对数函数及其性质.


y

x
o

一、复习: 复习: 1.对数的概念: 对数的概念: 对数的概念 如果a =N,那么数 叫做以a为底N的对数, 那么数x 如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记 a>0,a≠1) 作logaN=x(a>0,a≠1). 2.指数函数的定义 指数函数的定义: 指数函数的定义 叫做指数函数 指数函数,其中 函数 y=ax (a>0,且a≠1) 叫做指数函数 其中 > 且 x是自变量 函数的定义域是 R. 是自变量,函数的定义域是 是自变量

对数函数的定义: 对数函数的定义:
一般地

(a>0,且 函数 y=logax(a>0,且a≠ 1 ) 叫做对数函数.其中x是自变量, 叫做对数函数.其中x是自变量,函数 的定义域是( +∞) 的定义域是( 0 , +∞).

对数函数图像的作法: 对数函数图像的作法:
作对数图像的三个步骤: 作对数图像的三个步骤: 一、列表(根据给定的自变量分别计算 列表( 出应变量的值) 出应变量的值) 二、描点(根据列表中的坐标分别在坐 描点( 标系中标出其对应点) 标系中标出其对应点) 三、连线(将所描的点用平滑的曲线连 连线( 接起来) 接起来)

作y=log2x图像

列 表 描 点

x y=log2x

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

y y = log a x

o

1
y = log
1 a

x
x

= -log a x y = log a x 与 y = log 1 x 的图象关于 ________ 对称 x 轴 对称.
a

函数y=f(x)与函数 与函数y=-f(x)的图象关于 轴对称 的图象关于x轴对称 函数 与函数 的图象关于

y

y = log2 x

1

y = log6 x
x

y = log3 x

O ?1

y = log 1 x
y = log x

y = log x

6 1 3 1 2

对数函数的图象与性质: 对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a> a>1
y 1 o 1 x o x

0<a<1

图象 定义域 值域 定点 值分布

(0,+∞) R (1,0) 当 x>1 时,y>0 > > 当 0<x <1 时, y<0 < <

(0,+∞) R (1,0) 当 x>1 时,y<0 > < 当 0<x<1 时,y>0 < < > 在( 0 , + ∞ )上是减函数 上是减函数

单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 趋势

在同一象限内,底数 按逆时针方向逐渐减小 在同一象限内,底数a按逆时针方向逐渐减小

讲解范例 求下列函数的定义域: 例1.求下列函数的定义域: 求下列函数的定义域 (1)y = log a x 2 (2) y = log a ( 4-x ) - (3) y = log a ( 9-x 2 ) - (4) y = log x ( 4-x ) -

的定义域. (5) 求函数 y = log0.5(4x ? 3) 的定义域. 解:要使函数有意义,必有 要使函数有意义 必有
4x-3>0, log0.5(4x-3)≥0. 即 4x-3≤1. 4x>3,

3 < x ≤ 1. 解得 4

所以所求函数的定义域为{x| 所以所求函数的定义域为

3 < x ≤ 1 }. 4

例2.比较下列各组数中两个值的大小: 2.比较下列各组数中两个值的大小 (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; (a> ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a>0,a≠1 ).

练习1: 练习1: 比较下列各题中两个值的大小: 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 ⑵ log0.56 < log108 log0.54 < log0.10.6 ⑶ log0.10.5 > > log1.51.4 ⑷ log1.51.6

例2.比较下列各组中两个值的大小: 2.比较下列各组中两个值的大小: 比较下列各组中两个值的大小 (4) log 67 , log 7 6 ; (5) (6) log 3π, log
2

0.8 .

log 0.1 3,

log 0.2 3

训练

若0 < a < b < 1, 试确定 log a b, log b a, 1 a , log 1 b的大小关系 log
b a

3 例3、若? 1 < log a < 1,求a的取值范围 4

已知定义域为R的奇函数 例4.已知定义域为 的奇函数 已知定义域为 的奇函数f(x),当x>0 时, 当 > f(x)=log3x,求f(x). 求





y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) >





定义域 值 域

单调性 过定点 趋 势 取值范围

R+ R+ R R 增函数 减函数 (1,0) , ) (1,0) , ) 在同一象限内,底数a按逆时针方向逐渐减小 在同一象限内,底数 按逆时针方向逐渐减小 0<x<1时,y<0 0<x<1时,y>0 时 时 x>1时,y>0 x>1时,y<0 时 时


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