3 02 流体运动的基本方程(下:基本方程组及其求解问题)


3-0

流体运动的基本方程
下:方程组及其求解思路

主要内容: 主要内容:
[三维流动]连续性微分方程(质量守恒) 三维流动]连续性微分方程(质量守恒) 实际流体运动的微分方程 方程:运动与力的关系) (N-S方程:运动与力的关系) 流体运动基本方程的求解问题 流体运动基本方程的求解问题

连续性微分方程

三维流动的连续性微分方程 不可压缩流体运动的连续性微分方程

EXIT

连续性方程 —— 质量守恒定律对流体 运动的一个基本约束

用欧拉观点对质量守恒 原理的描述: 原理的描述:连续介质的运 动必须维持质点的连续性, 动必须维持质点的连续性, 即质点间不能发生空隙。 即质点间不能发生空隙。因 此,净流入控制体的流体质 量必等于控制体内因流体密 度变化而增加的质量。 度变化而增加的质量。

EXIT

一. 三维流动的连续性微分方程 在时间段dt 在时间段 里,从 abcd 面流入微元体的流体质量 为 ρu d y d z dt
x

a

ux d’

d c

z

a’ dz b’

b dx dy c’

从 a’b’c’d’面流出的流体质 面流出的流体质 量为

o x

y

?(ρux ) ? ? ?ρux + ?x d x? d y d z dt ? ? 净流入前后这一对表面的 流体质量为
?(ρux ) d x d y d z dt ? ?x
EXIT

a

d d’ c dx dy uz c’

z

uy a’ dz b’

同理可知, 在时间段dt 同理可知 , 在时间段 里,沿着 y 方向和 z 方向净 流入左右和上下两对表面 的流体质量分别为
? ?(ρuy ) ?y d x d y d z dt

b


?(ρuz ) ? d x d y d z dt ?z

o x

y

EXIT

在时间段dt 在时间段 里,微元内流体质量的增加 根据质量守恒原理

简化

?ρ ? (ρux ) ? (ρuy ) ? (ρuz ) + + + =0 ?t ?x ?y ?z

或写成

?ρ + ?? (ρu) = 0 ?t

三维流动的 连续性微分 方程

EXIT

恒定流动的连续方程

? ( ρu x ) ? ( ρu y ) ? ( ρu z ) ? ? ( ρu ) = + + =0 ?x ?y ?z

极坐标中平面流动的连续方程 uθ
rdθ

ur dr

?ρ 1 ? ? ( ρ rur ) ? ( ρuθ ) ? + ? + ?=0 ?t r ? ?r ?θ ?



r

o

θ

?ρ ? ( ρur ) ρur 1 ? ( ρuθ ) + + + =0 ?t ?r r r ?θ

EXIT

二. 不可压缩流体运动的连续性微分方程
?ρ + ?? (ρu) = 0 ?t

?ρ + u??ρ + ρ?? u = 0 ?t
dρ =0 dt dt

dρ + ρ?? u = 0 dt dt

不可压缩流体

对于不可压缩流体的流动(不论是恒 对于不可压缩流体的流动( 定或非恒定), ),连续方程为 定或非恒定),连续方程为 ?u x ?u y ?u z ? ?u = + + =0 ?x ?y ?z 速度场的 散度为零
EXIT

? u x ?u y ? u z ? ?u = + + ?x ?y ?z

速度场的散度

流体微团在三个互相垂直方 向上的线变形速率之和, 向上的线变形速率之和,也 是流体微团的体积膨胀率。 是流体微团的体积膨胀率。

连续方程 ?? u = 0表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向 上的线变形速率的总和必为零,若在一个方向上有拉伸, 上的线变形速率的总和必为零 , 若在一个方向上有拉伸 , 则必 有另一个方向上的压缩,在运动过程中其体积不会发生变化。 有另一个方向上的压缩,在运动过程中其体积不会发生变化。

EXIT

流体运动微分方程
不可压缩粘性流体运动微分方程 (纳维- 斯托克斯方程) 纳维- 斯托克斯方程)

EXIT

分析过程

不可压缩粘性流体的运动微分方程用图
?p yy ?y

dx、dy、dz 的平行六面体(控制体) 的平行六面体(控制体) p 代表法向应力(表面力) 代表法向应力(表面力) 代表切向应力(表面力) τ 代表切向应力(表面力) fx、fy、fz 代表单位质量力 代表单位质量力 应用牛顿第二 应用牛顿第二定律可得出方程 牛顿第二定律可得出方程
? dv x ? 2vx ? 2vx ? 2vx 1 ?p = fx ? +υ( 2 + 2 + 2 ) ? ρ ?x ?x ?y ?z dt ? ? dv y ? 2v y ? 2v y ? 2v y 1 ?p ? = fy ? +υ( 2 + 2 + 2 ) ? ρ ?y ?x ?y ?z ? dt ? dv 1 ?p ? ? 2v z ? 2v z ? 2 v z z = fz ? + ( 2 + 2 + 2) ? ρ ?z ρ ?x ?y ?z ? dt ?
p xx

p yy +
?τ yz ?y

dy
?τ xy ?y dy

τ xy +
dy

τ yz +

τ xz
?τ zy

τ zx
fx

p zz

τ xy +

?τ xy ?x

dx

τ xy

fy τ zy + dz ?z f z

τ zy
τ xz +

p xx +

?p p zz + zz dz ?z

τ zx +

?τ zx dz ?z

?τ xz dx ?x

?p xx dx ?x

τ yz

τ yx
p yy

不可压缩粘性流体运动微分方程(纳维 斯托克斯方程 斯托克斯方程) 不可压缩粘性流体运动微分方程(纳维-斯托克斯方程) 运动粘性流体存在切应力,压应力与作用面的方位有关,但 切应力, 与作用面的方位有关, 运动粘性流体存在切应力 压应力与作用面的方位有关 三个相互垂直的作用面上压应力之和与作用面的方位无关, 三个相互垂直的作用面上压应力之和与作用面的方位无关,它 们的平均值定义为粘性流体的动压强。 们的平均值定义为粘性流体的动压强。广义牛顿内摩擦定律假 设应力与变形速率之间呈线性关系, 设应力与变形速率之间呈线性关系,在此基础上可建立不可压 纳维缩粘性流体运动微分方程 —纳维-斯托克斯方程 N-S方程 纳维 方程
d u x ?u x ?u x ?u x ?u x 1 + ux + uy + uz =X ? = dt ?t ?x ?y ?z ρ ?u y ?u y ?u y d u y ?u y 1 = + ux + uy + uz =Y ? ?z ρ dt ?t ?x ?y

?p + ν? 2u x ?x ?p + ν? 2 u y ?y d u z ?u z ?u z ?u z ?u z 1 ?p = + ux + uy + uz =Z? + ν? 2u z dt ?t ?x ?y ?z ρ ?z
EXIT

拉普拉斯算子
2

?2 ?2 ?2 ? ≡ ? ?? ≡ 2 + 2 + 2 ?x ?y ?z 例

对跟随其后的量求调和量
? 2u x ? 2u x ? 2u x ? 2u x = + + 2 2 ?x ?y ?z 2

N-S方程 矢量形式

d u ?u 1 = + (u ? ?)u = f ? ?p + ν? 2u d t ?t ρ
时变 惯性力 位变 惯性 力 质量力 压差力 粘性力

流体静止时, 只受质量力 、 压差力的 流体静止时 , 只受质量力、 作用, 作用,运动方程简化为平衡方程

f?

1

ρ

?p = 0

EXIT

流体运动基本方程的求解问题

微分形式流体运动方程连同连续方程, 微分形式流体运动方程连同连续方程,形成对流体 运动的基本控制方程组, 运动的基本控制方程组,是求解流速场和压力场的理 论基础。四个方程可求四个未知量: 论基础。四个方程可求四个未知量:p 和 u ,方程组 是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程, 是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程,其中 的位变惯性力(常称为对流项)是非线性的, 的位变惯性力(常称为对流项)是非线性的,解析求 解非常困难。 解非常困难。 基本微分方程组

EXIT

解法概述 忽 略粘性 , 作理想流体 假 只有在极少数简 从流动的维数上作简化, 设,从流动的维数上作简化, 单流动的情况下, N-S 方程才有解析解。 都是常见的手段。如果流动是 方程才有解析解。 都是常见的手段。 有势流动, 有势流动,解析处理就有更多 而绝大部分流动都不 的便利条件。 的便利条件。后面我们就将分 能直接对 N-S 方程 门别类地对各种流动进行求解 解析求解,我们只能 解析求解, 抓住问题的主要方面, 方法的讨论。 抓住问题的主要方面, 方法的讨论。 作相应的简化, 作相应的简化,才能 进行进一步的解析处 各种简化都是在基本方程的基础 理。 上进行的, 上进行的 , 所以深入理解方程中各 项的物理意义是非常重要的。 项的物理意义是非常重要的。

EXIT

初始条件和边界条件 流体动力学 定解问题 流体运动 基本方程 初始条件 边界条件

流动共性
初始条件 是对 非恒定流动指 定初始时刻流 场的速度和压 强分布。 强分布。 边界条件

体现个性

运 动方 流场 是指 运动 方 程 的 解 在 流场 的边界上必须满足的运动学和动力学 条件。 常见的边界条件有: 条件 。 常见的边界条件有 : 固壁条件 和液体的自由表面条件。 和液体的自由表面条件。

EXIT

************* ************* ************* *************

理想流体的固壁条件 称 为可 即流 称为 可 滑移 条件 , 即流 不能 但可 体 不 能 穿越 固壁 , 但可 切向 所以 有 切 向 相对 运动 , 所以 un =Un

实际(粘性) 实际(粘性)流体的固壁条 件称为不可滑移条件, 件称为不可滑移条件,即附着 在固壁上的流体质点与固壁不 能有相对运动, 能有相对运动,所以 u=U

注 以上 u 和 U 分别表示紧邻着 固壁的流体质点与固壁上相应 点的速度。 点的速度 。 un和 Un 分别表示它 们沿固壁法向的分量。 们沿固壁法向的分量。

液体的自由表面 动力学条件为自由表 面上压强为常数( 面上压强为常数(大 气压) 气压)。

EXIT

流体运动的基本方程( 流体运动的基本方程(下:基本方程组及其求解问题) 基本方程组及其求解问题)


相关文档

更多相关文档

第3章 流体运动的基本方程组
1.3 流体流动的基本方程
第三章 流体运动的基本方程组zws2009 (1)
第四章 流体动力学基本方程组02
第2章 流体运动方程组
第3章 流体运动的基本概念和方程
Chapter 3 流体运动的基本方程组
第3节流体流动的基本方程w(2012)
工程流体力学 第3章 流体运动基本概念和基本方程
第三章 流体力学基本方程组-3
第四章_流体动力学基本方程
第六章 流体运动微分方程
第一章 流体力学基础4-连续性方程、流体运动方程与能量方程
2-流体运动基本方程
流体力学(连续性方程)
电脑版
document.getElementsByTagName("script")[0]; s.parentNode.insertBefore(bp, s); })();