2012新版中考A典·数学听课手册参考答案


中考 A 典·数学·听课手册参考答案
第一章 数与式

第三讲 考点 1 整式的有关概念

整式
-

第一讲 实数 考点 1 实数的分类 1.C;2.C;3.A;4.A;5.3;6.-5;7.0; 8. 5 或者 ? (答案不唯一) 考点 2 相反数、倒数 1.B;2.B;3.A;4.B;5.B;6.A; 考点 3 绝对值 1.A;2.A;3.C;4.C;5.2012;6.可以是 2、 3、4 等. 考点 4 实数与数轴上的点的对应关系 1.D;2.B;3.B;4.D;5.D;6.C; 考点 5 实数大小的比较 1.A;2.B;3.D;4.D;5.>;6.2 考点 6 平方根、算术平方根与立方根 1.C;2.B;3.A;4.D;5.± 2 ;6.-2; 考点 7 实数的运算 1.A;2.A;3.B;4.B;

1.A;2.3;3.二,三;4.64a7,(-2) n 1an, 考点 2 幂的运算性质 1.D;2.C;3.B;4.B;5.A;6.A; 考点 3 乘法公式 1.A;2.B;3.13;4.5; 5.A2-B2=(A+B)(A-B) =(2x+y+2x-y)(2x+y-2x+y) =4x·2y=8xy 1 6.当 a=1,b= 时, 10 原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2=2. 考点 4 整式的加减 1.D;2.A;3.4mn;4.a+2;5. 2m ? 1 ;6.2 考点 5 整式的乘除 1.C;2.D;3.D;4.B; 考点 6 整式的混合运算 1. (a+3)(a-1)+a(a-2)=a2-a+3a-3+a2-2a =2a2-3. 2.(x+3)(x-3)-x(x-2) =x2-9-x2+2x =2x-9, 当 x=4 时,原式=2x-9=2×4-9=-1. 3.原式=a-a2+a2+2a+1-1=3a 4.原式=2(m2-m+m2+m) (m2-m-m2-m) =-2×2m×2m2=-8m3. 观察-8m3,则原式表示一个能被 8 整除的数,或原 式=(-2m)3,则表示一个偶数的立方. 第四讲分解因式 考点 1 分解因式的概念 1.B;2.C; 考点 2 提取公因式分解因式 1.A;2.A;3.x(x+y) ;4.2x(y-2x) 考点 3 运用公式法分解因式 1.C;2.D;3.(m+n)(m-n);4.(m-3)2. 考点 4 分解因式的一般步骤 1.D;2.D;3.x(x+3)(x-3);4.a(3b-1)2. 第五讲分式 考点 1 分式的有关概念 1.C;2.D;3.x≠-1;4.1 考点 2 分式的基本性质及符号法则 1.A;2.A;3.1;4. a ? 2 ;
a?2
1

1 3 ? 3 ? 3 ?1 ? . 2 2 6.原式=4+1- 3 -1+ 3 + 2 =4+ 2
5.原式 ? 考点 8 非负数性质的运用 1.B;2.A;3.1;4.等腰直角三角形 考点 9 科学记数法与近似数 1.B;2.C;3.C;4.1.79×106;5.1.58×10-7; 6.6.9×106. 第二讲 考点 1 代数式 字母表示数

1.D;2.A;3.B;4.50a;5.100-5x;6. ab . 考点 2 同类项的概念 1.B;2.D;3.3;4.8 考点 3 去括号、填括号 1.D;2.C;3.D;4.C; 考点 4 求代数式的值 1.A;2.B;3.2;4.15;5.1;6.5; 考点 5 探索规律问题 1.B;2.D;3.71;4.503;5.41; 6.365. 考点 6 定义新运算 1.4;2.A;3.2;4.x=3; 考点 7 创新应用 1.C;2.C;3.C;

1 2

考点 3 分式的乘除法 1.A;2.C;3.x 2.4.1; 5.原式= 6.原式=

当x?

3 ? 1 , y ? 3 ? 1 时,原式=
1 x -3 x-3 + × 2 x ? 1 (x - 3) x(x ? 1)

2 2 3

?

( x ? 1)( x ? 1) 1 x ?1 1 ? ? ? . 2 2 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1) x ?1
( x ? 1)( x ? 1) x ( x ? 1) ? ?x. x ?1 ( x ? 1) 2

3 . 3

2.原式= = =

考点 4 分式的加减

1 1 x 1 + = + x ?1 x(x ? 1) x(x ? 1) x(x ? 1)
x ?1 1 = . x(x ? 1) x

1 ;4.x+5. x ?1 a a ?1 5.原式= + a ? 1 (a ? 1)(a ? 1) a 1 a ?1 = + = = 1. a ?1 a ?1 a ?1
1.D;2.B;3. 6.解法 1: 原式=

当 x= 2 时,原式=

1 1 2 = = . x 2 2

3.原式= (

x x x2 ? 2 x ?1 ? 2 )? x ?1 x ?1 x2 ? x

(a ? 2)(a ? 2) ? a ? 2 ? a ? 2 ? a ? 2 ? 2a a?2



解法 2: 原式=

x ( x ? 1)2 x ( x ? 1)2 ? ? ? x ? 1 x( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1) x ( x ? 1)
1 x = x ?1 x ?1 2 2 ? 2 ?1 3

a 2 ? 4 (a ? 2)2 a 2 ? 4 a 2 ? 4a ? 4 ? ? ? a?2 a?2 a?2 a?2 2 2a ? 4a 2a(a ? 2) ? ? ? 2a a?2 a?2
3 ; x

=1 ?

∵x≠—1,0,1,∴当 x=2 时,原式=

考点 5 分式的混合运算 1.A;2.

3x ? 4 2( x ? 1) ? x?2 4.原式= ? ? ( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 1) ? ? ( x ? 1) 2 ? ?

3.方法一:原式= ? =

1 ? ? x ? 4 ?? x ? 4 ? ? 1 ? ? 2 ? x?4 x?4?

= 3x ? 4 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) = x ?1 ( x ? 1)( x ? 1) x?2 解不等式组 ? ∵x 为整数

2

x ?1

x?4 x?4 ? =x 2 2 ? x ? 4 ? ? ? x ? 4 ? ? x ? 4 ?? x ? 4 ? 方法二:原式= 2 ? x ? 4 ?? x ? 4 ?


?x ? 4 ? 0 得: ? 4 ? x ? ?2 ?2 x ? 5 ? 1
∴x=-3

x? 4? x?4 =x 2

当 x=-3 时,原式

? 3 ?1 =2 ? 3 ?1

考点 7 整体代入问题 1. 5; 2. 2 3 ; 3

4.原式=[

x( x ? 1)( x - 1) x ]÷ ( x ? 1)( x - 1) ( x ? 1)( x - 1)

[

2( x ? 1)( x - 1) x ?1 x -1 ? ] ( x ? 1)( x - 1) ( x ? 1)( x - 1) ( x ? 1)( x - 1)

x ( x 2 - 2) ( x ? 1)( x - 1) x 2 - 2 = ? = . ( x ? 1)( x - 1) 2x 2x 2
考点 6 分式的化简和求值

1 1 a?b ? ? 5(a ? b) ,∴ = 5 a b ab a2 b2 (a ? b)(a ? b) 原式= ? = ab(a ? b) ab(a ? b) ab(a ? b) a?b = = 5. ab
3.∵ 4. ∵m 是方程 x2+3x-1=0 的根, ∴m2+3m-1=0,即 m2+3m=1. m?3 ( m ? 2)(m ? 2) ? 5 ∴所求式= ? 3m(m ? 2) m?2
2

( x ? y )2 x?y 1.原式 = = . ( x ? y )( x ? y ) x ? y

m?3 m?2 ? 3m( m ? 2) ( m ? 3)( m ? 3) 1 1 1 = = = . 2 3m ( m ? 3) 3( m ? 3m) 3
= 第二章 方程与不等式 第 1 讲 一元一次方程 考点 1 等式与方程的有关概念 1.A;2.8x=50-38. 考点 2 一元一次方程及其解 1. D ; 2. B 考点 3 一元一次方程解的解法 1. x = 2 2.分式的基本性质, 等式性质 2, 去括号法则或乘法分配律, 移项, 等式性质 1, 系数化为 1, 等式性质 2, 考点 4 一元一次方程的实际应用 1.A;2.A;3.20;4.30; 5. 解: 设张红购买甲种礼物 x 件, 则购买乙礼物 x+1 件, 根据题意得:1.2x+0.8(x+1)=8.8, 解得:x=4.所以 x+1=5 答:甲种礼物 4 件,一种礼物 5 件. 6. (1)60×15%=9 答:一个鸡蛋中含蛋白质的质量为 9 克. ( 2) 设每份营养餐中牛奶的质量为 x 克, 由题意得:

原式 ? ? 0 ? 1? ? ? 0 ? 1?? 0 ? 1? ? 1 ? ? ?1? ? 1 ? 2 . 解法 2:把 ?

2

?x ? 1 代入方程组 ?y ?1

?ax ? y ? b 得 ? ? x ? by ? a

?a ? 1 ? b ?a ? b ? ?1 ?a ? b ? ?1 整理得 ? 由? 得 ? ?1 ? b ? a ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 1

? a ? b ? ? ? a ? b ?? a ? b ? ? 1 ? ? ?1? ?1 ? 2 .
考点 2 二元一次方程组的解法

2

1 ?x ? 3 1.A;2.A;3. ? ; 4. 2 或 ? ; 2 ?y ? 0
5. ?

? x ? y ? 8① ?3x ? y ? 12②

①+②,得 4x=20,解得:x=5. 将 x=5 代入①,得 5-y=8,解得 y=-3. 所以方程组的解是 ?

?x ? 5 . ? y ? ?3

6.解:解法 1:①+②,得 3x=6.∴x=2. 把 x=2 代入①,得 2+y=5.∴y=3. 所以方程组的解是 ?

? x ? 2, ? y ? 3.

5%x +12.5% ? 300-60-x ? +9=300 ? 8%
解这个方程,得:x=200 ∴300-60-x=40 答: 每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为 200 克 和 40 克。 第 2 讲二元一次方程组 考点 1 二元一次方程(组)的有关概念 1.B;2.D; 3.解法 1:把 ?

解法 2:由①,得 y=5-x.③ 把③代入②,得 2x-(5-x)=1.解得 x=2. 把 x=2 代入③,得 y=3. 所以方程组的解是 ?

? x ? 2, ? y ? 3.

考点 3 二元一次方程组的应用 1.B;2.100; 3. 设“ 古丈毛尖”每千克 x 元, “保靖黄金茶”每千克 y 元.由题意可得:
? x ? y ? 1000, ? ?3x ? 2 y ? 2600. ? x ? 600, 解得: ? ? y ? 400.

?x ? 1 ?ax ? y ? b 代入方程组 ? 得 ?y ?1 ? x ? by ? a ?a ? 0 ?b ? 1
2

?a ? 1 ? b ? ?1 ? b ? a

解得 ?

把 a=0,b=1 代入 ? a ? b ? ? ? a ? b ?? a ? b ? 得,
3

答:“ 古丈毛尖”每千克 600 元,“保靖黄金茶”每千克 400 元. 4.解:设甲种车每辆一次可运土 x 立方米,乙种车 每辆一次可运土 y 立方米. ?5 x ? 4 y ? 140 ? x ? 12 依题意得 ? ,解得 ? ?3x ? 2 y ? 76 ? y ? 20

答:甲种车每辆一次可运土 12 立方米,乙种车每辆 一次可运土 20 立方米. 第 3 讲一元二次方程 考点 1 一元二次方程的概念 1.B;2.D;3.C;4.2; 考点 2 用配方法解一元二次方程 1.D;2.A;3.A;4.D; 5.配方,得(x-1)2=6. ∴ x ?1 ? ? 6 , ∴ x1 ? 1 ? 6 , x 2 ? 1 ? 6 . 6. 把 x2 ? 2 x ? ∴x1=

9 3 5 ? 0 配方, 得(x-1)2= , x-1=± , 4 4 2

5 1 ,x2= ? . 2 2 5 9 把 x1= 代入 x 2 ? ( k ? 2) x ? ? 0 , 4 2 25 5 9 7 得 ? ( k ? 2 ) ? ? 0 ,k = ; 4 2 4 5 1 9 把 x2= ? 代入 x 2 ? ( k ? 2) x ? ? 0 , 4 2 1 1 9 得 ? ( k ? 2) ? ? 0 ,k=-7. 4 2 4 7 ∴k= ,或 k=-7. 5
考点 3 用公式法解一元二次方程 1.A;2.A;3.x1=4,x2=-3;4. x1 =-3, x2 =1; 5.x -4x-1=0,a=1,b=-4,c=-1, ∵b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20, ∴x =
?(?4) ? 20 ? 2? 5 , 2 ?1
2

6.原方程可化为 x2+2x-3=0. ( x - 1) (x+3)=0 解得: x1=1,x2=-3 考点 5 一元二次方程根的判别式 1.A;2.B;3.B;4.C;5.D; 6. (1)∵当 m=3 时, △=b2-4ac=22-4×3=-8<0, ∴原方程无实数根; (2)当 m=-3 时,原方程变为 x2+2x-3=0, ∵(x-1) (x+3)=0, ∴x-1=0,x+3=0, ∴x1=1,x2=-3. 考点 6 一元二次方程的实际应用 1.A;2.(22-x)(17-x)=300. 3.⑴ 设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均 增长率为 x,根据题意,得: 5000(1+x)2=7200 解得:x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去) ⑵ 7200×(1+20%)=8640 答:⑴ 这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增 长率为 20%; ⑵ 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次 4.设小道进出口的宽度应为 x 米,根据题意,得 (30 ? 2 x )(20 ? x ) ? 532 . 整理,得 x 2 ? 35 x ? 34 ? 0 . 解得: x1 ? 1 , x 2 ? 34 . ∵ 34 ? 30 (不合题意,舍去) ,∴ x ? 1 . 答:小道进出口的宽度应为 1 米. 第三章 函数 第 1 讲 函数的基本概念和一次函数 考点 1 概念及利用函数图象分析变量之间的关系 1.B;2.D;3.D;4.D; 考点 2 求函数自变量的取值范围及求函数值 1.C;2.D;3.C;4.x≠-5;5.x≤2 且 x≠-1; 6.-2 考点 3 各象限及坐标轴上的坐标特征 1.B;2.A;3.D;4.D;5. (-5,2) ;6.一; 考点 4 对称点的坐标 1.D;2.C;3.D;4.B; 考点 5 一次函数的概念 1.A;2.A;3.D;4.B; 考点 6 一次函数的图象和性质 1.B;2.D;3.D;4.D;5.>; 6. ?
4

∴x1=2+ 5 ,x2=2- 5 . 6. ? b 2 ? 4ac ? 42 ? 4 ? 1 ? (?2) ? 24
?x ? ?4 ? 24 ?4 ? 2 6 ? ? ?2 ? 6 2 ?1 2

即: x1 ? ?2 ? 6, x2 ? ?2 ? 6 考点 4 用分解因式法解一元二次方程 1.D;2.D;3.0,3;4.1; 5.2(x-3)-3x(x-3)=0,(x-3)(2-3 x)=0,

2 x1 ? 3, x2 ? 3

?x ? 1 ? y ? ?1 .

考点 7 用待定系数法确定一次函数关系式 1.A;2.y=3x-5. 3. (1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ∵直线 AB 过点 A(1,0) 、B(0,-2) ∴?

得?

?500k 2 ? b ? 750 ,解得 k2=2.5,b=-500, ?560k 2 ? b ? 900

所以 CD 解析式为 y=2.5x-500, 所以乙的速度为 2.5 米/秒, 设直线 AB 解析式为 y=2.5x+a, 将 A(100,0)代入 y=2.5x+a 得 a=-250, 所以 y=2.5x-250, 将 y=750 代入 y=2.5x-250 得 x=400,BC=500-400=100, 所以乙在途中等甲 100 秒; (3)解方程组 ?

?k ? b ? 0 ?k ?2 解得 ? ? b ? ?2 ?b ? ?2

∴直线 AB 的解析式为 y=2x-2. (2)设点 C 的坐标为(x,y) , ∵S ?BOC =2,∴

1 ×2·x=2,解得 x=2 2

∴y=2×2-2=2. ∴点 C 的坐标为(2,2) . 4.过点C作CD⊥x轴,垂足为D, 则∠AOB=∠CDA=90°,∵∠BAC=90° ∴ ∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠CAD=90° ∴∠ABO=∠CAD 又∵AB=AC,∴ △ABO≌△CAD ∴ AD=OB=2,CD=AO=3

? y ? 1.5 x , ? y ? 2.5 x ? 250

解得 x=250,y=425, 所以甲出发 250 秒与乙相遇,此时乙跑了 375 米. 3.解: (1) 当 0≤t≤5 时,s =30t 当 5<t≤8 时,s=150 当 8<t≤13 时,s=-30t+390 (2) 渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间

2 ∵ y ? ? x ? 2 与 x 轴交于点(3,0) ,与 y 轴交于 3
点(0,2) ∴ AD=OB=2,CD=AO=3 ∴C(5,3) . 设过 B、C 两点直线的解析式是 y=kx+b 则?

?5k ? b ? 3 1 1 ∴ k= ,b=2 ∴ y ? x ? 2 . 5 5 ?b ? 2

考点 8 一次函数的性质和图象的应用
?b ? 299 1.(1)设 y ? kx ? b ,则有 ? , ?2000k ? b ? 235
1 ? 4 ?k ? ? 解得 ? x ? 299 . 125 ∴ y ? ? 125 ? ?b ? 299.

?0 ? 8k ? b ? 的函数关系式设为 s=kt+b,则 ? 34 150 ? k ?b ? 3 ?
解得: k=45 b=-360,∴s=45t-360

?s ? 45t ? 360 ? ?s ? ?30t ? 390
解得 t=10 s=90 渔船离黄岩岛距离为 150-90=60 (海里) (3) S 渔=-30t+390 S 渔政=45t-360 分两种情况: S 渔-S 渔政=30 -30t+390-(45t-360)=30 48 解得 t= (或 9.6) 5 S 渔政-S 渔=30 45t-360-(-30t+390)=30 52 解得 t= (或 10.4) 。 5 ∴当渔船离开港口 9.6 小时或 10.4 小时时, 两 船相距 30 海里. 4. (1)慢车的速度为 80(千米/时) ;快车的速度为
5

(2)当 x=1200 时, y ? ?

4 ? 1200 ? 299 ? 260.6 (克/ 125

立方米), ∴该山山顶处的空气含氧量约为 260.6 克/立方米. 2.(1)900;1.5; ( 2) 设直线 OE 的解析式为 y=k1x, 将E (600, 900) 代入,解得 k1=1.5,所以 OE 解析式为 y=1.5x, 将 y=150 代入 y=1.5x 得 x=10,所以 A(100,0), 将 x=500 代入 y=1.5x 得 y=750, 所以 C (500, 750) , 设 CD 的解析式为 y=k2x+b, 将 C(500,750)、D(560,900)代入 y=k2x+b,

120(千米/时) ;AB 两站间的距离 1200 千米。 ( 2) 快车从 B 站返回 A 站时, 共有两个过程段: PQ 段、QH 段。 PQ 段: PQ 间距离为 120×4=480, ∴Q 点离 A 点距离为 1200-480=720(千米) , 故 Q(15,720), ∵P(11,880) 、Q(15,720),∴设 y=kx+b; 根据题意有 ?

∴2=m,即 m=2. ∴点 P 的坐标为(2,2) . ∵点 P 在反比例函数 y ? ∴2?

k ?1 的图象上, x

k ?1 ,解得 k=5. 2 k ?1 图象的一支上, y x

(Ⅱ)∵在反比例函数 y ? 随 x 的增大而减少, ∴ k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 1 . (Ⅲ)∵反比例函数 y ?

?11k ? b ? 880 ?15k ? b ? 720

解得:k=-40, b=1320 ∴y=-40x+1320 由题意有 QH 段:Q(15,720),H(21,0) ∵Q(15,720),H(21,0) ,∴设 y=mx+n; 根据题意有 ?

k ?1 图象的一支位于第二 x

?21m ? n ? 0 ?15m ? n ? 720

象限, ∴在该函数图象的每一支上 y 随 x 的增大而增大. ∵点 A(x1,y1)与点 B(x2,y2)在该函数的第二象 限的图象上,且 y1>y2,所以 x1>x2. 点 3 确定反比例函数的解析式 1.B;2.y=

解得:m=-120, n=2520 ∴y=-120x+2520 (3)出发 5 小时、7 小时、 千米。 第 2 讲反比例函数 考点 1 反比例函数的概念 1.D;2.②⑤; 3. ( 1) y ? ?

2 ; x k , x

58 小时两车相距 200 3

3. (1)设反比例函数解析式为 y ?

∵反比例函数图像经过点 A(-4,2), ∴ ?2 ?

k ,∴ k ? 8 . ?4 8 . x

∴反比例函数解析式是 y ? ∵B(a,4)在 y ? ∴4 ?

6 k ; (2)显然: y ? x x

8 的图象上, x

即: k ? xy ? ?6 ? 1 ? ?5 ? 1.2 ? 3 ? (?2) ? ?6 考点 2 反比例函数的图象和性质 1.A;2.D;3.>; 4.以 B、O、E、P 为顶点的四边形是平行四边形, 分三种情况: ①若以 BE 为对角线,则点 P 的坐标为(0,-4) ; ②若以 OE 为对角线,则点 P 的坐标为( 4,-4) ; ③若以 OB 为对角线,则点 P 的坐标为(-4,-4) .

8 ,∴ a ? 2 ,∴点 B 的坐标为 B(2,4). a

(2)根据图象得,当 x>2 或-4<x<0 时,一次函数的 值大于反比例函数的值. 4. (1) A(-3,0)、B(0,2);(2) ∵B(0,2),∴OB=2. ∵OB 是△ACD 的中位线,∴CD=2OB=4. ∵CD⊥x 轴,垂足为 D,∴C(x,4). 把 y=4,代入一次函数 y ? ∴C(3,4).

2 x ? 2 ,解得 x=3. 3

P

P

P

k k ,得 4 ? ,解得 k=12, x 3 12 ∴反比例函数关系式为 y ? (x>0). x
把 C(3,4) 代入 y ? 5.解:由题意知,OA=3,OB=4

5. (Ⅰ)由题意,设点 P 的坐标为(m,2) . ∵点 P 在正比例函数 y ? x 的图象上,
6

在 Rt△AOB 中,AB= 3 2 ? 4 2 =5

∵四边形 ABCD 为菱形,∴AO=BC=AB=5, ∴C(-4,-5) 设经过点 C 的反比例函数的解析式为 y= ∴

( n +5)≥1200, n ≥5, 答:至少需要增加 5 辆.

k , x

4. (1)设反比例函数解析式为 y=

k x

k =-5,k=20 ?4 20 . x

将(25,6)代入解析式得,k=25×6=150,

∴所求反比例函数的解析式为 y= (2)设 P(x,y) ∵AD=AB=5,OA=3,

150 (x≥15) , x 150 将 y=10 代入解析式得,10= ,得 x=15, x
则函数解析式为 y= 故 A(15,10) , 设正比例函数解析式为 y=nx, 将 A(15,10)代入上式即可求出 n 的值, n= n ?

1 ×2×4=4 2 1 8 8 即 ·OA· x =4,∴ x = ,x=± 2 3 3 8 15 8 15 当 x= 时,y= ;当 x=- 时,y=- . 3 2 3 2 8 15 8 15 ∴P( , )或(- ,- ) 3 2 3 2
∴OD=2,∴S△COD= 考点 4 反比例函数的应用 1. (1)510-200=310(元) ; ( 2) p=

10 2 ? 15 3 2 x (0≤x≤15) . 3

则正比例函数解析式为 y= ( 2)

150 ?2 x

解之得 x=75(分钟) , 答:从药物释放开始,师生至少在 75 分钟内不能进 入教室. 第 3 讲二次函数 考点 1 二次函数的有关概念 1.D;2.B;3.C;4.C;5.A 6.(1)抛物线的对称轴为直线 x=1; (2)表格填写如下:

200 (400≤x<600),p 随 x 的增大而减小; x

(3)当 200≤x<400 时在甲商场购买商品应付款 y1=x-100,在乙商场购买商品应付款 y2=0.6x. 分三种情况: ①当 x-100>0.6x 时, 即 250<x<400, 在乙商场购买商品花钱较少; ②x-100=0.6x 时,即 x=250,在两家商场购买商 品花钱一样; ③当 x-100<0.6x 时,即 200≤x<250,在甲商场购 买商品花钱较少. 2. (1)电流 I( A)是电阻 R(Ω)的反比例函数, k 36 设 I= (k≠0),把(4,9)代入得:k=4×9=36,∴I= . R R (2)方法一:当 R=10Ω 时,I=3.6≠4, ∴电流不可能是 4A. 方法二:∵10×4=40≠36, ∴当 R=10Ω 时,电流不可能是 4A. 3. (1)每天运量 x m3 时,需时间 y ?

(3)抛物线的图象如下:

1200 天; x
考点 2 二次函数的性质 1.A;2.A;3.C;4.>;5.5;6.-1<x<3

( 2 ) 5 辆 拖 拉 机 每 天 能 运 5×12m3=60 m3 , 则 y=1200÷60=20,即需要 20 天运完; ( 3 )假设需要增加 n 辆,根据题意: 8×60+6×12
7

7. (1)抛物线 y= ∵a=

3 (x-1)2-3, 4

3 >0,∴抛物线的开口向上,对称轴为 x=1; 4 3 ( 2) ∵a= >0, ∴函数 y 有最小值, 最小值为-3; 4 9 (3)令 x=0,则 y=- , 4 9 所以,点 P 的坐标为(0,- ) , 4 3 令 y=0,则 (x-1)2-3,解得 x1=-1,x2=3, 4
所以,点 Q 的坐标为(-1,0)或(3,0) , 当点 P(0,-

∵二次项系数 1>0, ∴二次函数开口向上,无最大值. 考点 3 二次函数的图象与系数的关系 1.D;2.B;3.①②③.4.①②③ 考点 4 二次函数解析式的求法 1. y=-x2+4x-3;2. y=-(x+1)2-2 3. (1)把(0,0) , (2,0)代入 y=x2+bx+c 得

?c ? 0 ?b ? ?2 ,解得 ? ,∴解析式为 y=x2-2x; ? ?4 ? 2b ? 0 ?c ? 0
(2)顶点为(1,-1) ,对称轴为:直线 x=1; (3)设点 B 的坐标为(a,b),则

1 ×2|b|=3, 2

9 ) ,Q(-1,0)时, 4


9 ? ?b ? ? 设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b,则 ? 4 ? ?? k ? b ? 0
解得 k=-

∴b=3 或 b=-3. ∵顶点纵坐标为-1, -3<-1 (或 x2-2x=-3 中, x 无解) 2 ∴b=3,∴x -2x=3,解得 x1=3,x2=-1 ∴点 B 的坐标为(3,3)或(-1,3).

9 9 , b=, 4 4 9 9 x-- , 4 4

?c ? 0 ? a ? ?1 4. (1)依题意,得 ? ,解得 ? , ?16a ? 16 ? 0 ?c ? 0
∴二次函数的解析式为 y=-x2-4x. (1) 令 P(m,n) , y P1

所以直线 PQ 的解析式为 y=当 P(0,-

9 ) ,Q(3,0)时, 4

P3

A

O

x

9 ? ?n ? ? 设直线 PQ 的解析式为 y=mx+n,则 ? 4 ? ?3m ? n ? 0
解得 m=

P2

3 9 , n= , 4 4

3 9 x- , 4 4 9 9 综上所述,直线 PQ 的解析式为 y=- x或 4 4 3 9 y= x4 4
所以,直线 PQ 的解析式为 y= 8.解:k=-1,函数有最大值. 当 k=-1 时,函数为 y=-2x2-4x+6,配方,得: y=-2(x+1)2+8, ∵二次项系数-2<0,∴函数有最大值,当 x=-1 时,y 的最大值为 8; 当 k=1 时,函数为 y=-4x+4,是一次函数,无最 值;
2 当 k=2 时,函数为 y=x2-4x+3, y ? x ? 4 x ? 3 ,

1 1 AO n ? ? 4 n ? 8 ,解得 n=±4, 2 2 又∵点 P(m,n)在抛物线 y=-x2-4x 上, ∴-m2-4m=±4,分别解得 m1=-2,m2=-2+2 2 和 m3=-2-2 2 , ∴P1(-2,4) ,P2(-2+2 2 ,-4) , P3(-2-2 2 ,-4) . 考点 5 二次函数与一元二次方程 1.A;2.B;3.B;4.D. 考点 6 用二次函数解决实际问题 1.10m;2.600; 3 . ( 1 ) 依 题 意 有
则 S?AOP ?

y ? (60 ? x ? 50)(200 ? 10 x ) (0 ? x ? 12) 2 即 y ? ?10 x ? 100 x ? 2000 (0 ? x ? 12) 2 (2) y ? ?10 x ? 100 x ? 2000 ? ?10( x 2 ? 10 x ) ? 2000 ? ?10( x ? 5) 2 ? 2250
∴当 x=5 时,最大月利润 y=2250 元 4.∵点(0,2)在 y=a(x-6)2+h 的图像上,
8

∴2=a(0-6)2+h,a= y=

2?h ,函数可写成 36

2?h (x-6)2+h. 36 1 (x-6)2+2.6; 60 1 2 × ( 9- 6) +2.6=2.45>2.43, 60

(1)当 h=2.6 时,y 与 x 的关系式是 y =-

(2)球能越过球网,球会出界. 理由: 当 x=9 时, y =- 所以球能过球网;

1 (x-6)2+2.6=0, 60 解得:x1=6+2 39 >18,x2=6-2 39 (舍去) ,故
当 y=0 时,- 球会出界. 另解: 当 x=18 时, y =- 所以球会出界. (3)由球能越过球网可知,当 x=9 时,y=

4. ∠BDE=∠BAC 或 BE=BC 或∠ACB=∠DEB 等 (写 出一个即可) 5.AB=CD 或∠ACB =∠DBC;6.3. 7.证明:∵AD=EB ∴AD-BD=EB-BD,即 AB=ED ∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB ∵∠C=∠F,△ABC≌△EDF ∴AC=EF. 8.证明:在 ΔABC 和 ΔMED 中, ∵BC∥EM,∴∠MED=∠B, ∵DM⊥AB,∴∠MDE=90°,∴∠C=∠MDE. ∵AC=MD, ∴ΔABC≌ΔMED. 第 3 讲 等腰三角形和直角三角形 考点 1 等腰三角形的性质 1.C;2.C;3.35?;4.8 或 或3 5.解:(1)证明:∵∠AOB=∠DOC, ∠B=∠C, AB=CD∴△AOB≌△DOC(AAS) . (2)由(1)知 △AOB≌△DOC,∴AO=DO. ∵E 是 AD 的中点,∴OE⊥AD.∴∠AEO=90?. 6.解:证明:∵△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC ∴∠B=∠C,BD=CD ∵△A1D C1 是由△ADC 旋转而得 ∴ A1D=AD, C1 D= CD, ∠C1 =∠C , ∴∠B =∠C1, BD= C1 D 则 BD-A1D= C1 D-AD 即 BA1= C1 A

1 2 × (18-6) +2.6=0.2>0, 60 2?h ?h 4

>2.43,① 由球不出边界可知,当 x=18 时,y=8-3h≤0,② 由①、②知 h≥

8 8 ,所以 h 的取值范围是 h≥ . 3 3

第四章 图形与几何 第 1 讲 几何初步 考点 1 线段、射线及直线的相关知识 1.B;2.B;3.6;4.两点之间线段最短. 考点 2 角的有关计算 1.C;2.C;3.C;4.B;5.50°;6.15° 考点 3 相交线 1.B;2.C;3.B;4.C; 考点 4 平行线的判定与性质 1.B;2.C;3.A;4.B;5.平行;6.AD∥BC (AD 与 BC);7.121°;8.70°. 第 2 讲三角形 考点 1 三角形的有关概念 1.C;2.A;3.C;4.稳定性;5.40;6.1<AD<4. 考点 2 三角形的三边关系 1.C;2.B;3.C;4.B;5.C;6.C; 考点 3 三角形内角和定理、外角性质 1.A;2.C;3.C;4.A;5.90°;6.85°; 考点 4 全等三角形的性质和判定 1.B;2.D;3.B;
9

??1 ? ?2 ? 在△A1BE 和△A C1E 中 ??B ? ?C1 ? BA ? C A ? 1 1
∴△A1BE≌△AC1E (AAS)

考点 2 等腰三角形的判定 1.D;2.200. 3.证明:∵AE 平分∠DAC,∴∠1=∠2. ∵AE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C, ∴∠B=∠C,∴AB=AC. 4. (1) ∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°. 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中,AB=BA,AC=BD, ∴△ACB≌Rt△BDA(HL) . ∴BC=AD.

(2)由 △ACB≌Rt△BDA 得∠CAB=∠DBA, ∴△OAB 是等腰三角形. 考点 3 等边三角形的性质与判定 1.C;2.A;3.2;4.19; 5. (1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC= ∠C=60°,AB=AC. 在△ABE 和△CAD 中, ∵AB=AC,∠BAE=∠C,AE=CD.∴△ABE≌△ CAD. (2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD. ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. 考点 4 角平分线的概念及其性质 1.B;2.A;3.2;4.2; 考点 5 线段的垂直平分线的性质 1.B;2.A;3.70;4.10.5; 5.证明:∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO ∠AEO=∠CFO ∵EG 垂直平分 AC,∴AO=CO FA=FC

考点 8 距离最短问题 1.15;2. 2 5 ;3.4; 4. (1)作 D 点关于 BC 的对称点 D′,连接 D′E,与 BC 交于点 P,则 P 点即为所求;

(2)∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点, ∴DE 为△ABC 中位线, ∵BC=6,BC 边上的高为 4,∴DE=3,DD′=4, ∴D′E= = =5,

??EAO ? ?FCO ? 在△AOE 和△COF 中 ??AEO ? ?CFO ? AO ? CO ?
∴△AOE≌△COF﹙AAS﹚ ∴AE=CF,∴AE=AF 6. (1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠A′DE=90°, 根据旋转的方法可得:∠EA′D=45°, ∴∠A′ED=45°,∴AD=DE, 在△AA′D 和△CED 中,AD=CD,∠ADA′=∠EDC, AD=ED, ∴△AA′D≌△CED(SAS) ; (2)∵AC=A′C, ∴点 C 在 AA′的垂直平分线上, ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线,∴∠CAE=45°, ∵AC=A′C,CD=CB′,∴AB′=A′D, 在△AEB′和△A′ED 中,∠EAB′=∠EA′D,∠AEB′= ∠A′ED, AB′=A′D,∴△AEB′≌△A′ED, ∴AE=A′E, ∴点 E 也在 AA′的垂直平分线上, ∴直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线. 考点 6 勾股定理 3 1.A;2.C;3. ;4.2; 2 考点 7 勾股定理的逆定理 1.D;2.D;3.C;
10

∴△PDE 周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8 第 4 讲多边形和四边形 考点 1 多边形的内角和 1.C;2.A;3.C;4.5;5.300°;6.240°. 考点 2 平行四边形的性质和判定 1.B;2.B;3.C;4.4;5.2;6.20; 7. (1)AD∥BC,∴∠2=∠3, ∵BF 是∠ABC 的平分线,∴∠1=∠2, ∴∠1=∠3,∴AB=AF. (2)∵AD∥BC,∴△AEF∽△CEB, AE AF 3 ∴ ? = , CE CB 5 ∴
AE AE 3 3 = ? ? . AC AE ? CE 3 ? 5 8

考点 3 菱形的性质和判定 1.B;2.C;3.B;4.C; 5. (1)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=CD,AB∥CD, 又∵BE=AB,∴四边形 BECD 是平行四边形, ∴BD=EC. (2)∵四边形 BECD 是平行四边形,∴BD∥CE, ∴∠ABO=∠E=50°. 又∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, ∴∠BAO=90°-∠ABO=40°. 6. (1)∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A?∠C?90?,AB=DC,AD=BC,

∵M、N 分别是 AD、BC 的中点,∴AM=NC, ∴△MBA≌△NDC; (2)四边形 MPNQ 是菱形.理由: ∵△MBA≌△NDC∴MB=DN, ∠ABM?∠CDN, ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点.∴PM=NQ, ∵∠ABM +∠CBM ?90?,∠CDN +∠CND ?90?, ∴∠CBM ?∠CND,∴PM ∥NQ, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 连接 MN,由题意可得四边形 AMNB 是矩形,PN 为 直角三角形斜边上的中线,故 PN=MP, ∴四边形 MPNQ 是菱形 考点 4 矩形的性质和判定 1.D;2.C;3.C;4.C; 5. (1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠B=90°, AD=BC, AD//BC. ∴∠DAE=∠AFB, ∵DE⊥AF, ∴∠DEA=∠B =90°. ∵AF=BC,∴AF=AD. ∴△ABF≌△DEA. (2)(答案不唯一) 方法一:由(1)知△ABF≌△DEA,∴DE=AB. ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠C=90°,DC=AB. ∴DC=DE. ∵∠DEA =90°,∴∠DEF =∠C =90°. ∵DF = DF , ∴△DCF≌△DEF ∴∠EDF =∠CDF. ∴DF 是∠EDC 的平分线. 方法二:由(1)知△ABF≌△DEA,∴BF=EA. ∵AF=BC,∴EF=CF. ∵∠DEA =90°,∴∠DEF =∠C =90°. ∴DF 是∠EDC 的平分线. 6.⑴∵四边形 ABCD 为矩形 ∴AB=CD,∠C=∠BAD=90° ∵△BC′D 由△BCD 沿 BD 折叠而得 ∴C′D=CD,∠C′=∠C=90° 又∵∠AGB=∠C′GD ∴△ABG≌△C′DG(AAS) ⑵∵△ABG≌△C′DG ∴AG=CG,BG=DG 由矩形性质及图形的折叠性质,得 C′B=AD=8 ∵AB=6 设 AG=x,则 BG=8-x ∴在 Rt△ABG 中,x2+6=(8-x)2 解得:x= 7 ;
4
7 AG 7 ∴在 Rt△ABG 中,tan∠ABG= ? 4 ? AB 6 24

∴∠FAD=∠FDA,EF∥AB ∴BF=DF=

1 BD =5 2

∴在 Rt△DHF 中,FH=3 ∵△ABG≌△C′DG ∴∠ABG=∠C′DG ∴tan∠C′DG= EH =tan∠ABG=
DH

7 24

∴EH= 7
6

∴EF=EH+HF= 7 +3= 25 6 6 考点 5 正方形的性质和判定 1.D;2.C;3.( 2)n 1;4.7;


?AD=DC ? 5.证明:在△AED 和△DFC 中,?DE=CF ? ? ∠ADE=∠DCF
∴△AED≌△DFC, ∴∠DAE=∠FDC 又∵∠MED=∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE 即∠MDE+∠MED=∠MDE+∠FDC+∠ADE =∠ADC=90° ∴∠DME=90°∴AM⊥DF 6. (1)证明:如图,∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB=AD,∠2+∠3=90° ∵DE⊥AG,∴∠AED=90° ∴∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2 又∵BF∥DE,∴∠AFB=∠AED=90°

??1 ? ?2 ? 在△AED 和△BFA 中, ??AED ? ?BFD ? AD ? AB ?
∴△AED≌△BFD,∴BF=AE ∵AF-AE=EF,∴AF-BF=EF ( 2)如图,根据题意知: ∠ FAF’ = 90° ,DE= AF’ =AF,∴四边形 AEDF’为矩形,∴EF’=AD=3

F' A
3 2 1

D

E F B G C

⑶由勾股定理,得:BD=10 ∵△FAE 由△FDE 沿 EF 折叠而得 ∴EF 垂直平分 AD

1 ∴AF=DF,HD= AD =4 2
11

考点 6 梯形的性质和判定 1.A;2.A;3.2;4.40; 5.⑴证明:在梯形 ABCD 中,

∵AD∥BC,AB=CD, ∴∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA. ∴∠ABE=∠CDA.

∴四边形 EFGH 是平行四边形.

? AB ? CD, ? 在△ABE 和△CDA 中, ??ABE ? ?CDA, ? BE ? AD. ?
∴△ABE≌△CDA. ⑵解:由⑴得:∠AEB=∠CAD,AE=AC. ∴∠AEB=∠ACE. ∵∠DAC=40°∴∠AEB=∠ACE=40°. ∴∠EAC=180°-40°-40°=100°. 6.解: (1)证明:如下图, ∵AD∥BC,∠1=∠DAE,∠2=∠3. 考点 8 平面图形的密铺 1.D;2.A;3.6;4.4n-2(或 2+4(n-1) ) 第 5 讲直角三角形的边角关系 考点 1 锐角三角函数的概念 1.C;2.A;3.A; 4. ( 1) ∵DE∥BC, DE=3 ,BC=9, ∴△AED∽△ACB, ∴
AD DE 1 ? ? AB BC 3 AD 1 AD 1 ? ,BD=10,∴ ? ,∴AD=5, AB 3 AD ? 10 3 ED 3 ? . AD 5

(2)∵

∵∠C =90°,∴sinA= ∵EA=ED, ∴∠DAE=∠3.∴∠1=∠2. 又∵EB=EC,∴△AEB≌△DEC. ∴AB=DC,∴梯形 ABCD 是等腰梯形. (2)当 AB⊥AC 时四边形 AECD 是菱形. 证明:∵AD∥BC,EB=EC=AD, ∴四边形 ABED 和四边形 AECD 都是平行四边形. ∴AB=DE. ∵AB⊥AC,EB=EC,∴AE=EB=EC. ∴四边形 AECD 是菱形. 过点 A 作 AG⊥BC 于点 G. ∵AE=EB=AB=2,∴△ABE 为等边三角形. ∴∠1=60°,∴AG=AE·sin60°= 3 . ∴ S 菱形 AECD ? EC ? AG ? 2 ? 3 ? 2 3 . 考点 7 三角形和梯形的中位线 1.D;2.D;3.1.5;4.5cm; 5. (1)平行四边形; (2)证明:连接 AC. (如下图) ∵E,F 分别是边 AB,BC 的中点, ∴EF∥AC,EF= 5.⑴ tan A = 故答案为:

1 ;AC= 2 2 ? 4 2 = 20 = 2 5 . 2

1 ;2 5 2

⑵共有四个点 D1, D2, D3,D4,不妨选取 D1 证 明 : 由 图 形 知 EF=2=AB , 由 勾 股 定 理 知 , FD= 2 5 =AC,D1E= 2 2 =BC, ∵在△ABC 和△FED 中 EF=2=AB FD=AC D1E=BC ∴△ABC≌△FED 考点 2 特殊角的三角函数值 1.C;2.B;3. ? 3 ;4.1;5.75°;6.30° 考点 3 解直角三角形 1.A;2.

85 5 a或 a. 10 10
BC , BD

1 AC. 2 1 AC. 2
12

3.在 Rt△BDC 中,因为 sin∠BDC=

∵H,G 分别是边 AD,DC 的中点, ∴HG∥AC,HG=

所以 BC=BD×sin∠BDC=10 2 ×sin45?

=10 2 ×

∴EF∥HG,EF=HG.

2 =10. 2

在 Rt△ABC 中,因为 sin∠A=

BC 10 1 = = , AB 20 2

所以∠A=30?. 4.过点 C 作 CD⊥AB 于 D,在 Rt△ACD 中, ∵∠A=300,∴CD=

1 AC= 3 ,由勾股定理得 2

AD= ( 2 3 ) 2 ? ( 3 ) 2 ? 9 ? 3 , 在 Rt△ACD 中,∵tan45°= ∴AB=AD+BD= 3 ? 3 . 5.⑴ ∵∠ACB=90°,AC=15,cosA= ∴ AB ? 25 则 CD ?
1 25 AB ? 2 2 3 , 5

CD ,∴BD=CD= 3 , BD

2.解:⑴因为所要修建一个平行于水平线 CA 的平 台 DE 和一条新的斜坡 BE,所以当∠BEF=45°时,

1 1 BD= AB=15 米, 2 4 所以 DF=15 3 , 所以 DE=15 3 -15=10. 98 (米)
则有 EF=BF,而同的 BF= ≈11.0(米) . ⑵过点 D 作 DP⊥AC,垂足为 P.在 Rt△DPA 中,DP=

4 ⑵ ∵ ?DCB ? ?DBC ,且 cos ?DBC ? 5 CE 4 ∴ ? , BC ? 20 BC 5 25 解得: CE ? 16 而 CD ? 2 25 7 那么 DE=16- = 2 2 DE 7 2 7 所以, 在 Rt△DEB 中, sin ?DBE ? ? ? ? DB 2 25 25 6.分别过点 B、C 作 FC 的垂线,垂足分别为点 P,

1 1 AD= ×30=15, 2 2 3 PA=AD×cos30°= ×30=15 3 . 2

在矩形 DPGM 中,MG=DP=15, DM=PG=15 3 +27. 在 Rt△DMH 中, HM=DM×tan30°=

C,∵在 Rt△ACB 中,∠A=45°, AC ? 12 2 , ∴ AC ? 12 2 ? 2 ? 24 ,∴CQ=QB=BP=PC=12, ∵∠F =90°,∠E=30°,则∠BDP=60°,

3 ×(15 3 +27)=15+9 3 . 3

所以 GH=HM+MG=15+15+9 3 ≈45.6. 答:建筑物 GH 高为 45.6 米. 3.由∠ABC=120?可得∠EBC=60?. 在Rt△BCE 中,CE=51,∠EBC=60?. CE 因此tan60?= , BE CE 51 BE= = ≈30. tan60? tan60? (答案在28.9~30的都算正确) 在矩形AECF中,由∠BAD=45?,得∠ADF=∠DAF =45? 因此DF=AF=51. ∴FC=AE=34+30=64. ∴CD=FC-FD≈64-51=13. 因此 BE 的长度约为 30cm,CD 的长度约为 13cm. 4.由题意可得 CE=63 米,CD=1.1 米,
13

BP ∴在 Rt△BDP 中, tan 60? ? , DP
∴ DP ?

12 ? 4 3 ,CD=12-4 3 3

考点 4 运用锐角三角函数解决实际问题 1.作 AE⊥DC 于点 E,∴∠AED=90°. ∵∠ABC=∠BCD=∠CEA=90°, ∴四边形 ABCE 是矩 形,∴AE=BC,AB=EC. 设 DC=x,∵AB=26,∴DE= x-26. 在 Rt△AED 中,tan30°=

x ? 26 3 DE ,即 ? . AE x 3

解得:x≈61.1 米(答案为 x≈60 也可以). 答:乙楼高为 61.1 米.

可设 AG=4x,在 Rt△AEG 中,∵tan39°=

AG 4 ? , EG 5

∴∠ADC=∠OBC

∴△ACD∽△OCB

∴EG=5x, ∵CE=63,∴GC=CE+EG=63+5x, AG 2 4x 2 ∵tan22°= ? ,∴ ? , CG 5 63 ? 5 x 5 解得 x=12.6.∴AG=4×12.6=50.4. ∵AH=AG+GH,GH=CD=1.1,AG=50.4, ∴AH=51.5. ∵BH=13,∴AB=38.5 米. 故可得“八卦楼”的高度约为 38.5 米. 第6讲 圆 考点 1 圆的有关性质垂径定理 1.D;2.D;3.8;4.6; 5.(1)∵∠APD=∠C+∠CAB, ∴∠C=65°?40°=25°.∴∠B=∠C=25°. (2)过点O作OE⊥BD于E,则DE=BE. 1 1 又∵AO=BO,∴OE= AD= ×6=3. 2 2 ∴圆心 O 到 BD 的距离为 3. 6. ( 1) 证明: ∵∠ABC=∠APC,∠BAC=∠APC=60°, ∴∠ABC=∠BAC=60°,∴△ABC 是等边三角形. (2)连接 OB,则 OB=8,∠OBD=30°. 又∵OD⊥BC 于 D,∴OD=

考点 3 点与圆的位置关系 1.A;2.A;3.2;4.5; 5. (1)点 C 在以 AB 为直径的圆上. 理由:连接 MC,MD, ∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC, ∵∠DAC=∠BAC, ∴∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD, ∵AD=AM, ∴CD=AM, ∴四边形 AMCD 是平行四边形,∴MC=AD, 同理 MD=BC, ∵AD=BC, ∴MC=MD=AD=BC=MA=MB, ∴点 C 在以 AB 为直径的圆上. (2)由(1)得△AMD 是等边三角形,过点 D 作 DE ⊥AB 于 E,由勾股定理得,DE= 2 ? 1 ? ∴梯形 ABCD 的面积=
2 2

3,

1 ? ( 2 ? 4) ? 3 ? 3 3 . 2

1 OB=4. 2

考点 2 圆的有关性质与圆有关的角 1.D;2.A;3.22°﹒4.60; 5.⑴ 解:连接 OA ∵∠ADC=18° ,∴∠AOC=2∠ADC=36° ∵OA=OB,∴∠OAC=∠OBC=30° ∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66° ∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96° ⑵证明:过点 O 作 OE⊥AB 于点 E 在 Rt△OBE 中 OB=4,∠OBC=30° ∴OE=OBcos30°=4×

考点 4 直线与圆的位置关系 1.B;2.B;3.16π;4.65?. 5.解: (1)AG 与⊙O 相切. 证明:连接 OA,∵点 A,E 是半圆周上的三等分点, ∴ BA = AE = EC ∴点 A 是 BE 的中点,∴OA⊥BE. 又∵AG∥BE,∴OA⊥AG.∴AG 与⊙O 相切.

3 =2 3 2

∵OE⊥AB,∴AB=2OE=4 3 ∵ AC=2 3 ,∴C、E 重合 ∴∠ACD=∠OCB=90°,∠AOC=∠COB =90°-∠OBC=60° ∴∠ADC=

(2)∵点 A,E 是半圆周上的三等分点, ∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°. 又 OA=OB,∴△ABO 为正三角形. 又 AD⊥OB,OB=1,∴BD=OD= 又∠EBC=

3 1 , AD= . 2 2

1 ?EOC =30,在 Rt△FBD 中, 2

1 ∠AOC=30° 2
14

FD=BD ? tan∠EBC= BD ? tan30°=

3 , 6

3 3 3 ∴AF=AD ? DF= - = . 2 6 3
6. (1)∵AC=OA=OC=2,∴△AOC 为等边三角形. ∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°,

∴Cos∠CPQ=

PQ 1 = ,∴∠CPQ=60° PC 2

在 Rt△PDQ 中,∵PD=2r2=2 2 ,PQ=2

1 ∴∠APC= ∠AOC=30°. 2
又 DC 切⊙O 于点 C,∴OC⊥DC,即∠DCO=90°. ∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°. (2)连 BP、OP,如图所示

∴sin∠PDQ=

2 PQ = ,∴∠PDQ=45° PD 2

∴∠CAQ=∠CPQ=60°,∠PBQ=∠PDQ=45° 又∵PD 是⊙O2 的直径,∴∠PBD=90°, ∴∠ABE=90°-∠PBQ=45° 在△EAB 中,∴∠E=180°-∠CAQ-∠ABE=75°. 8.解: (1)设两圆的半径为 r,则

∵AB 为直径,∠AOC=60°,∴∠BOC=120°, 当点 P 移到 BC 的中点时,∠COP=∠BOP=60°, 又 OB=OP=OC, ∴△BOP 和△COP 均是等边三角形 ∴OB=BP=OP=PC=OC ∴四边形 OBPC 为菱形. (3)当点 P 与点 B 重合时,△ABC 与△APC 重合, 这时△ABC≌△APC 当点 P 继续运动到 CP 经过圆心 O 时,也有△ABC ≌△CPA

O1A ? O1B ? O 2 A ? O 2 B ? r
∴四边形 AO1BO 2 是菱形 (2)∵AC 为

O1 直径,CE 为 O1 切线

∴∠AO2D=∠ACE=900 ∵四边形 AO1BO 2 是菱形,∴∠CAE=∠O2AD ∴△ACE∽△AO2D,∴ CE ? AC ? 2 O 2 D AO 2 1 ∴ CE=2DO 2 (3)由 BC 得∠CAB=∠CO2B ∵四边形 AO1BO 2 是菱形

此时,AB=CP,AC 为公共边,∠ACB=∠CAP=900. ∴Rt△ABC≌Rt△CPA 考点 5 圆与圆的位置关系 1.C;2.D;3.B;4.7cm;5.4;6.0 或 2; 7. (1)证明:∵CD⊥PQ∴∠PQC=∠PQD=90° PC、PD 分别是⊙O1、⊙O2 的直径, 在⊙O1 中,∠PAB=∠PCD 在⊙O2 中,∠PBA=∠PDC △PAB∽△PCD

∴∠O2BA=∠BAO2=∠CAB=∠CO2B ∴ BD= DO 2 ∵∠O2BA+∠BAO2+∠CO2A+∠CO2B =1800 ∠CO2A=900 ∴∠O2BA=∠BAO2=∠CO2B=300 ∴ BD=O 2D= 1 AD
2

∵△AO2D 与△BO2D 分别以 AD.BD 为底,则高相 同, S?AO2D=1 ,∴ S?BO2D =
1 2

S?AO2D=

1 . 2

考点 6 三角形的外接圆和内切圆 1.A;2.C;3.C;4.C; 考点 7 圆的度量 1.C;2.D;3.A; 4.3-
15

PA PC 2r1 ? ? = 2; PB PD 2r2
(2)在 Rt△PCQ 中,∵PC=2r1=4,PQ=2

? ;5.6;6.5; 3

7.连结 AO、BO.过点 A 作 AE⊥DC 于点 E, 过点 O 作 ON⊥DC 于点 N,ON 交⊙O 于点 M,交 AB 于点 F.则 OF⊥AB. ∵OA=OB=5m,AB=8m, ∴AF=BF=

S ?HDF ? 3S ?M 1DF ,过点 M1 作 M1P⊥DF 于点 P,


9 3 1 3 = 3 ? ? 3 ? M 1 P ,求得 M1P= . 4 2 2
30 ? ? ? 3 ? = . 180 2

1 AB=4(m),∠AOB=2∠AOF. 2

故∠FD M1=300,此时点 M 经过的弧长为: l1=

在 Rt△AOF 中,sin∠AOF= AF =0.8=sin53°. AO ∴∠AOF=53°,则∠AOB=106°. ∵OF= OA ? AF =3(m),由题意得:MN=1m, ∴FN=OM-OF+MN=3(m). ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB, ∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE. 在 Rt△ADE 中,tan56°=
2 2

过点 M1 作 M1M2∥DF 交⊙D 于点 M2, 则满足 S ?HDF ?

3S ?M 1DF = 3S ?M 2 DF ,

此时∠FDM2=1500,点 M 经过的弧长为:

AE = 3 , DE 2

∴DE=2m,DC=12m. ∴S 阴=S 梯形 ABCD-(S 扇 OAB-S△OAB) = 1 (8+12)×3-( 106 π×52- 1 ×8×3)=20(m2). 2 360 2 答:U 型槽的横截面积约为 20m2. 8. (1)证明:连结 DE,过点 D 作 DN⊥BC,垂足 为点 N. ∵四边形 ABCD 是菱形,∴BD 平分∠BAC. ∵边 AB 与⊙D 相切于点 E, ∴DE⊥AB,∴DN=DE.∴⊙D 与边 BC 也相切. (2)∵四边形 ABCD 是菱形, ∵AD=AB=2 3 ,∵∠A=600, ∴DE=ADsin600=3,即⊙D 的半径是 3.

150 ? ? ? 3 5? = . 180 2 综上所述,当 S ?HDF ? 3S ?MDF 时,动点 M 经过的 ? 5? 弧长为 或 . 2 2
l2= 第四章 图形的变化 第 1 讲图形与变换 考点 1 轴对称及轴对称图形的概念 1.A;2.B;3.13; 考点 2 轴对称的性质 1.B;2.5; 3.解: (1)如图,△A1B1C1 是△ABC 关于直线 l 的 对称图形. (2)由图得四边形 BB1 C1C 是等腰梯形,BB1= 4, CC1=2,高是 4.
1 ∴S 四边形 BB1C1C = ( BB1 ? CC1 ) ? 4 2

1 ∵∠HDF= ∠CDA=600,DH=DF, 2
∴△HDF 是等边三角形.

= (4 ? 2) ? 4 =12 .
l
0

1 2

3 3 过点 H 作 HG⊥DF 于点 G, 则 HG=3×sin60 = . 2
C C1

1 3 3 9 3 ? 3? ? , 2 2 4 60 ? ? ? 3 2 3? S 扇形HDF ? ? . 360 2 3? 9 3 ∴ S阴影 = S 扇形HDF - S ?HDF = - 2 4 6? - 9 3 = . 4
故 S ?HDF ? ( 3 ) 假 设 点 M 运 动 到 点 M1 时 , 满 足
16

A B B1

A1

考点 3 图形的折叠问题 1.C;2.B;3.B;4.80o;5.67.5;6. 3 ; 考点 4 生活中的轴对称 1.C;2.A;3.A;4.309087. 考点 5 图形的平移 1.A;2.C;3.8;4.1;

5. ( 1) AC⊥BD. ∵△ABC 是等边三角形, 且△DCE 由△ABC 平移而成, ∴BC=CD=6,∠DCE=∠ACB=60°, ∠DCA=180°-∠DCE-∠ACB=60°, ∴∠DCA=∠ACB .又 BC=CD ,BD⊥AC. (2)∵∠E=∠ACB=60°,∴AC∥DE. 又∵BD⊥AC,∴BD⊥DE. 在 Rt△BED 中,∵BE=6,DE=3, ∴BD= BE 2 ? DE 2 = 6 2 ? 3 2 ? 3 3 . 6.(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC向右平移7个 单位长度得到的; (2)如果以直线a、 b为坐标轴建立平面直角坐标系后, 点A的坐标为(-3,4),则格点△DEF各顶点的坐 标分别为D(0,-2), E(-4,-4),F (3,-3).

考点 7 图形变换和图案设计 1.B;2.A;3.B;4.略; 5. ( 1) 、 (2)如下图; ( 3) △A1B1C1 与△A2B2C2 组成的图形 是轴对称图形, ..... 对称轴如下图两条 斜线. ..
B C2 C
O

A A2 A1 C1 第 22 题图

B2 M

B1

第 2 讲 图形的相似 考点 1 比例线段和比例性质 1.D;2.D;3.D;4.=; 考点 2 相似图形的识别 1.C;2.B;3.B;4.△BDE~△CDF,△ABF~ △ACE. 5.∠D=∠B 或∠AED=∠C 或 AD︰AB=AE︰AC 或 AD?AC=AB?AE.

SΔDEF= SΔDGF

1 +SΔGEF= ×5×1+2×5×1=5, 2 1

1

6.∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或∠ADE=∠B 或 AD AE ∠AED=∠C 或 = AC AB 7. ( 1)根据勾股定理,得 AB ? 2 5 , AC ? 5 , BC=5 ; 显然有 AB ? AC ? BC , 根据勾股定理的逆定理,得△ABC 为直角三角形。 (2)△ABC 和△DEF 相似. 根据勾股定理,得 AB ? 2 5 , AC ? 5 , BC=5 ,
DE ? 4 2 , DF ? 2 2 , EF ? 2 10 .
AB AC BC 5 ? ? ? ,∴△ABC∽△DEF. DE DF EF 2 2 (3)如图:△P2P4 P5.
2 2 2

1 1 或 SΔDEF=7×2? ×4×2? ×7×1? ×3×1 2 2 2

7 3 =14―4― - =5. 2 2
考点 6 图形的旋转 1.B;2.B;3.A;4.90;5.2,30;6.90; 7.证明: (1)∵△ BE ?A 是由△BEC 以点 B 为旋转 中心,按逆时针方向旋转而得到 ∴△ BE ?A ≌△BEC ∴BE=BE′,∠CBE=∠ABE′

1 ∵∠DBE= ∠ABC,∴∠CBE+∠ABD=∠DBE 2
∴∠DBE=∠DBE′ 又∵BD=BD,∴△DBE≌△DBE′ ∴ DE ? ? DE . ( 2) 将△CBE 以点 B 为中心按逆时针方向旋转 90°, 得△ABF,则 AF=CE,∠FAB=∠C. ∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠C=45° ∴∠FAD=∠FAB+∠BAC=∠C+∠BAC=90° ∴DF2=AD2+AF2=AD2+CE2 同(1)理,可知 DF=DE,故 DE2=AD2+EC2.
17



考点 3 相似图形的性质 1.D;2.B;3.C;4.9:1;5. AD ?
16 ; 6. 2 3 5

7. (1)证明:∵AB=AD=25,∴∠ABD=∠ADB ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴∠ABD=∠DBC ∵AE⊥BD, ∴∠AEB=∠C=90°, ∴△ABE∽△DBC ; ( 2) ∵AB=AD, 又∵AE⊥BD, ∴BE=DE, ∴BD=2BE

AB BE ? BD BC 25 BE ∵AB=AD=25,BC=32,∴ ? ,∴BE=20, 2 BE 32
由△ABE∽△DBC,得 ∴AE=

? x ? 15 , ? y ? 16 ? x ? 15 经检验 ? 是上述方程的解, ? y ? 16
由①、②解得 ? ∴电线杆 AB 的高度为 15 米. 第3讲 视图与投影

考点 1 立体图形的认识与识别 1.C;2.D;3.6; 考点 2 图形的展开与折叠 1.C;2.A;3.B;4.D; 考点 3 几何图形的截法 1. B 考点 4 确定立体图形的三视图 1.B;2.A;3.C;4.C;5.C;6.A;7.如图.

AB 2 ? BE 2 ? 25 2 ? 20 2 ? 15

考点 4 图形的放大与缩小 1.D;2.B;3. (3,4)或(0,4) ;4.12; 5.解: (1)如图,△A1B1C1 即为所求,C1(2,-2) (2)如图,△A2BC2 即为所求,C2(1,0) ,△A2BC2 的面积等于 10. 6.

y
C C' B B' A A' A''

x

O

B'' C''

考点 5 根据三视图求立体图形的体积与表面积 解: (1)图中点 O 为所求. (2)△ABC 与△ A?B ?C ? 的位似比等于 2:1. (3)△ A??B ??C ?? 为所求. A?? (6,0) ; B ?? (3,-2) . C ?? (4,-4) 考点 5 利用图形的相似解决实际问题 1.A;2.3.42;3.12;4.5.5; 5.(1)△FBG,△F1BG; (2)设电线杆 AB 的高度为 x 米,AC=y 米. 1.B;2.B;3. 2? ;4.75 3 +360 考点 6 投影 1.B;2.C;3.平行四边形,矩形(或菱形、或其 它特殊的平行四边形) . 考点 7 投影知识的应用 1.C;2.B; 第六章 统计与概率

FM DM ∵DM∥BG,∴△FDM∽△FBG,∴ ? , FG BG


2 3 ? 1.5 ? y ? 2 x ? 1.5

①,

同理,

F1 N D1 N ? , F1G BG



3 3 ? 1.5 ? y ? 2 ? 6 ? 3 x ? 1.5

②,
18

第 1 讲 统计 考点 1 容量总体个体样本和样本的 1.C;2.C;3.B;4.B; 考点 2 调查方式的选择 1.A;2.B;3.B;4.B; 考点 3 众数中位数 1.C;2.B;3.B;4.1.5;6.7;7.90,90;8.39, 40. 考点 4 平均数 1.B;2.B;3.A;4.22;5.5;6.7600;

7. ( 1)
40 ? 1 ? 41 ? 3 ? 42 ? 6 ? 43 ? 5 ? 44 ? 3 ? 45 ? 2 1? 3 ? 6 ? 5 ? 3? 2 ? 42.6 x?

(2)这组数的众数为 42,所以大多数车以 42 千 米/小时的速度行驶 (3)这组数的中位数为 42.5,所以中间的车速是 42.5 千米/时. 考点 5 极差方差与标准差 1.C;2.D;3.A;4.6;5.3.5;6.丙; 7. (1) x A ? (0 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 3) ? 0 (2)1,- 2,- 1,-1,3
1 ∵ xB ? (1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3) ? 0 ,∴ x A ? xB 7
2 ∵ SA ? (02 ? 12 ? 22 ? 12 ? 02 ? 12 ? 32 ) ?

( 2 )成绩优秀的学生约为: (人) (3)至少 11 人.

32 ? 28 ? 1000 =600 100

1 7

1 7

16 , 7

第 2 讲 概率 考点 1 确定事件与不确定事件 1.B;2.C;3.C;4.D;5.C;6.D; 考点 2 利用公式求概率 1.B;2.B;3.B;4.B;5.A;6. 8.

1 16 S ? (12 ? 22 ? 12 ? 12 ? 32 ) ? 5 5
2 B

3 1 ; 7. ; 5 6

2 2 ∴ SB ? SA ,∴数据 1,-2,-1,-1,3 符合题意.

1 1 1 ;9. ;10. ; 2 3 3

考点 6 统计图表问题 1.A;2.C;3.31.2;4.27; 5. (1)50÷10%=500(人) ,故一共调查了 500 人. (2)由(1)可知,总人数是 300 人. 药物戒烟:500×15%=75(人) ; 警示戒烟:500﹣200﹣50﹣75=175(人) ; 175÷500=35%; 强制戒烟:200÷500=40%. 完整的统计图如图所示: (3)10000×35%=3500(人) ; (4)3500×(1+20%)2=5040(人) .

考点 3 利用树状图或列表法求概率 1.D;2.A;3.B;4.C;5.A;6.C; 7.解: (1)每人随机取一张牌共有 9 种情况:

[或(10,9) , (10,7) , (10,5) , (8,9) , (8, 7) , (8,5) , (6,9) , (6,7) , (6,5)] 小齐获胜情况有(8,9) , (6,9) , (6,7)共三种,

6. (1)a=0.28:第一组的频数是 8,频率是 0.08, 所 以 被 抽 查 学 生 数 =8÷0.08=100( 人 ) , 第 二 组 有 100×0.12=12( 人 ) ,第三组及第四组的频率为 0.2 , 0.32,故 a=1-0.08-0.12-0.2-0.32=0.28

3 1 = . 9 3 (2)根据题意,小亮的出牌顺序为 6,8,10 时, 小齐随机出牌有 6 种: ( 9, 7, 5) , (9,5,7) , (7,9,5) , (7,5,9) , (5,9,7) , (5,7,9) ,小齐获胜的情况只有(7, 1 9,5)一种,所以小齐获胜的概率为 P2= . 6 8.
所以小齐获胜的概率为 P1=

19

P(甲得 1 分)=

6 1 ? 12 2 1 4

(2)不公平. 由树状图或表格可知,共有 9 种可能的结果,且每 种结果出现的可能性相同,第二次抽取的数字大于 第一次抽取的数字有 3 种,所以 P(第二次抽取的数 ∵P(乙得 1 分)=

3 1 字大于第一次抽取的数字有多少种)= = . 9 3
考点 4 游戏公平与否 1.解:方法一:列表如下:

∴P(甲得 1 分)≠P(乙得 1 分),∴不公平. 3. (1)用树状图列出所有问题的可能的结果:

由表格可知,所有等可能的结果共有 9 种,其中, 两位数能被 4 整除的情况有 3 种.所以 P(甲获胜)

由树状图可看出共有 12 种可能,其中小明摸出球的 标号大于小强摸出球的标号的可能有 6 种,因此, 若 6 1 小明摸出的球不放回,小明获胜的概率为 = . 12 2 (2)不公平. 用树状图列出所有问题的可能的结果:

3 1 2 = = ,P(乙获胜)= . 9 3 3 1 2 因为 ≠ ,所以这个游戏不公平. 3 3
方法二:画树形图如下:

由图可知,所有等可能的结果共有 9 种,其 中,两位数能被 4 整除的情况有 3 种.所以 P(甲获

由树状图可看出共有 16 种可能,其中小明摸出球的 标号大于小强摸出球的标号的可能有 6 种,因此, 6 3 若小明摸出的球不放回,小明获胜的概率为 = , 16 8 所以不公平. 4. (1)任取一球为偶数的共有两种情况:2,4, 所以 P(球上的数字为偶数)= (2)画树状图如下:

3 1 2 胜)= = ,P(乙获胜)= . 9 3 3 1 2 因为 ≠ ,所以这个游戏不公平. 3 3
2.解(1)列表或树状图如下:

2 1 ? . 4 2

20

也可列表如下:

∵所有等可能的的结果共有 12 种,其中,点(1,4)、 ( 2, 3) 、 (3, 2) 、 (4, 1) 这 4 个点在函数 y ? ? x ? 5 由树状图或列表可知,所有可能的情况共有 12 种, 两球数字之和为偶数的情况有 4 种:(1,3),(2,4), (3, 1), (4, 2), 所以 P(两球数字之和为偶数)= 的图象上. ∴P (点 ( x, y ) 在函数 y ? ? x ? 5 的图象上) =

4 1 ? . 12 3

4 1 ? 12 3

(3)游戏方案对甲、乙双方是公平的.如下图

(2)由(1)中列表(或树状图)可得,满足 xy>6 的 x 、 y 有: (2,4) , (3,4) , (4,2) , (4,3)共 4 种情况;满足 xy<6 的 x 、 y 有(1,2) , (1,3) , ( 1, 4) , (2,1) , (3,1) , (4,1)共 6 种情况, ∴P (小明胜) ==

4 1 6 1 ? ;, P (小红胜) = ? , 12 3 12 2

由树状图可知,所有可能的情况共有 12 种,两 球数字之差的绝对值为 1 的情况有 6 种,

∴P(小明胜)≠P(小红胜) , ∴不公平; 公平的游戏规则为:若 x、y 满足 xy≥6 则小明胜,若 x、y 满足 xy<6 则小红胜. 6.解:根据题意,列出树状图如下:

6 1 1 1 ? ;P(乙胜)=1 ? ? .由于 12 2 2 2 1 P(甲胜)=P(乙胜)= ,所以此游戏方案对甲、乙双 2
可知 P(甲胜)= 方是公平的. 5.解: (1)解法一:列表如下: 由此可知,共有 9 种等可能的结果,其中,两红球 及一红一绿各有 4 种结果. 4 P(都是红球)= . 9 P(1 红 1 绿球)=
4 . 9

因此,这个规则对双方是公平的. 由上述表格可知:所有等可能的的结果共有 12 种, 其中,点(1,4)、 (2,3) 、 (3,2) 、 (4,1)这 4 个 点在函数 y ? ? x ? 5 的图象上. ∴ P(点 ( x, y ) 在函数 y ? ? x ? 5 的图象上)=

4 1 ? . 12 3
解法二:画树状图如下:

21


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