流体4-1(流体流动的基本方程)


随体导数与梯度(Substantial derivative and Gradient )
研究流场的性质多从分布函数随时间和空间的变化率入手

随体导数(Substantial derivative) 观测点速度与周围流体速度相同时的全导数称为随体导数 对任一物理量 N(可以是标量或矢量)

ρ = f (x , y , z , t )
偏导数 全微分 全导数
?ρ ?t

D N = ? N + ?N + ? N + ? N uz uy ux Dt ?x ?y ?z ?t
?ρ ?ρ ?ρ ?ρ dx + dy + dz + dt ?x ?y ?z ?t
对流导数:物理量 N 从(x, y, z) 位置到(x+dx, y+dy, z+dz)时的空 间偏导数。反映流场的非均匀性。 均匀流场该项为零 局部导数:在空间某位 置处物理量 N 随时间的 偏导数。稳定流场该项 为零

dρ =

d ρ ?ρ d x ?ρ d y ?ρ d z ? ρ + + + = dt ?t ?z d t ?x d t ?y d t

观测点的速度分量 ux= dx/dt, uy= dy/dt, uz = dz/dt

dρ ?ρ ?ρ ?ρ ?ρ = ux + uy + uz + dt ?x ?y ?z ?t

D N = (u ? ? )N + ? N Dt ?t

D N = u ? gradN + ? N ?t Dt

1. 偏 导 数

? ?t

表示空间某固定点处物理量对时间的导数。

矢量分析(补充)

2. 全导数

d ? ? dx ? dy ? dz = + + + dt ? t ? x dt ? y dt ? z dt dx 表示测量温度时,测量点以任意速度 、 dt dy、dz 运动所测得的物理量对时间的变化率。 dt dt D
3. 随 体导 数

d dt

u′

u

1.矢量代数
源点位矢:

场点位矢:

r r r r x ′ = x ′e x + y ′e y + z ′e z r r r r x = xe x + ye y + ze z

r x r x′

r r

r r r r = x ? x′

? ? ? D ? = + vx + vy + vz ?x ?y Dt ? t ?z 对流导数项 dx dy u 表示当测量点随流体一起运动且速度ux = 、y= 、 dt dt dz uz = 时,测得的物理量随时间和空间的变化率。 dt

Dt

r r r = ( x ? x ′) e x + ( y ? y ′) e y + ( z ? z ′) e z

1)标量积 r r

a ? b = a x bx + a y b y + a z bz = ab cos θ

r r r r r r r a ? (b + c ) = a ? b + a ? c
2) 矢积:

3)混合积

r r r r a × b = ?b × a r r r ex e y ez r r a × b = ax a y az
r r = ( a y b z ? a z b y ) e x + ( a z b x ? a x bz ) e y r + ( a x b y ? a y bx ) e z bx b y bz

r r r r r r r r r a ? (b × c ) = ( a × b ) ? c = ( c × a ) ? b r r r r r r r r r a × (b × c ) = ( a ? c )b ? ( a ? b ) c

r r r r r r r r r ( a × b ) × c = ( c ? a )b ? ( c ? b ) a

1

2. 标量场的梯度 标量场:

3. 矢量场的散度:

r r div A = ? ? A

? ( x, y , z )
d? = ?? ?? ?? dx + dy + dz ?x ?y ?z r r = grad ? ? d x = ? ? ? d x
?? r ?? r ?? r ex + ey + ez ?x ?y ?z ? r ? r ? r ex + ey + ez ?= ?x ?y ?z

r 散度可用来表征空间各点矢量场发散的强弱程度,当div A > 0 , r 表示该点有散发通量的正源;当div A < 0,表示该点有吸收通量 r 的负源;当div A = 0 ,表示该点为无源场。

?? =

4. 矢量场的旋度 r r rotA = ? × A
旋度可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,如 r 果场中处处rotA = 0 称为无旋场

笛卡儿坐标:

5. Laplace算子:
? 2? = ? 2? ? 2? ? 2? + + ?x 2 ?y 2 ?z 2

梯度的概念重要性在于,它用来表征标量场在空间各点沿 不同方向变化快慢的程度。

1.4 流体流动的基本方程
流体流动 遵循 质量守恒定律 动量定理 能量守恒定律
实质:质量守恒

同理y,z方向净流出质量分别为:
? ( ρu y ) ?y dxdydz

? ( ρu z ) dxdydz ?z

控制体总净流出质量流量:
? ? ( ρu x ) ? ( ρu y ) ? ( ρu z ) ? + + ? ? dxdydz ?y ?z ? ? ?x

1.4.1 连续性方程
1. 微分形式的连续性方程

x方向: 流入质量流量 流出质量流量

ρ u x dydz

z (x,y,z) dx dy x y

由质量守恒: ? ?
dz

? 净输出控制体 ? ? 控制体内的质量 ? ? ? ? ?+? ?=0 ? 的质量流量 ? ? 随时间的变化率 ?

? ( ρu x ) ? ? ? ρ u x + ?x dx ? dydz ? ? ? ( ρu x ) dxdydz 净流出质量流量 ?x

? ? ( ρu x ) ? ( ρu y ) ? ( ρu z ) ? ?ρ + + dxdydz = 0 ? ? dxdydz + ?z ? ?t ?y ? ?x

? ( ρ u x ) ? ( ρ u y ) ? ( ρ u z ) ?ρ + + + =0 ?x ?y ?z ?t

柱坐标系:

写成向量形式为:
r ?ρ + ? ? (ρ u ) = 0 ?t

流体流动时的通用微分质量 方程(连续性方程)
? ?=0 ? ?

?u y ?u z ? ?u ?ρ ?ρ ?ρ ?ρ + ux + uy + uz + ρ? x + + ? ?x ?t ?x ?y ?z ?y ?z ?

或 球坐标系:

? ρ 1 ? (r ρ v r ) 1 ? ( ρ v θ ) ? (ρ v z ) + + =0 + ?t ?r ?z r r ?θ ?v z ? ? 1 ? (rv r ) 1 ? v θ Dρ + ρ? + + ?=0 Dt r ?θ ?z ? ? r ?r

?ρ Dρ ?ρ ?ρ ?ρ = + ux + uy + uz Dt ?z ?t ?x ?y ? ? u x ? u y ?u z ? Dρ ? ? ∴ = ?ρ? + + Dθ ?y ?z ? ? ? ?x r Dρ r Dρ ρ? ? u + = 0 连续性方程的另一种形式。 = ?ρ (? ? u ) Dt Dt



ρ = ρ ( x, y, z, t )

? ρvφ ? (ρ v θ sin θ ) ?ρ 1 ? r 2 ρv r 1 1 + 2 + + =0 r sin θ r sin θ ? φ ?t ?r ?θ r 或 ?v φ ? ? 1 ? r 2vr ? (v θ sin θ ) Dρ 1 1 + ρ? 2 + + ?=0 r sin θ r sin θ ? φ ? ?r ?θ Dt ?r

(

)

(

)

(

)

2

∵ υ为单位质量流体所具有的体积 ∴ ρυ = 1 ∵ 观测者随流体运动 Dυ Dρ +υ =0 ∴ 式 ρυ = 1 对时间求导即得随体导数: ρ
Dθ Dθ

简化:
(1)稳态流动(流体的速度和密度只随位置而不随时间而变)

Q



1 Dυ 1 Dρ + =0 υ Dθ ρ Dθ

?ρ =0 ?t

∴ 连续性方程简化为

∴ ?

r 1 Dυ + ??u = 0 υ Dθ r 1 Dυ 或 = ??u υ Dθ
(流体微元在三个方向的形变速率——线性形变速率)。

? ( ρu x ) ? ( ρu y ) ? ( ρu z ) + + =0 ?x ?y ?z r 或 ? ? (ρ u ) = 0

物理意义:流体运动时的体积膨胀速率等于速度向量的散度

(2)对不可压缩流体的流动(ρ为常数,它不是时间和空间的函数) Dρ Q =0 Dt ?u ?u ?u v ∴ 连续性方程简化为 x + y + z = 0 或 ? ? u = 0 ?x ?y ?z

2. 管内稳态流动的连续性方程(积分形式)

W s = uA ρ

在稳定流动系统中,对直径不同的管段做物料衡算

u1 A1 ρ 1 = u 2 A2 ρ 2
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面,有:

W S = u1 A1 ρ 1 = u 2 A2 ρ 2 = L = uA ρ = 常数
若流体为不可压缩流体 衡算范围:取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。 衡算基准:1s 对于连续稳定系统:
WS1 = WS 2

W V S = S = u1 A1 = u 2 A2 = L = uA = 常数

ρ

——一维稳定流动的连续性方程

对于圆形管道,

1.4.2 运动方程

u1

π
4

d1 = u 2
2

π
4
2

? 质量守恒 ? 三大守恒定律 ? 动量守恒 ?能量守恒 ? 控制体内的动量对时间的变化率等于作用于控制

d2

2

体内流体上的合力与单位时间内经过控制面净流 入流体的动量之和。
即 作用在控制体内 流体上的合力 净流入控制体 + 的动量速率 控制体内的动 = 量累积速率

?d ? u ∴ 1 =? 2? u2 ? d 1 ? ? ?

表明:当体积流量VS一定时,管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。

对任一微元系统,动量定理为: 微元系统内流体的动量随时间的变化率 等于作用在该微元系统上所有外力之和。即

z

(x,y,z)

1. 用应力表示的运动方程 v v v d ( Mu ) du =M 牛顿第二定律: F = dt dt
x

dz dy

dx y

3

Lagrange法: F = Fi = M

v

v

v Du Dt

对密度为ρ的流体微元,其质量为 dM = ρdxdydz

即:(外力)=(惯性力)=(质量)×(加速度)
其中,加速度向量 直角坐标系中为



v v ?u v Du v = + u ??u ?t Dt

v v v Du d F = d F i = ρ dxdydz Dθ

Du x ?u x ?u ?u ?u = + ux x + u y x + uz x Dt ?x ?y ?z ?t
Du y Dt = ?u y ?t + ux ?u y ?x + uy ?u y ?y + uz ?u y ?z

即 x方向上:

dF x = dF ix = ρ dxdydz

Du x Dt

y方向上: dF y = dFiy = ρ dxdydz

Du y Dt

Du z ?u z ?u ?u ?u = + ux z + u y z + uz z Dt ?t ?x ?y ?z

z方向上:

dFz = dFiz = ρ dxdydz

Du z Dt

合外力
质量力或体积力 表面力或机械力 法向力 剪切力

(2)表面力:
对单位表面而言,则称为机械应力或表面应力,包括 法向应力和切向应力两种,表面应力记为τ。

τxy y
τxz
z
(β为x轴与重力方向 之间的夹角,若x在 水平方向,则X=0) 流体微元单一平面 (y、z 平面)上的机械应力图

τ xi
τ xx
x

(i=x,y,z)

(1)质量力: dF = Xρdxdydz xB

dF yB = Yρdxdydz
dFzB = Zρdxdydz

?τ xx ? ?τ yx ?τ zx ?

τ xy τ yy τ zy

τ xz ? ? τ yz ? τ zz ? ?

X = Fxg = g cos β

? 3 个法向力 9 个应力分量 ? ? 6 个切向力

★作用在微元体上的表面力
dz

◇作用于微元体个面上的x轴方向的应力

τ yx +

?τ yx ?y

dy
τ xy +
τ xz
dx ?x ? τ xx τ xx + dx ?x ? τ xz dx + ?x ?τ xy

把作用于控制体上x方向的力叠加起来,得到作用 在微元体上的表面力在x方向的分量为:
? τ yx ?τ xx ?τ xx ?τ yx ? τ zx ?τ dxdydz + dydxdz + zx dzdxdy = ( + + ?z ?x ?y ?x ?z ?y

τ xx
dy

τ xz

τ zx
FzB

F yB FxB ?τ zx dz ?z

)dxdydz

τ xy

同理,表面力在y方向的分量为:

A

y

τ
x

τ zx +
yx

(

?τ yy ?y

+

?τ zy ?z

+

?τ xy ?x

)dxdydz

dx o z

表面力在z方向的分量为:

第一个下标表示应力所在平面的法线方向 第二个下标表示应力本身的方向。

( ?τ zz
?z

+

?τ xz ?τ yz + ?x ?y

)dxdydz

4

根据牛顿第二定律:
ρ

?τ yx Dv x ?τ = ρX + xx + + Dt ?x ?y ?z ? ? ? Dv y ?τ yy ?τ zy ?τ xy ? = ρY + + + ρ ? Dt ?y ?z ?x ? Dv z ?τ zz ?τ xz ?τ yz ? = ρZ + + ρ + ? ? Dt ?z ?x ?y ?

v v v d (Mv ) dv F = =M dt dt ?τ zx ?

只有剪应力才能使流体微元发生旋转.令逆时针为正,反之 为负,则可写出力矩方程:
?? ?τ xy dx ? ? ?τ xy dx ? ? ? dx ? ? ? + ? τ xy ? ? ? ? (dydz )? ? ?? τ xy + ? ?x 2 ? ? ?x 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? ?? ?τ yx dy ? ? ?τ yx dy ? ? ? dy ? ? ?? τ yx + ? ? + ? τ yx ? ? ? ? (dzdx )? ? ? ?y 2 ? ? ?y 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? = ( ρ dxdydz ) ? (旋转半径 ) 2 ? (角加速度)

这就是微分形式的运动方程。

y

τ

yx

+



yx

?y

?

dy 2

简化得:
τ
+ ?τ ? dx 2

τ xy ? τ yx = ρ r p 2ω

力矩方程

τ

xy

?



xy

?x

?

dx 2

dy

?

M

xy

xy

?x

当微元体积小到趋近于0时,旋转半径也相应地趋近于0,即 使加速度仍为一定值,右侧也趋近于0,所以可得:

dx
τ
yx

τ xy = τ yx
同理可得: τ yz = τ zy τ xz = τ zx

?



yx

o

?y

?

dy 2

x 分析切向应力之间的关系用图

2. 实际流体的运动方程

运动方程改写为:
10 个未知量

三维层流时:

?τ yx ?τ zx ? ?u x ?u ?u x ?u x ? ?τ ? = ρ X + xx + + ux x + uy + uz + ?t ?x ?y ?z ? ?x ?y ?z ? ? ?τ ?τ ?τ ?u ?u ?u ? ? ?u ? ? ρ ? y + u x y + u y y + u z y ? = ρ Y + xy + yy + zy ?x ?y ?z ?t ?x ?y ?z ? ?

尚需 7 个方程

ρ? ?

ρ? ?

? ?u z ?u ?u ?u + ux z + uy z + uz z ?z ?y ?x ? ?t

? τ yz ?τ zz ? ?τ ? = ρ Z + xz + + ? ?z ?x ?y ?
---------------运动方程

本 构 方 程

? ? ?v x ?v y ? ?τ xy = τ yx = μ ? ? ?y + ?x ? ? ? ? ? ? ? ?v y ?v z ? ? ? 切向应力 ?τ yz = τ zy = μ ? + ? ?z ?y ? ? ? ? ? ? ?v x ?v z ? ?τ zx = τ xz = μ ? + ? ?x ? ? ?z ? ?
? ?v y ?v z ? ? ?v x ? 2 ? ?v x ? ? ? + + ?τ xx = ? p + 2 μ ? ? ? μ? ? ?z ? ?y ? ?x ? 3 ? ?x ? ? ? ?v y ? ?v y ? 2 ? ?v x ?v z ? ? ? ? ? ? 法向应力 ?τ yy = ? p + 2 μ ? + + ? ? μ? ?y ?z ? ? ?y ? 3 ? ?x ? ? ? ?v y ? ?v x ? ?v z ?τ = ? p + 2 μ ? ? v z ? ? 2 μ ? ? ? ? ? ?z ? 3 ? ?x + ?y + ?z ? ? zz ? ? ? ? ?

本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托克斯
通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流动中,建立 了牛顿流体的本构方程.

? 将本构方程代入运动方程可得
? ? v x ? v x ? v x ? 1 ? ? ?v x ? v x ?v x ? ? Dv x ?p ? ?+ μ ? ?? = ρX ? + μ? + + + + 2 Dt ?x ?y 2 ? z 2 ? 3 ?x ? ?x ?y ?z ? ? ? ? ? ?x ? 2 2 2 ? ? v y ? v y ? v y ? 1 ? ? ?v x ?v x ?v x ? ? Dv y ?p ? ?+ μ ? ?? = ρY ? + μ? + + ρ + + 2 ? Dt ?y ?y 2 ?z 2 ? 3 ?y ? ?x ?y ?z ? ? ? ? ? ?x ? ? ? ? 2 v z ? 2 v z ? 2 v z ? 1 ? ? ? v x ?v x ? v x ? ? Dv z ?p ? ?+ μ ? ? ρ + + = ρZ ? + μ? + + 2 Dt ?z ?y 2 ?z 2 ? 3 ? z ? ?x ?y ?z ? ? ? ?? ? ?x ?

?

对于不可压缩粘性流体,粘性体膨胀应力为零,其运动方程为:
ρ
? ? 2v x ? 2vx ? 2v x ? ? Dv x ?p ?? ? = ρX ? + μ? + + 2 ?x ?y 2 Dt ?z 2 ? ? ? ? ?x ? ? 2v y ? 2v y ? 2v y ?? Dv y ?p ? ?? = ρY ? +μ + + ρ ? ? ?x 2 ?y Dt ?y 2 ?z 2 ? ? ? ? ? ? ? 2v z ? 2v z ? 2vz ? ? Dv z ?p ? = ρZ ? + μ? 2 + ρ + ? ?x Dt ?z ?y 2 ?z 2 ? ? ?? ?

ρ

2

2

2

矢量形式为:

上式称纳维-斯托克斯(Naver-Stokes)方程,是粘性流体运动微 分方程的又一种形式。 ? 对于不可压流体,其连续方程为
?v x ?v y ?v z + + =0 ?x ?y ?z

ρ

Dv = ρ g ? ? p + μ? 2 v Dt

右端第一项表示单位质量的质量力;第二项代表作用于单位质量流 体的压强梯度力;第三项代表黏性变形应力。

5

?

对于不可压缩理想流体,μ = 0 ,其运动方程为:
1 ?ρ ?u x ?u ?u x ?u x + ux x + uy + uz =X ? ρ ?x ?t ?x ?y ?z ?u y ?u ?u y ?u y 1 ?ρ + ux y + uy + uz =Y ? ρ ?y ?t ?x ?y ?z 1 ?ρ ?u z ?u ?u ?u + ux z + uy z + uz z = Z ? ρ ?z ?t ?x ?y ?z

运动微分方程的求解
★基本方程组 C-E方程,N-S方程
? ρ ? (ρ v x ) ? (ρ v y ) ? (ρ v z ) + + + =0 ?t ?x ?y ?z

------欧拉(Euler)方程

偏微分方程组 ? ? 2 v x ? 2 v x ? 2 v x ? 1 ? ? ?v x ?v x ?v x ? ? Dv x ?p ? ?+ μ ? ?? + = ρX ? + μ? + + + 2 ?y ?z ? ? Dt ?x ?y 2 ?z 2 ? 3 ?x ? ?x ? ? ? ?x ? + ? ? ? 2 v y ? 2 v y ? 2 v y ? 1 ? ? ?v x ?v x ?v x ? ? Dv y ?p ?+ μ 适当的定解条件 ? ?? = ρY ? + μ? + + + ρ + ? ? ? ?x 2 ?y ?y 2 ?z 2 ? 3 ?y ? ?x Dt ?y ?z ? ? ? ? -- ? ? ? 2 v z ? 2 v z ? 2 v z ? 1 ? ? ?v x ?v x ?v x ? ? Dv z ?p ?+ μ ? ? ρ = ρZ ? + μ? + + + + ? ?x 2 Dt ?z ?y 2 ?z 2 ? 3 ?z ? ?x ?y ? z ? ? 等温条件下的实际流 ? ?? ? ?
ρ

体流动

o 只适用于层流 o 密度、粘性为常量

o 等温 o 偏微分方程组的求解问题

例1-11 某流体流动时流速与位置的关系为: v v v v u ( x, y , z ) = x 2 i + ( x + z ) j ? 2 xzk 试判别此流体是否为不可压缩流体? 解:Q

例1-12 不可压缩流体二维流动的流速分布为:

ux = x2 y ? 2x ?

y2 3

,

uy =

x2 + 2 y ? xy2 3

ux = x 2

uy = x + z

uz = ?2xz
解:Q

问此流动是否满足连续性方程式?



?u x ?u y ? u z + + = 2x + 0 ? 2x = 0 ?x ?y ?z

?u x ?u y ?u z + + ?x ?y ?z = (2 xy ? 2) + (2 ? 2 xy) + 0 = 0

即该流体为不可压缩流体。

∴ 该流体的流动满足连续性方程式。

例1-13 试根据随体导数的物理意义,写出密度ρ在 柱坐标系中的随体导数表达式。
解:Q

ρ = f (r ,θ , z,θ ′)
?ρ ?ρ ?ρ ?ρ dθ ′ + dr + dθ + dz ?θ ′ ?r ?θ ?z

∴ 全微分得:dρ = 全导数为:

?ρ ?ρ dr ?ρ dθ ?ρ dz dρ = + + + dθ ′ ?θ ′ ?r dθ ′ ?θ dθ ′ ?z dθ ′

例1-14 试将通用的连续性方程简化为不可压缩流体在 球面上作轴对称流动时的连续性方程。 解:由于描述球面上的运动,采用球坐标系的连续性方 程: ?ρ 1 ? 1 1 + (ρr 2u r )+ r sin θ ??θ (ρuθ sin θ ) + r sin θ ??φ (ρuφ ) = 0 ?θ ′ r 2 ?r 对于不可压缩流体,ρ=常数,上式化为:

∴ 随体导数为

?ρ ?ρ Dρ ?ρ ?ρ = +u +u +u ′ ?θ ′ r ?r θ ?θ z ?z Dθ

?uφ ? 1 ? 2 1 (uθ sin θ ) + 1 =0 r ur + r 2 ?r r sin θ ?θ r sin θ ?φ

(

)

6

由于流体流动是轴对称的,即与方位角无关,故上式又 可简化为:

1 ? 2 1 ? (uθ sin θ ) = 0 r ur + r 2 ?r r sin θ ?θ

(

)

再将上式展开化简后得:

r

u ?u ?u r + 2u r + θ + θ = 0 ?r ?θ tgθ

7


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