概率结课论文:概率论在统计物理学中的应用


概率结课论文:概率论在统计物理学中的应用

概率论在统计物理学中的应用
作者:尹航 (英才学院、土木工程专业、1236007 班、学号 6123310701)
[摘要]宏观物体是由大量微观粒子所构成的, 而微观粒子在永不停息的做无规则热运动。 由 于微观粒子的大量和无规则特点, 无法对任意单独或固定数量的粒子进行讨论。 而统计物理 学正是采用概率论及数理统计的方法, 认为宏观物理量是微观物理量的统计平均值, 由此建 立了宏观与微观量间关系。本文主要展示和分析了概率统计所建立的模型在“伽尔顿模板实 验” “理想气体的温度公式和压强公式” “麦克斯韦气体分子速率分布律”和“M-B 分布”这四个 、 、 重要的统计物理实验及定律中的使用, 体现了概率论在统计物理学发展过程中起到的巨大作 用。 [关键词]概率统计;统计物理学;伽尔顿模板实验;麦克斯韦气体分子速率分布律;理想气 体的温度公式和压强公式; “M-B 分布”

引言——
在本学年大学物理的学习过程中,统计物理学以它研究对象的特殊性和概率统计模型 的广泛应用而区别与其他学科的章节。 其中很多问题的解答都可以归结为概率模型的使用并 应用概率论和随机过程的理论及方法加以研究。 统计物理学正是根据对物质微观粒子统计特 性的认识, 用概率统计的方法, 对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律做出微 观解释。 下面我们以“伽尔顿模板实验” “麦克斯韦气体分子速率分布律” “理想气体的温度公式和 、 、 压强公式”和 “M-B 分布”为例,说明概率统计在统计物理中的应用。

一、伽尔顿模板实验
1

概率结课论文:概率论在统计物理学中的应用 如下图(1)所示,在一块竖直的木板上有规律地排列着许多钉子,模板的下端被隔 成许多等宽的狭槽,从顶部中央的漏斗形入口处可投入小球,板前覆盖玻璃,以使小球留在 狭槽内,这个装置叫做伽尔顿板。 如果从入口投入一个小球, 小球在下落过程中, 将与若干个钉子相碰撞而不断地改变其 运动方向, 经过多次碰撞后会落入最下面的一个槽中。 至于小球会落入哪个槽中是无法预测 的,这是一个无规则的偶然事件,成为随机现象。随着投入的小球越来越多。则可观察到小 球的分布总会呈现固定的趋势。

对最终的结果进行理论推导: 小球从上落入小槽途中与钉子相碰的次数都是相等的,设为 N,小球每次与钉子相碰 后,它可能向左也可能向右运动。由钉子排列是左右对称的 ,则小球向右运动的几率 p 和 向左运动的 的,即 项式分布可 次碰撞落入某槽过程中向右运动 n 次的几率为: 几率 q 是相等 p=q=1/2。 由二 知 ,小球经 N

P(n)=

【3】

及若以正中间的槽为 0 号槽,则小球落入距中间向右走 n 个槽的概率为 P(n)。而由于 装置的左右对称性,使得小球落入距中间向左走第 n 个槽的概率也为 P(n)。
2

概率结课论文:概率论在统计物理学中的应用 由 P(n)表达式的特点,小球落入槽的结果近似服从以中间槽为对称轴的正态分布。 图(2),(3),(4)为实验的一些效果图。(效果图及统计误差来自网络实验数据)

①当小球个数为 80 时,统计图为图 1:误差为:

②当小球个数为 200 时,统计图为图 3:误差为:

③ 当小球个数为 5000 时,统计图为图 4:误差为:

20.40 ? 20.00 ?100 % ? 2.00% 20.00

从实验中可以看到,随着投入的小球数量的增多,看到落在各槽中的小球数目是不相 等的,靠近入口槽内的小球较多,离入口越远的槽内小球的数目越少。可以把小球按槽的分 布用笔在玻璃板上画出一条曲线表示。当小球数目较多时,重复试验发现,每次得到的分布 曲线近似重合。这个实验说明,个别粒子的运动是无规则的、偶然的,大量粒子的运动是确 定的、必然的,遵从一定的规律。 (枷尔顿模板实验应用了二项分布和正态分布的一些性质来进行实验) 由伽尔顿模板实验结论: “个别粒子的运动是无规则的、偶然的,大量粒子的运动是确定 的、必然的,遵从一定的规律” 我们可以进行对下面几个由概率统计模型推出的统计物理学 。 中微观状态气体分子定律。
3

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二、 麦克斯韦气体分子速率分布律
分子在做热运动时,它们的分布是杂乱无章的,它们之间的相互碰撞是随机的,因分子 的不断碰撞, 它们的速度不可能保持整齐划一, 气体分子运动速度的大小和方向的变化都是 随机的。对每个分子而言。其某一时刻具有的速度是偶然的,但大量分子整体运动遵循统计 规律。 麦克斯韦导出了在平衡态下,理想气体满足能量为 ? l ? 与 ε1 成反比例的指数关系: ? ? Ae 由概率密度归一化条件
? ?? l

1 m? 2 的气体分子概率密度 ρ 2

(其中 A 是归一化常数) 。

? ? d? ? 1得: A ? ?

1
?

?e

? ?? l

d?

(其中Ω是气相体积元,满足

d? ? dxdydzd? x d? y d? z = dxdydz? 2 sin ? d? d? d? ) 。
归一化积分 I ? e

? ?

? ?? l

d? ?

?

π

0

sin ? d? ? d? ? e
0 0



?

?

m 2 V 2 kT

? 2d? ? 4? ? e
0

?

?

m 2 ? 2 kT

? 2d?
3

利用正态分布积分公式

?

?

0

e

? ?u 2

1 π 1 ? m ?2 du ? , 得归一化常数 A ? ? ? ? 。 2 ? I ? 2πkT ?
3

m 2 V 2π ? ? ? m ?2 π 2 kT 将 A 值代入 ? ? d? ? 1 ? d? ? ? sin ? d? ? d? ? e ? 2d? ? ?0 ? 0 0 ? 2πkT ? ? , ?

m ? m ? 2 ? ? 2 kT ? 2 2 ? 4π ? e ? d? ? 1 ? ? ? 2πkT ? 0 m ? m ? 2 ? 2 kT ? 2 2 定义速度为 v 的分子概率密度为: f (? ) ? 4π ? ? ? e ? 2πkT ? 3

3

综上,得到了函数 f (? ) 是平衡态理想气体中分子按速率分布的概率密度函数,称为麦 克斯韦气体分子速率分布律, 表示速率 ? 附近单位速率间隔内的分子数占气体总分子数的 比例。例如,若气体总分子数为 N ,则速率 ? 附近速率间隔 ? ? ? ? d? 内的分子数是

dn ? Nf (? )d? 。
其函数曲线如图 1 所示:
4

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f (? )

f (? )
T1

T2
O

?P
图1

?

O 图2

?

除满足归一化条件外,函数 f (? ) 还具有以下特点: (1) lim f (? ) ? 0 , lim f (? ) ? 0 ;
? ?0
? ??

(2) 令

df =0,得最概然速率 vp, 即取 f (? ) 取最大值时的速率: P ? ? d?

2 KT ? m

2 RT

?

如图 1 所示。 (3)当气体温度上升时,或用分子质量较小的气体代替分子质量较大的气体做实验,

f (? ) 的函数曲线将右移并变得平缓,如图 2 所示。
(麦克斯韦气体分子速率分布律的推导利用概率密度函数的特征及归一化条件)

三、 理想气体的温度公式和压强公式
运用概率统计的方法推导两个公式:温度公式和压强公式,以加深对理想气体和统计方 法的理解。 1.温度公式 由连续型随机变量的期望求法,理想气体分子平均平动动能是 ? =

1 N

?

?

0

? dn =

1 ? 2 m ? f (? )d? 。将本文之前求得的 f (? ) 计算公式代入上式,做分部积分,得到温度公 2 ?0
式:? =

3 kT 。它表明温度是气体分子热运动平均平动动能的量度,这就是温度的微观意 2

义。 上式把温度这个宏观量与气体分子平动动能这个微观量的平均值联系了起来, 是统计平 均方法的典型体现。

5

概率结课论文:概率论在统计物理学中的应用 2.压强公式 如果气体分子与容器壁碰撞,它的动量将改变,同时给器壁以作用力。 大量分子的密 集碰撞就形成了对器壁的压力。由理想气体宏观状态下压强压强公式: p ? nkT 。 (p=F/S=I/t*S,则压强是器壁单位面积上单位时间内,所有与之发生碰撞的气体分子的动 量该变量之和) 。 现在运用微观状态大量气体分子密集碰撞器壁这个模型来推导上 式:如右图所示,设质量为 m 的气体分子以速率 ? 与器壁发生弹性碰撞,碰撞前后分子动 量增量为 ?m? ? m? ? ?2m? 。 按照麦克斯韦气体分子速率分布律,设 n 为气体分子总数量。则有单位体积中速率在

? ? ? ? d? 范围内的气体分子数是 nf (? )d? 。由于气体分子向各个方向运动的概率相同,
单位体积中速率在 ? ? ? ? d? 范围内的分子只有

1 nf (? )d? 个分子射向图中右边的器壁。 6

由于分子之间的碰撞是弹性的, 碰撞只是使分子交换该方向的速度, 对射向器壁的平均分子 数无影响。则单位时间内与器壁单位面积发生碰撞的分子数目是 些分子动量的增量是

1 6

v nf (? )d? ,碰撞后这
3

1 1 积分上式, p ? nm 得 2 3 nm? f (? )d? 。 3

?

?

0

? 2 f (? )d? ? 2 n? ? nkT 。

而这个公式中 p ?

2 n? ? nkT ,ε平均值为气体分子平均平动动能是微观量,而 T 是气 3

体温度是微观量,此压强公式成功联系起微观量与宏观量。 (理想气体的温度公式和压强公式用到了连续型随机变量期望的求解)

四、物理统计规律之麦克斯韦-波尔兹曼统计分布(M-B 分布)
麦克斯韦-波尔兹曼统计分布是研究近独立经典粒子按能量的最概然分布。每个量子态 中可容纳的粒子数不受限制,先讨论 2 个经典粒子放在 3 个量子态中的可能分布,这种情 况下,可能的占据方式有 32=9 种。
6

概率结课论文:概率论在统计物理学中的应用 以此推广,Ni 个彼此可以区分的粒子占据 gi 个量子态的可能方式有 giNi 种。根据概率 的乘法原理,N1,N2,…Ni,…个粒子分别占用能级的可能占据方式共有∏igiNi 种。由于 N 个粒子是可以区分的, 个粒子分别为 N1, 2, i…个粒子的组合方式也可能有很多种。 N N …N 从 N 个粒子中取出 N1 个粒子放到能级中去, 粒子的组合方式数为

C

Ni N

?

N! ; 在余下的 N-N1 个粒子中取出N2 个粒子 N1!( N ? N1 )!

放入能级中去,粒子的组合方式数为

C

N2 N ? N1

?

( N ? N1 )! ; 以此类推,于是可能 N 2!( N ? N1 ? N 2 )!
N

g i N! N 出现的粒子占据方式总数为 ? ? ? g i i ? N !? i 。 i N ! ?N i ! i i
i

而求经典粒子按能量的最概然分布就是求Ω极大值的分布情况。 统计物理学中,对于费米子的费米-狄拉克统计(F-D 分布) 、对于波色子的玻色-爱因 斯坦统计(B-E 分布)和对于经典粒子的麦克斯韦-波尔兹曼(M-B)是三种重要的统计规 律,而它们的得出都与概率论与数理统计有着密不可分的关系。 (M-B 分布的推导中应用了超几何分布的组合方式数以及概率分布情况)

五、概率论与统计物理
物理学家将数学中的统计和概率的方法引入分子物理学, 建立了统计物理学, 为微观状 态下的物理学带来的长足的发展。概率论也为枝繁叶茂的物理大厦增添的自己的一份砖瓦。 而这些更是体现了物理与数学之间密切的联系,和学科交叉的重要性。 对于我们, 在其他学科的学习中牢固的掌握概率论及相关知识可以使我们变得更加准确 与现实。 而在实际生活中概率统计更是可以帮助我们分析各种规律的变化, 如经济的增长、 学生成绩的起伏等。所以无论概率论或者统计物理,它们的发展都为我们的生活带来着方 便。

参考文献:
7

概率结课论文:概率论在统计物理学中的应用
[1] 王勇. 哈尔滨工业大学数学系.《概率论与数理统计》.2010 年 7 月版.高等教育出版社. [2] 赵远、王晓鸥、张宇. 《大学物理》.2012 年 8 月版.高等教育出版社. [3] 廖旭、任学藻. 《用二项式求得枷尔顿板实验概率分布曲线》.2006 年 2 月第一期.实验

与科学出版社
[4] 胡建民、王月媛、刘希军. 《推导 M-B,B-E,F-D 三种分布的方法》. 1997 年第 04 期. 黑

龙江农垦师专学报

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