? δt δt → 0 x
z v n
α I II '

n v
α III

dN d = ∫∫∫ηρdV dt dt V

o

y

dN dt

? ? ? ? ? ∫∫∫ηρdV ? ?? ∫∫∫ηρdV ? ′ ?t +δt ? II ′ ?t = lim ? II δt δt → 0

? ? ? ? ? ∫∫∫ηρdV ? ?? ∫∫∫ηρdV ? ?t +δt ? I ?t + lim ? III δt δt → 0

§3.5 系统与控制体
二、输运公式(续) 输运公式(
推导过程( 推导过程(续):
dN dt
? ? ? ? ? ∫∫∫ηρdV ? ?? ∫∫∫ηρdV ? ′ ?t +δt ? II ′ ?t = lim ? II δt δt →0 ? ? ? ? ? ∫∫∫ηρdV ? ?? ∫∫∫ηρdV ? ? t +δt ? I ?t + lim ? III δt δt →0
z v n
α I II '

n v
α III

o x

y

? ? ? ? ? ∫∫∫ηρdV ? ?? ∫∫∫ηρdV ? ′ ? t +δt ? II ′ ?t lim ? II δt δt → 0
? ? ? ∫∫∫ηρdV ? lim ? III δt ?t +δt δ t →0

=

? ?t

∫∫∫ηρdV

=

∫∫ηρv cos αdA = ∫∫ηρvn dA
CS 2 CS 2

?

dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

? ? ? ∫∫∫ηρdV ? lim ? I δt ?t δt → 0

= ∫∫ηρv cos αdA = ? ∫∫ηρvn dA
CS1 CS1

§3.5 系统与控制体
二、输运公式(续) 输运公式(
物理意义: 物理意义:
dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS
z v n
α I II '

n v
α III

o x

y

系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组 成,等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单 位时间内通过控制面的该物理量的净通量。 位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
定常流动: 定常流动:

dN = ∫∫ηρvn dA dt CS

在定常流动条件下, 在定常流动条件下,整个系统内部的流体所具有 的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有 而不必知道系统内部流动的详细情况。 关,而不必知道系统内部流动的详细情况。

§3.6 连续方程
一、连续方程(积分形式) 连续方程(积分形式)
本质: 本质:质量守恒定律 单位质量

η =1
dm =0 dt

系统的质量 N = ∫∫∫ ρdV = m
V

?

? ∫∫∫ ρdV + ∫∫ ρvn dA = 0 ?t CV CS

dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

§3.6 连续方程
二、连续方程的其它形式
定常流动: 定常流动: 一维定常流: 一维定常流:

∫∫ ρv dA = 0
n CS

定常流动条件下, 定常流动条件下,通过控 制面的流体质量等于零

在定常流动条件下, 在定常流动条件下,通 过流管的任意有效截面 质量流量是常量 是常量。 ρv1a A1 = ρv2 a A2 = 常数 的质量流量是常量
n1 A1 A2

∫∫ ρv

dA = ∫∫ ρvn 2 dA

不可压缩 一维定常流: 一维定常流:

va A = 常数

在定常流动条件下, 在定常流动条件下,通 过流管的任意有效截面 体积流量是常量 是常量。 的体积流量是常量

§3.7 动量方程与动量矩方程
惯性坐标系中的动量方程(积分形式) 一、惯性坐标系中的动量方程(积分形式)
本质:动量定理--动量定理的时间变化率等于外力的矢量和 本质:动量定理--动量定理的时间变化率等于外力的矢量和 -- 单位质量 流体的动量 流体系统 的动量

r η =v
r N = ∫∫∫ ρv dV
V

动量定理

?

r r r r ? ρv dV + ∫∫ ρvn v dA = ∫∫∫ ρfdV + ∫∫ pn dA ?t ∫∫∫ CV CS V CS

r r 系统上外力 ∫∫∫ ρfdV + ∫∫ pn dA

的矢量和

V

A

dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

§3.7 动量方程与动量矩方程
惯性坐标系中的动量方程(积分形式)( )(续 一、惯性坐标系中的动量方程(积分形式)(续)
定常流动的动量方程

r r r ρvn v dA = ∫∫∫ ρfdV + ∫∫ pn dA ∫∫
CS V CS

定常流动条件下, 定常流动条件下,控制体内质量力的主矢量与控制 面上表面力的主矢量之和应等于单位时间内通过控 制体表面的流体动量通量的主矢量。 制体表面的流体动量通量的主矢量。

§3.7 动量方程与动量矩方程
惯性坐标系中的动量矩方程(积分形式) 二、惯性坐标系中的动量矩方程(积分形式)
本质:动量矩定理--动量矩的时间变化率等于外力矩的矢量和 本质:动量矩定理--动量矩的时间变化率等于外力矩的矢量和 -- 单位质量流 体的动量矩

r r η = r ×v

动量矩定理 流体系统 r r 的动量矩 N = ∫∫∫ ρr × v dV

?

V

r r r r ? ∫∫∫ ρr × v dV + ∫∫ ρvn r × v dA ?t CV CS r r r r = ∫∫∫ ρr × fdV + ∫∫ r × pn dA
CV CS

r r r r 系统上外力 ρr × fdV + ∫∫ r × p n dA 矩的矢量和 ∫∫∫ V A

dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

§3.7 动量方程与动量矩方程
二、惯性坐标系中的动量矩方程(积分形式)(续) 惯性坐标系中的动量矩方程(积分形式)(续 )(
定常流动的动量矩方程

r r r r r r ∫∫ ρvn r × v dA = ∫∫∫ ρr × fdV + ∫∫ r × pn dA
CS CV CS

定常流动条件下, 定常流动条件下,控制体内质量力矩的主矢量与控 制面上表面力矩的主矢量之和应等于单位时间内通 过控制体表面的流体动量矩通量的主矢量。 过控制体表面的流体动量矩通量的主矢量。

§3.7 动量方程与动量矩方程
旋转坐标系中的动量方程(积分形式) 三、旋转坐标系中的动量方程(积分形式)
由相对运动理论,在旋转坐标系中: 由相对运动理论,在旋转坐标系中:
绝对加速度=相对加速度+牵连加速度+ 绝对加速度=相对加速度+牵连加速度+哥氏加速度

r r r r r r r dv r 2r a = a r + ae + a g = ? ω r + 2ω × vr dt

§3.7 动量方程与动量矩方程
旋转坐标系中的动量方程(积分形式)( )(续 三、旋转坐标系中的动量方程(积分形式)(续)
动量的时间变化率
r r rd d dv ρv dV = ∫∫∫ ρdV + ∫∫∫ v ( ρdV ) ∫∫∫ dt V dt V dt V

d d ( ρdV ) = (dm) = 0 dt dt

r r r r dv r dvr 2r =a= ? ω r + 2ω × vr dt dt

r r r r r d dv ρv dV = ∫∫∫ r ? ω 2 r + 2ω × vr ) ρdV ( ? dt ∫∫∫ dt V V
r r r r r r r r dvr a = a r + ae + a g = ? ω 2 r + 2ω × vr dt dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

§3.7 动量方程与动量矩方程
旋转坐标系中的动量方程(积分形式)( )(续 三、旋转坐标系中的动量方程(积分形式)(续)
r r r r d dvr 2r 动量的时间变化率 ( ∫∫∫ ρv dV = ∫∫∫ dt ? ω r + 2ω × vr ) ρdV dt V V

外力的矢量和

r r ∫∫∫ ρfdV + ∫∫ pn dA
V A

r r r r dv r 2r ∫∫∫ ρ dt dV = ∫∫∫ ρ ( f + ω r ? 2ω × vr )dV + ∫∫ pn dA CV CV CS
r r r r r r r ? ρvr dV + ∫∫ ρvrn vr = ∫∫∫ ρ ( f + ω 2 r ? 2ω × vr )dV + ∫∫ pn dA ∫∫∫ ?t CV CS CV CS
dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

? r

动量定理

§3.7 动量方程与动量矩方程
旋转坐标系中的动量矩方程(积分形式) 四、旋转坐标系中的动量矩方程(积分形式)
动量矩的时间变化率 r r r r r r d d d (r × v ) ρ (r × v )dV = ∫∫∫ ρdV + ∫∫∫ (r × v ) ( ρdV ) dt ∫∫∫ dt dt V V V
d d ( ρdV ) = (dm) = 0 dt dt
r r d ρ (r × v )dV = dt ∫∫∫ V r r r r r r r d (r × vr ) ( ? ω 2 (r × r ) + 2(r × ω × vr )ρdV ∫∫∫ dt V
r r r r r r r r dvr a = a r + ae + a g = ? ω 2 r + 2ω × vr dt dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

?

r r d (r × v ) r r = r ×a dt r r r r r r r d (r × vr ) = ? ω 2 (r × r ) + 2(r × ω × vr ) dt

§3.7 动量方程与动量矩方程
旋转坐标系中的动量矩方程(积分形式)( )(续 四、旋转坐标系中的动量矩方程(积分形式)(续)
r r r r r r r r r d d (r × vr ) 动量矩的时间变化率 ρ (r × v )dV = ∫∫∫ ( ? ω 2 (r × r ) + 2(r × ω × vr )ρdV dt ∫∫∫ dt V V

外力矩的矢量和

r r r r ρ r × f dV + ∫∫ (r × pn )dA ∫∫∫
V A

(

)

?

动量矩定理

r r r r r r r r r r r ? r × ρvr dV + ∫∫ ρvrn r × vr = ∫∫∫ ρr × ( f + ω 2 r ? 2ω × vr )dV + ∫∫ r × pn dA ?t ∫∫∫ CV CS CV CS
dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

§3.7 动量方程与动量矩方程
五、定常管流的动量方程
r r r r ∫∫ v2 ρv2dA ? ∫∫ v1ρv1dA = F f + Fpn
A2 A1

? ρqV (v2 x ? v1x ) = F fx + Fp x n ? ? ? ρqV (v2 y ? v1 y ) = F fy + Fpn y ? ? ρqV (v2 z ? v1z ) = F fz + Fpn z ?

§3.7 动量方程与动量矩方程
六、涡轮机械基本方程式

r r r r ∫∫ ρ (r × v )vn dA = ∑ (ri × vi )
CS

M z = ρqV (r2 v2 r ? r1v1r )

§3.8 能量方程
能量方程(积分形式) 一、能量方程(积分形式)
本质: 本质:能量守恒定理
dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

v2 单位质量流 η =u+ 体的能量 2 r r 单位时间质 v r 量力和表面 ∫ ρf ? v dV + ∫ pn ? v dA
力对系统所 做的功
V A

流体系统 的能量 单位时间外 界与系统交 换的热量

v2 N = ∫∫∫ (u + )dV 2 V

& Q

?
r r r r v2 & ρvn (u + )dA = ∫∫∫ ρf ? v dV + ∫∫ pn ? v dA + Q ∫∫ 2 CS CV CS

r r r r ? v2 v2 & ρ (u + )dV + ∫∫ ρvn (u + )dA = ∫∫∫ ρf ? v dV + ∫∫ pn ? v dA + Q ∫∫∫ ?t V 2 2 CS CV CS
定常流动

§3.8 能量方程
二、一维流动的能量方程
(1)不考虑与外界的热量交换 (1) 假设条件: 不考虑与外界的热量交换, & 假设条件: 不考虑与外界的热量交换, Q = 0 r r (2)质量力仅有重力 质量力仅有重力, (2)质量力仅有重力,f = g

r r r r ? v2 v2 & ρ (u + )dV + ∫∫ ρvn (u + )dA = ∫∫∫ ρf ? v dV + ∫∫ p n ? v dA + Q ∫∫∫ ?t V 2 2 CS CV CS

r r ? v2 v2 + gz )dV + ∫∫ ρvn (u + + gz )dA = ∫∫ p n ? v dA ∫∫∫ ρ (u + ?t V 2 2 CS CS
r r r r r pn = pnn + τ = ? pn + τ v r r r ? pn ? v dA + ∫∫ pn ? v dA
CS

?

重力作功= 重力作功=位势能

=

∫∫
CS

∫∫τ ? v dA = ? ∫∫ pvn dA + ∫∫τ ? v dA
CS CS CS

r r

r r

?

r r ? v2 v2 p + gz )dV + ∫∫ ρvn (u + + gz + )dA = ∫∫ τ ? v dA ∫∫∫ ρ (u + ?t V 2 2 ρ CS CS

r r v2 v2 p ? ρ (u + + gz ) dV + ∫∫ ρvn (u + + gz + )dA = ∫∫ τ ? v dA ∫∫∫ ρ ?t V 2 2 CS CS

§3.8 能量方程
二、一维流动的能量方程(续) 一维流动的能量方程(
管道内一维流动的能量方程

r r τ 理想流体: 理想流体: = 0 ? τ ? v = 0

r

r r r 粘性流体:管壁: 粘性流体:管壁: v = 0 ? τ ? v = 0 r r r r 出截面: 进、出截面: 垂直于 v ? τ ? v = 0 τ

?

∫∫τ ? v dA=0
CS

r r

? v2 v2 p ρ (u + + gz )dV + ∫∫ ρvn (u + + gz + )dA = 0 ∫∫∫ ?t V 2 2 ρ CS

定常流动 条件下: 条件下:

v2 p ρvn (u + + gz + )dA = 0 ∫∫ 2 ρ CS

v2 p v2 p ρv(u + + gz + )dA ? ∫∫ ρv(u + + gz + )dA = 0 ∫∫ 2 ρ 2 ρ A2 A1

§3.9 伯努利方程及其应用
一、伯努利方程
不可压缩理想流体在重力场中的一维定常流动的能量方程。 不可压缩理想流体在重力场中的一维定常流动的能量方程。
v2 p v2 p ρv(u + + gz + )dA ? ∫∫ ρv(u + + gz + )dA = 0 ∫∫ 2 2 ρ ρ A2 A1

v p u2 + 2 + gz 2 + 2 = u1 + 1 + gz1 + 1 2 ρ2 2 ρ1

2

? 沿流线积分 p v
2

u+

v p + gz + = 常数 2 ρ

2

? ?

v2 p + gz + = 常数 2 ρ

§3.9 伯努利方程及其应用
伯努利方程( 一、伯努利方程(续)
v2 p + gz + = 常数 2 ρ
应用范围: 不可压缩理想流体在重力场中的定常流动; 应用范围: (1) 不可压缩理想流体在重力场中的定常流动; (2) 同一条流线上的不同的点;沿不同的流线 同一条流线上的不同的点; 时,积分常数的值一般不相同。 积分常数的值一般不相同。 物理意义: 物理意义: 不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时, 不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时,沿 流线单位质量流体的动能、 流线单位质量流体的动能、位势能和压强势能之 和是常数。 和是常数。

§3.9 伯努利方程及其应用
伯努利方程( 一、伯努利方程(续)
v2 p + gz + = 常数 = H 2 ρ
速 度 水 头 位 置 水 头 压 强 水 头 总 水 头
z1
b
v12 / 2 g

总水头线 b'
2 v2 / 2 g

c
p1 / ρg

静水头线

c' H

1

p2 / ρg

2 a

不可压缩理想流体在重力场中作 定常流动时, 定常流动时,沿流线单位重力流 体的总水头线为一平行于基准线 的水平线。 的水平线。

z2

a'

§3.9 伯努利方程及其应用
二、伯努利方程的应用
1. 皮托管
原理:弯成直角的玻璃管两端开口, 原理:弯成直角的玻璃管两端开口,一端的开 口面向来流,另一端的开口向上,管内液面高 口面向来流,另一端的开口向上, 水中的A端距离水面H0 H0。 出水面h,水中的A端距离水面H0。 由B至A建立伯努利方程
v p p + B = A 2 ρ ρ
2 B

h

B

A

H0

pB = ρgH0

?

pA = ρg(H0 + h)

vB =

2

ρ

( pA ? pB ) = 2gh

§3.9 伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用( 二、伯努利方程的应用(续)
皮托管( 1. 皮托管(续)
动压管: 动压管: 静压管与皮托管组合成一体,由差压计给出总 静压管与皮托管组合成一体, 压和静压的差值,从而测出测点的流速。 压和静压的差值,从而测出测点的流速。

v=

2

ρ

( pA ? pB )

§3.9 伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用( 二、伯努利方程的应用(续)
2. 文丘里管
原理:文丘里管由收缩段和扩张段组成,在入口前直管段上的截面1 原理:文丘里管由收缩段和扩张段组成,在入口前直管段上的截面1和喉部 截面2两处测量静压差,根据此静压差和两截面的截面积可计算管道流量。 截面2两处测量静压差,根据此静压差和两截面的截面积可计算管道流量。 由1至2建立伯努利方程
2 v12 p1 v2 p 2 gz1 + + = gz 2 + + 2 ρ 2 ρ

?
流速: 流速: 体积流量: 体积流量:
v2 =

v1 =

A2 v2 A1

11
△z

2 2

2( p1 ? p2 ) + 2 ρg?z ρ[1 ? ( A2 A1 ) 2 ]

h h

qv = A2

2( p1 ? p2 ) + 2 ρg?z ρ[1 ? ( A2 A1 ) 2 ]

ρ′

Venturi

§3.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化
一、速度沿流线主法线方向的变化
分析流线主法线方向所受的力: 分析流线主法线方向所受的力:
( p + δp )δA 端面压力: 端面压力: ? pδA 重力分量: 重力分量: δW cosθ
p+δp
δA
M 速度分布

B'

δr
θ δW

δz
p

z

法线方向的加速度: v 2 / r 法线方向的加速度:

r

ρδrδA

v = ( p + δp)δA ? pδA + δW cosθ r
cosθ =

2

? 牛顿第二定律
? δW = ρgδrδA

B

δz δr

v2 ? p = (z + ) gr ?r ρg ?

假设全场伯努 利常数不变

?

?r

(z +

p v2 + ) = 0 ρg 2g

?v v + =0 ?r r

?

积分

v=

C r

§3.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化
二、压力沿流线主法线方向的变化 水平面内的流动) (水平面内的流动)
分析流线主法线方向所受的力: 分析流线主法线方向所受的力: 端面压力: 端面压力: ? pδA ( p + δp )δA 重力分量: 重力分量: 0
2 法线方向的加速度: 法线方向的加速度: v / r
2

p+δp
δA 压强分布 M

速度分布

B'

δr
θ δW

δz
p

z

r

ρδrδA

v = ( p + δp )δA ? pδA = δpδA r 1 δp v 2 = ρ δr r
C r

? 牛顿第二定律

B

代入v =

?

积分

p = C1 ? ρ

C 2r 2

§3.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化
三、直线流动时沿流线主法线方向的变化 z
直线流动
2

r→ ∞

r
p2

流线

? v p = (z + ) gr ?r ρg

? p (z + )=0 ?r ρg

?
?

2 p1 1

z1 +

p1 p = z2 + 2 ρg ρg

水平面内的直线流动: 水平面内的直线流动:

?p =0 ?r

在直线流动条件下, 在直线流动条件下,沿垂直 于流线方向的压强分布服从 于静力学基本方程式。 于静力学基本方程式。

忽略重力影响的直线流动, 忽略重力影响的直线流动,沿 垂直于流线方向的压强梯度为 即没有压强差。 零,即没有压强差。

§3.11 粘性流体总流的伯努利方程 粘性流体总流的伯努利方程
重力场中一维定常流能量方程的积分形式: 重力场中一维定常流能量方程的积分形式:
v2 p v2 p ρv(u + + gz + )dA ? ∫∫ ρv(u + + gz + )dA = 0 ∫∫ ρ ρ 2 2 A2 A1
缓变流截面
p z+ = 常数 ρg

?

∫∫ ρgv ( z +
A

p p )dA = ρgqv ( z + ) ρg ρg
2 2

v v v2 1 v dA = ∫∫ ( )3 dA( ρgqv a ) = a ( ρgqv a ) ∫∫ ρgv A 2g A A va 2g 2g
1 u 1 u ( ∫∫ ρgv dA ? ∫∫ ρgv dA) = ∫ ρ (u 2 ? u1 ) dqv = hw A1 g g ρgqv A2 ρgqv qv

?
2 av p1 a2 v2 a p + z1 + = + z2 + 2 + hw 2g ρg 2g ρg 2 1 1a

能量损失

§3.11 粘性流体总流的伯努利方程 粘性流体总流的伯努利方程
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
hw
2 a1v12a p1 a2v2 a p + z1 + = + z 2 + 2 + hw 2g ρg 2g ρg

总水头线
a1 v12a 2g

2 v2 a a2 2g

静水头线
p2 ρg

应用范围: 应用范围: 重力作用下不可压缩粘 性流体定常流动任意两 缓变流截面 缓变流截面

p1 ρg
z2
z1

dA

L与长度量纲有关 的尺寸,如直径

名称 雷诺数,Re Reynolds number 弗劳德数,Fr Froude number 欧拉数,Eu Euler number 马赫数,M Mach number 韦伯数,We Weber number

型式 ρυl

?

物理意义 惯性力 粘滞力 惯性力 重 力 压 力 惯性力 惯性力 压缩力 惯性力 表面张力

注 最重要的流体力 学无量纲参数 出现于有自由表 面时 出现于当压力或 压力降很重要时 出现于流体压缩 性很重要时 出现于流体表面 张力很重要时

υ

?p

gl

ρυ 2

υ

c2 ρυ l σ

Calculation Basics
a) Hydrostatic pressure b) Pascals’s law c) Transmission of power

d) Transmission of pressure e) Continuity

g) Bernoulli equation

f) Flow resistance


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