3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1


第三章

函数的应用

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1

3.2 函数模型及其应用

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2

3.2.1

几类不同增长的函数模型

课前预习目标

课堂互动探究

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3

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

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4

学习目标 1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用. 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种 函数模型性质的比较. 3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.

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5

课前热身 三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长的速度 图象的变化 随x增大逐渐 与y轴平行 相对平稳 随x增大逐渐 随n值而不 与x轴平行 同 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)

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6

自 我 校 对

增函数

增函数

增函数

越来越快

越来越慢

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7

思考探究1 么?

处理函数模型增长速度差异问题的关键是什

提示 是确定变量间的关系,不能仅仅根据自变量较大时 对应的函数值比较,还要看函数的变化趋势.

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8

思考探究2 何差异?

对数函数模型和指数函数模型的增长速度有

提示 对数函数模型变化规律是先快后慢,增长速度比较 平缓,指数函数模型变化规律是先慢后快,增长速度急剧上 升.

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9

名师点拨 三种增长函数模型的比较 1.指数函数和幂函数 一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),通 过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽 管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn 的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.

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10

2.对数函数和幂函数 对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间 (0,+∞)上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图象就像 是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内,logax可 能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一 个x0,当x>x0时,就会有logax<xn.

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11

3.指数函数、对数函数和幂函数 在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1) 和y=xn(n>0)都是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在 同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来 越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y= logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,因此总存在一个x0,当 x>x0时,就会有logax<xn<ax.

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12

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

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13

典例剖析



函数模型的增长差异
四个变量y1,y2,y3,y4的随变量x的变化的数据

【例1】 如下表: x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10

10 101 1024 20 5.322

15 226

20 401

25 626

30 901

32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907

y4 2 4.322

关于x呈指数函数变化的变量是________.
---14

【解析】

从表格观察值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变

量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化. 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出,变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变 化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其 中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量 y2关于x呈指数函数变化.故填y2.

【答案】 y2

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规律技巧

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增 长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增 大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称 为“指数爆炸”.

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16

(3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增 大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. (4)幂函数模型 幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之 间.

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17

变式训练1 今有一组实验数据如下: t v 1.99 1.5 3.0 4.0 5.1 12 6.12 18.01

4.04 7.5

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规 律,其中最接近的一个( A.v=log2t t2-1 C.v= 2
答案 C
---18

)

1 B.v=log2t D.v=2t-2


例2

一次函数模型
为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话

采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡” 在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系 如下图所示:

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19

(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系 式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】 由图形可知,函数关系是线性关系,因此,可

以用一次函数解决该实际问题.

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20

【解】

(1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,

1 1 35),C(30,15)分别代入y1,y2,得k1= ,k2= . 5 2 1 1 ∴y1= x+29(x≥0),y2= x(x≥0). 5 2

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21

1 1 290 (2)令y1=y2,即5x+29=2x,则x= 3 . 290 当x= 3 时,y1=y2,两种卡收费一致; 290 当x< 3 时,y1>y2,即如意卡便宜; 290 当x> 3 时,y1<y2,即便民卡便宜.

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22

规律技巧

函数的图象是表示函数的三种方法之一,正确

识图、用图、译图是解决函数应用问题的基本技能和要求.本 例通过识图,用待定系数法求得一次函数解析式,然后利用解 析式解决了实际问题.

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23

变式训练2

某厂为了尽快解决职工住房困难问题,鼓励

个人购房和积累建房基金,决定住房的职工必须按基本工资的 高低交纳建房公积金,办法如下:

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24

每月工资 1000元以下

公积金 不交纳

1000元至2000元 交纳超过1000元部分的5% 2000元至3000元 1000元至2000元部分交5%,超 过2000元部分交10% 1000元至2000元部分交5%,2000 3000元以上 元至3000元交10%,3000元以上 部分交15%

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25

设职工每月工资为x元,交纳公积金后实得工资数为y元, 求y与x之间的关系式.

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26

解 当0<x<1000时,y=x; 当1000≤x<2000时, y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50; 当2000≤x<3000时, y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%) =0.9x+150;

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27

当x≥3000时,y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+ (x-3000)· (1-15%)=0.85x+300. 因此y与x的关系可用分段函数表示如下: ? ?x ?0<x<1000?, ?0.95x+50 ?1000≤x<2000?, y=? ?0.9x+150 ?2000≤x<3000?, ? ?0.85x+300 ?x≥3000?.

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28



指数函数模型

【例3】 某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增 长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系 式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到 1年). (1.01210=1.127,1.01215=1.196,1.01216=1.210)
---29

【分析】

采用归纳法先让自变量取一些特殊值或较简单

的值,列出相应的函数式,从中发现规律,再推广到一般情 形,从而得到函数关系式.

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30

【解】

(1)1年后该城市人口总数为

y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+ 1.2%)2.

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31

3年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)2×(1+1.2%) =100×(1+1.2%)3. ? x年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x(x∈N).

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32

(2)10年后人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万). (3)设x年后该城市人口将达到120万人, 即100×(1+1.2%)x=120, x=log1.0121.20≈16(年). 因此,大约16年以后该城市人口将达到120万人.

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规律技巧

在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问

题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,那么对于 时间x的总产值y,可以用公式y=N(1+p)x表示,解决平均增长 率的问题,要用到这个函数式.

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34

变式训练3

有一种储蓄是按复利计算利息的,若本金为a

元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存 期x变化的函数关系式.如果存入本金1000元,每期利率为 2.25%,试计算5期后本利和是多少?(复利:把前一期的利息 和本金加在一起算作本金,再计算下一期利息)

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35

解 由题意知,y=a(1+r)x(x>0). 当a=1000,r=2.25%,x=5时, y=1000(1+2.25%)5=1117.68(元) ∴解析式为y=a(1+r)x(x>0). 5期后的本利和为1117.68元.

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36



对数函数模型

【例4】

20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能

量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能 量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常 说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0.其中A是被测地 震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.

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37

(1)假设在一次地震中,一个距离震中1000千米的测震仪 记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计 算这次地震的震级. (2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8 级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍? 【分析】 直接把数据代入公式计算.

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38

【解】

A (1)M=lgA-lgA0=lgA . 0

20 =lg0.002=lg104=4. 即这次地震的震级为4级.
? ?5=lgA5-lgA0, (2)由题意得? ? ?8=lgA8-lgA0,

A8 ∴lgA8-lgA5=3,即lgA =3.
5

A8 ∴A =103=1000. 5 即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.
---39

规律技巧

当函数模型给定后,只需对问题进行定量分

析,套用现成的公式即可解决问题.

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40

变式训练4

我们知道燕子每年秋天都要从北方飞向南方

过冬.研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示 x 为函数y=5log210(单位:m/s),其中x表示燕子的耗氧量. (1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位; (2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速 度是多少?

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41

解 (1)由题意知当燕子静止时,它的速度为0,代入函数 x 关系式可得0=5log2 ,∴x=10, 10 即燕子静止时的耗氧量为10个单位. (2)将耗氧量x=80代入关系式得 80 y=5log210=5log28=15, 即当耗氧量是80个单位时,飞行速度是15 m/s.

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42

易错探究 【例5】 某商品在最近30天内的单价f(t)(单位:天)与时 间t(单位:天)的函数关系式为f(t)=t+10,某经销商日销售量 g(t)(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系式为g(t)=-t+35. 求这种商品日销售金额y(元)的最大值.

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43

【错解】

由题意得,日销售金额

y=f(t)· g(t)=(t+10)(-t+35) =-t2+25t+350
? 25?2 2025 =-?t- 2 ? + 4 . ? ?

25 2025 ∴当t= 2 时,y取得最大值 4 . 2025 即这种商品的日销售金额的最大值为 4 元.

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44

【错因分析】

题目中的条件应为正整数,而错解中忽略

25 2025 了t的取值条件,当t= 时取得最大值 ,是不合题意的. 2 4

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45

【正解】

由题意得,日销售金额

y=f(t)· g(t)=(t+10)(-t+35) =-t2+25t+350
? 25?2 2025 =-?t- 2 ? + 4 . ? ?

∵0<t≤30,且t∈N*, ∴当t=12或13时,y取得最大值,且最大值为506元.所 以这种商品的日销售金额的最大值为506元.

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46

当堂检测 1.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,则经 过x年(x∈N*),当年该产品的产量y=( A.y=a(1+5%x) C.y=a(1+5%)x
-1

)

B.y=a+5%x D.y=a(1+5%)x

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47

解析 由题意得 经过1年,该产品的产量为a(1+5%), 经过2年,该产品的产量为a(1+5%)(1+5%)=a(1+ 5%)2, 经过3年,该产品的产量为a(1+5%)3, ?? 经过x年,该产品的产量为a(1+5%)x,(x∈N*).

答案

D

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48

2.某公司生产一批产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间 的函数关系式是y=0.1x2-11x+3000,若每台产品的售价为25 万元,则利润取最大值时,产量x为( A.55台 C.150台 B.120台 D.180台 )

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49

解析 设利润为z万元,则 z=25x-y =25x-(0.1x2-11x+3000) =-0.1x2+36x-3000 =-0.1(x-180)2+240. 当x=180时,利润z取最大值,选D.

答案

D

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50

3.

如图,能使不等式log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围 是( ) A.x>0 C.x<2 B.x>2 D.0<x<2
---51

解析 由图可知0<x<2.

答案

D

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52

4.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系 如图所示.

以下四种说法:

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53

①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的 速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产 量保持不变. 其中说法正确的是序号是________.

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54

解析

由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xa(0<a<1),反映

了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图 象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正 确.

答案

②③

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55

5.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y =a· (0.5)x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万 件、1.5万件,则此厂3月份该产品的月产量为________.

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56

解析

∵y=a(0.5)x+b,且当x=1时,y=1,
? ?1=a×0.5+b ? ? ?1.5=a×0.25+b,

当x=2时,y=1.5,则有
? ?a=-2, ? ? ?b=2.

解得

∴y=-2×(0.5)x+2. 当x=3时, y=-2×0.125+2=1.75万件.

答案

1.75万件
---57


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