流体力学(刘鹤年版)第二版


第一章习题答案
选择题(单选题) 1.1 按连续介质的概念,流体质点是指: (d) (a)流体的分子; (b)流体内的固体颗粒; (c)几何的点; (d)几何尺寸同流动空间 相比是极小量,又含有大量分子的微元体。 1.2 作用于流体的质量力包括: (c)

(a)压力; (b)摩擦阻力; (c)重力; (d)表面张力。 1.3 单位质量力的国际单位是: (d) (a)N; (b)Pa; (c) N / kg ; (d) m / s 2 。 1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是: (b) (a)剪应力和压强; (b)剪应力和剪应变率; (c)剪应力和剪应变; (d)剪应力和流 速。 1.5 水的动力黏度μ 随温度的升高: (b)

(a)增大; (b)减小; (c)不变; (d)不定。 1.6 流体运动黏度? 的国际单位是: (a) (a) m / s 2 ; (b) N / m 2 ; (c) kg / m ; (d) N ? s / m 2 。 1.7 无黏性流体的特征是: (c) (a)黏度是常数; (b)不可压缩; (c)无黏性; (d)符合 1.8 当水的压强增加 1 个大气压时,水的密度增大约为: (a) (a)1/20000; (b)1/10000; (c)1/4000; (d)1/2000。 1.9 水的密度为 1000 kg/m ,2L 水的质量和重量是多少? 解:
3

p

?

? RT 。

m ? ?V ? 1 0 0 ? 0

(kg2 ) 0.0 ?0 2

G ? mg ? 2 ? 9.807 ? 19.614 (N)
答:2L 水的质量是 2 kg,重量是 19.614N。 1.10 体积为 0.5 m 的油料,重量为 4410N,试求该油料的密度是多少? 解:
3

??

m G g 4410 9.807 ? ? ? 8 9 9 . 3( 58 kg/m3) V V 0.5

答:该油料的密度是 899.358 kg/m3。 1.11 某液体的动力黏度为 0.005 Pa ? s ,其密度为 850 kg / m ,试求其运动黏度。
3

解:? ?

? 0.005 ? ? 5.882 ?10?6 (m2/s) ? 850

答:其运动黏度为 5.882 ?10?6 m2/s。

1.12

有一底面积为 60cm×40cm 的平板, 质量为 5Kg, 沿一与水平面成 20°角的斜面下滑, 平面与斜面之间的油层厚度为 0.6mm,若下滑速度 0.84 m / s ,求油的动力黏度 ? 。

m 0.6m

Fs

T

U
20°

G G

解: 平板受力如图。

U s G
沿 s 轴投影,有:

T

N

G ? sin 20 ? T ? 0

T ??

U

?

? A ? G ? sin 20

G ? sin 20 ? ? 5 ? 9.807 ? sin 20 ? 0.6 ?10?3 ? ? 5.0 ?10?2 ( kg ∴? ? ) m ?s U?A 0.6 ? 0.4 ? 0.84
答:油的动力黏度 ? ? 5.0 ?10
?2

kg

m ?s



1.13

为了进行绝缘处理, 将导线从充满绝缘涂料的模具中间拉过。 已知导线直径为 0.8mm; 涂料的黏度 ? =0.02 Pa ? s ,模具的直径为 0.9mm,长度为 20mm,导线的牵拉速度为 50 m / s ,试求所需牵拉力。

20mm

0 05mm

τ τ U U

解:

? ??

U

?

? 0 . 0? 2

5 0? 1 0 0 0 ? 2 0kN/m2) ( ? 0 ?. 8 2 ?0 . 9

T ? ? d ? l ?? ? ? ? 0.8 ?10?3 ? 20 ?10?3 ? 20 ? 1.01 (N)
答:所需牵拉力为 1.01 N。 1.14 一圆锥体绕其中心轴作等角速度旋转 ? =16 rad / s ,锥体与固定壁面间的距离

? =1mm,用 ? =0.1 Pa ? s 的润滑油充满间隙,锥底半径 R=0.3m,高 H=0.5m。求作用
于圆锥体的阻力矩。

ω

R

解: 选择坐标如图,在 z 处半径为 r 的微元力矩为 dM 。

z

θ

H
o y
? ?? 2? r 3?

δ

x
dM ? ? dA ? r ?
其中 r

?

r?

cos ? ? r

?

? 2? rdz

?

?

H 2 ? R2 dz H

R

?z

H

H

∴ M ?

?
0

H 2 ? R 2 2??? R 3 3 ? ? 3 z dz H ? H

? ?

??? 3 ? R H 2 ? R2 2? ? ? 0.1?16 3
2 ?1?10?3

? 0.3 ? 0.52 ? 0.32

? 39.568 ( N ? m )

答:作用于圆锥体的阻力矩为 39.568 N ? m 。 1.15 活塞加压,缸体内液体的压强为 0.1Mpa 时,体积为 1000 cm3 ,压强为 10Mpa 时, 体积为 995 cm3 ,试求液体的体积弹性模量。 解:

?p ??1 0 ? 0 . 9 Mpa .9 ) ? 1 ? 61 0 ? ( ?V ? ?995 ?1000? ?10?6 ? ?5 ?10?6 (m3)
?p 9.9 ?106 K ?? ?? ? 1.98 ?109 (pa) ?6 ?6 ?V V ?5 ?10 1000 ?10

9 答:液体的体积弹性模量 K ? 1.98 ?10 pa。

1.16

2 图示为压力表校正器,器内充满压缩系数为 k =4.75×10-10 m / N 的液压油,由手轮

丝杠推进活塞加压,已知活塞直径为 1cm,丝杠螺距为 2mm,加压前油的体积为 200mL,为使油压达到 20Mpa,手轮要摇多少转?

解: ∵ K ? ?

d
?V V ?p
?10

∴ ?V ? ?KV ?p ? ?4.75 ?10 设手轮摇动圈数为 n ,则有 n ?

? 200 ?10?6 ? 20 ?106 ? ?1.9 ?10?6 (m3)

?
4

d 2 ? ?l ? ?V

n?

4 ? ? ?1.9 ?10?6 ? 4?V ? ? 12.10 圈 ? d 2 ?l ? ? ?1?10?2 ?2 ? ? ?2 ?10?3 ?

即要摇动 12 圈以上。

答:手轮要摇 12 转以上。 1.17 图示为一水暖系统,为了防止水温升高时,体积膨胀将水管胀裂,在系统顶部设一膨 胀水箱。若系统内水的总体积为 8 m 3 ,加温前后温差为 50℃,在其温度范围内水的 膨胀系数 ? V =0.00051/℃。求膨胀水箱的最小容积。

散热器

锅炉

解: ∵ ?V ?

?V V ?T

∴ ?V ? ?VV ?T ? 0.00051? 8 ? 50 ? 0.204 (m3) 答:膨胀水箱的最小容积 0.204 m3。 1.18 钢贮罐内装满 10℃的水,密封加热到 75℃,在加热增压的温度和压强范围内,水的 热膨胀系数 ? V =4.1×10-4/℃,体积弹性模量 k =2×109 N / m ,罐体坚固,假设容积
2

不变,试估算加热后罐壁承受的压强。 解: ∵ ?V ?

?V V ?T ?V ? ? V ?T V

∴自由膨胀下有: 又∵ K ? ? ∴ ?p ? ? K

?p ?V V
?V ? K ? ?V ? ?T ? 4.1? 10?4 ? 2 ? 109 ? ? 75 ? 10 ? ? 53.3 (Mpa) V

加热后,钢罐内的压强为 p ? p0 ? ?p ? 53.3 Mpa。设 p0 ? 0 (表压强) 。 答:加热后罐壁承受的压强是 53.3 Mpa。

1.19

汽车上路时,轮胎内空气的温度为 20℃,绝对压强为 395kPa,行驶后轮胎内空气的 的温度上升到 50℃,试求这时的压强。

395V1 p2V2 pV ?R? ? T 273 ? 20 273 ? 50 323 ? 395 ? 435.4 (kPa) 假设 V1 ? V2 ,可解得 p ? p2 ? 293 答:这时的压强为 435.4 kPa。
解: 设满足理想气体方程,则有:

第二章习题答案
选择题(单选题) 2.1 静止流体中存在: (a) (a)压应力; (b)压应力和拉应力; (c)压应力和剪应力; (d)压应力、拉应力和剪 应力。 2.2 相对压强的起算基准是: (c) (a)绝对真空; (b)1 个标准大气压; (c)当地大气压; (d)液面压强。 2.3 金属压力表的读值是: (b) (a)绝对压强; (b)相对压强; (c)绝对压强加当地大气压; (d)相对压强加当地大 气压。 2.4 某点的真空度为 65000Pa,当地大气压为 0.1MPa,该点的绝对压强为: (d) (a)65000Pa; (b)55000Pa; (c)35000Pa; (d)165000Pa。 2.5 绝对压强 pabs 与相对压强 p 、真空度 pV 、当地大气压 pa 之间的关系是: (c) (a) pabs = p + pV ; (b) p = pabs + pa ; (c) pV = pa - pabs ; (d) p = pV + pV 。 2.6 在密闭容器上装有 U 形水银测压计,其中 1、2、3 点位于同一水平面上,其压强关系 为: (c)

3

2

1





(a) p1 > p2 > p3 ; (b) p1 = p2 = p3 ; (c) p1 < p2 < p3 ; (d) p2 < p1 < p3 。 2.7 用 U 形水银压差计测量水管内 A、B 两点的压强差,水银面高差 hp=10cm, pA - pB 为: (b)

A

B

(a)13.33kPa; (b)12.35kPa; (c)9.8kPa; (d)6.4kPa。 2.8 露天水池,水深 5 m 处的相对压强为: (b) (a)5kPa; (b)49kPa; (c)147kPa; (d)205kPa。 2.9 垂直放置的矩形平板挡水,水深 3m,静水总压力 P 的作用点到水面的距离 yD 为: (c)

hp
(a)1.25m; (b)1.5m; (c)2m; (d)2.5m。 2.10 圆形水桶,顶部及底部用环箍紧,桶内盛满液体,顶箍与底箍所受张力之比为: (a) (a)1/2; (b)1.0; (c)2; (d)3。 2.11 在液体中潜体所受浮力的大小: (b) (a)与潜体的密度成正比; (b)与液体的密度成正比; (c)与潜体淹没的深度成正比; (d)与液体表面的压强成反比。 2.12 正常成人的血压是收缩压 100~120mmHg,舒张压 60~90mmHg,用国际单位制表示是 多少 Pa?

3m

yD

解: ∵ 1 mm ?

101.325 ?103 ? 133.3 Pa 760

∴ 收缩压: 100 120 mmHg ? 13.33 kPa 16.00 kPa 舒张压: 60 90 mmHg ? 8.00 kPa 12.00 kPa 答 : 用 国 际 单 位 制 表 示 收 缩 压 : 100 120 mmHg ? 13.33 kPa 60 90 mmHg ? 8.00 kPa 12.00 kPa。

16.00 kPa ; 舒 张 压 :

2.13

密闭容器,测压管液面高于容器内液面 h =1.8m,液体的密度为 850kg/m3,求液面压 强。

p0

解:

p0 ? pa ? ? gh ? pa ? 8 5 0 ? 9 . 8? 07 1.8

相对压强为: 15.00 kPa。 绝对压强为: 116.33 kPa。 答:液面相对压强为 15.00 kPa,绝对压强为 116.33 kPa。 2.14 密闭容器, 压力表的示值为 4900N/m2, 压力表中心比 A 点高 0.4m, A 点在水下 1.5m, , 求水面压强。

h

p0

1.5m 0.4m

A

解:

p0 ? p 1.? 1 g a ? p? ? pa ? 4900 ?1.1?1000 ? 9.807 ? pa ? 5.888 (kPa)

相对压强为: ?5.888 kPa。 绝对压强为: 95.437 kPa。 答:水面相对压强为 ?5.888 kPa,绝对压强为 95.437 kPa。

2.15

水箱形状如图所示, 底部有 4 个支座, 试求水箱底面上总压力和 4 个支座的支座反力, 并讨论总压力和支座反力不相等的原因。
1m
3m 1m

1m

3m

3m

解: (1)总压力: P Z ? A ? p ? 4? g ? 3 ? 3 ? 353.052 (kN) (2)支反力: R ? W总 ? W水 ? W箱 ? W箱 ? ? g ?1?1?1? 3? 3? 3?

? W箱 ? 9807 ? 28 ? 274.596 kN ?W箱
不同之原因:总压力位底面水压力与面积的乘积,为压力体 ? ? g 。而支座反力与水体 重量及箱体重力相平衡,而水体重量为水的实际体积 ? ? g 。 答:水箱底面上总压力是 353.052 kN,4 个支座的支座反力是 274.596 kN。 2.16 盛满水的容器, 顶口装有活塞 A , 直径 d =0.4m, 容器底的直径 D =1.0m, 高 h =1.8m, 如活塞上加力 2520N(包括活塞自重) ,求容器底的压强和总压力。

G d

A

D
解: (1)容器底的压强:

pD ? p A ? ? gh ? 2520
(2)容器底的总压力:

?
4

d

2

? 9807 ?1.8 ? 37.706 (kPa) (相对压强)

PD ? ApD ?

?
4

D 2 ? pD ?

?
4

? 12 ? 37.706 ?103 ? 29.614 (kN)

答:容器底的压强为 37.706 kPa,总压力为 29.614 kN。 2.17 用多管水银测压计测压,图中标高的单位为 m,试求水面的压强 p0 。

h



1.4

1.2


解:

p0 ? p4 ? ?3.0 ?1.4? ? g ? p5 ? ? 2.5 ?1.4? ?Hg g ? ?3.0 ?1.4? ? g ? pa ? ? 2.3 ?1.2? ?Hg g ? ? 2.5 ?1.2? ? g ? ? 2.5 ?1.4? ?Hg g ? ?3.0 ?1.4? ? g ? pa ? ? 2.3 ? 2.5 ?1.2 ?1.4? ?Hg g ? ? 2.5 ? 3.0 ?1.2 ?1.4? ? g
? pa ? ? ?? 2.3 ? 2.5 ? 1.2 ? 1.4 ? ?13.6 ? ? 2.5 ? 3.0 ? 1.2 ? 1.4 ? ? g ? ? ?g

? pa ? 265.00 (kPa)
答:水面的压强 p0 ? 265.00 kPa。

2.18

盛有水的密闭容器,水面压强为 p0 ,当容器自由下落时,求水中压强分部规律。

Δ

Δ

Δ Δ

Δ

p0

3.0 2.5



2.3

p0

g
解: 选择坐标系, z 轴铅垂朝上。 由欧拉运动方程: f z ? 其中 f z ? ? g ? g ? 0 ∴

1 ?p ?0 ? ?z

?p ? 0, p ? 0 ?z

即水中压强分布 p ? p0 答:水中压强分部规律为 p ? p0 。 圆柱形容器的半径 R =15cm,高 H =50cm,盛水深 h =30cm,若容器以等角速度 ? 绕

2.19

z 轴旋转,试求 ? 最大为多少时不致使水从容器中溢出。

z ω

D

解: 建立随圆柱容器一起转动的坐标系 oxyz , o 点在水面最低点。 则有: ? f x ?

?p ?0 ?x

? fy ?
? fz ?

?p ?0 ?y
?p ?0 ?z

即有: ? f x dx ? ? f y dy ? ? f z dz ? dp 其中: f z ? ? g ; f x ? r? 2 cos? ? x? 2 ; f y ? r? sin ? ? y?
2
2 2 故有: dp ? ? x? dx ? y? dy ? gdz

h

H

2

?

?

p ? p0 ? ? ? gz ? p ? p0 ? ? gz ?

?? 2
2

?x

2

? y2 ?

?? 2
2

r2

当在自由面时, p ? p0 ,∴自由面满足 z0 ? ∴ p ? p0 ? ? g ? z0 ? z ? ? p0 ? ? gh

?2
2g

r2

上式说明, 对任意点 ? x, y, z ? ? ? r, z ? 的压强, 依然等于自由面压强 p0 ? 水深? ? g 。 ∴等压面为旋转、相互平行的抛物面。 答: ? 最大为 18.67rad/s 时不致使水从容器中溢出。

2.20

装满油的圆柱形容器,直径 D =80cm,油的密度 ? =801 kg / m ,顶盖中心点装有真
3

空表,表的读值为 4900Pa,试求: (1)容器静止时,作用于顶盖上总压力的大小和 方向; (2)容器以角速度 ? =20 r / s 旋转时,真空表的读值不变,作用于顶盖上总压 力的大小和方向。

ρ油

ω
D
解: (1)∵ pv ? pa ? p? ? 4.9 kPa ∴相对压强 p ? p? ? pa ? ?4.9 kPa

P ? pA ? ?4.9 ?

? D2
4

? ?4.9 ?

?
4

? 0.82 ? ?2.46 (kN)

负号说明顶盖所受作用力指向下。 (2)当 ? ? 20 r/s 时,压强分布满足 p ? p0 ? ? gz ?

?? 2
2

?x

2

? y2 ?

坐顶中心为坐标原点,∴ ? x, y, z ? ? ? 0,0,0? 时, p0 ? ?4.9 kPa

? ?? 2 2 2 ? P ? ?? pdA ? ?? ? p0 ? ? gz ? ? x ? y ?? dA 2 ? ? A A
2? D

?

??
0 0

2

? ?? 2 2 ? p ? r ? d? ? rdr ? 0 2 ? ?
D

? p r 2 ?? 2 4 ? 2 ? 2? ? 0 ? r ? 2 8 ? ?0

?

? p0
4

D2 ?

?? 2 ?
64

D4

??

? ? 0.82
4

? 4.9 ?

? ? 202
64

? 0.84 ?

801 1000

? 3.98 (kN)
总压力指向上方。 答: (1)容器静止时,作用于顶盖上总压力的大小为 2.46 kN,方向向下; (2)容器以角速 r / s 3.98 度 ? =20 旋转时,真空表的读值不变,作用于顶盖上总压力为 kN,方向指向 上方。 2.21 绘制题图中 AB 面上的压强分布图。

A h1 h2 h2 h1 B B

A

A

h

B

解:

A
ρgh1 ρgh1 ρgh1

ρgh2

B

A
ρg(h2-h1)

ρg(h2-h1)

B
A

B
ρgh
2.22 河水深 H =12m,沉箱高 h =1.8m,试求: (1)使河床处不漏水,向工作室 A 送压缩 空气的压强是多少?(2)画出垂直壁 BC 上的压强分布图。

H
B A

C

解: (1)当 A 室内 C 处的压强大于等于水压时,不会发生漏水现象。 ∴ p ? pC ? 12 ? ? g ? 117.684 kPa (2)BC 压强分布图为:

B

17.653

C
2.23

0

答:使河床处不漏水,向工作室 A 送压缩空气的压强是 117.684 kPa。 输水管道试压时,压力表的读值为 8.5at,管道直径 d =1m,试求作用在管端法兰堵 头上的静水总压力。

h

d
?
4

解: P ? p ? A ?

4 答:作用在管端法兰堵头上的静水总压力为 654.7 kN。
2.24

D 2 ? p ? 8.5 ? 98.07 ?1000 ?

?

?12 ? 654.7 (kN)

矩形平板闸门 AB ,一侧挡水,已知长 l =2m,宽 b =1m,形心点水深 hc =2m,倾角

? = 45 ? ,闸门上缘 A 处设有转轴,忽略闸门自重及门轴摩擦力,试求开启闸门所需
拉力 T 。

T

hc

A

b
B α
解: (1)解析法。

P ? pC ? A ? hC ? g ? bl ? 1000 ? 9.807 ? 2 ?1? 2 ? 39.228 (kN)

l

bl 3 I h 2 22 2 yD ? yC ? C ? C ? 12 ? ? ?2 2? ? 2.946(m) hC 12 ? 2 yC A sin ? sin 45 12 ? bl sin 45 sin ?
对 A 点取矩,当开启闸门时,拉力 T 满足:

P ? yD ? yA ? ? T ? l cos? ? 0
? ? hC l2 l ?? ? hC ? P ? ?? ? ? ? sin ? 12 ? hC ? sin ? 2 ? ? P ? ? yD ? y A ? ? ? sin ? ? T? ? ? l cos ? l ? cos ? ? ? l2 l? ? P ? ? 2? 2 ?1 ? 12 ? hC ? sin ? ? ? 12 ? ? 3.9228 ? l ? cos ? 2 ? cos 45
? 31.007 (kN) 当 T ? 31.007 kN 时,可以开启闸门。
(2)图解法。 压强分布如图所示:

T P2 P1 A

D1 D2 B
l ? pA ? ? hC ? sin 45 2 ? l ? pB ? ? hC ? sin 45 2 ? ? ? ? g ? 12.68 (kPa) ? ? ? ? g ? 26.55 (kPa) ?

P ? ? p A ? pB ? ?

lb ?12.68 ? 26.55? ? 2 ?1 ? ? 39.23 (kN) 2 2

对 A 点取矩,有 P 1 ? AD 1?P 2 ? AD2 ? T ? AB ? cos 45 ? 0

l 1 2 pA ? l ? b ? ? ? pB ? pA ? ? l ? ? b ? l 2 2 3 ∴ T? l ? cos 45 2 12.68 ?1?1 ? ? 26.55 ? 12.68? ?1? 3 ? cos 45 ? 31.009 (kN) 答:开启闸门所需拉力 T ? 31.009 kN。
2.25 矩形闸门高 h =3m,宽 b =2m,上游水深 h1 =6m,下游水深 h2 =4.5m,试求: (1)作 用在闸门上的静水总压力; (2)压力中心的位置。

h1

解: (1)图解法。 压强分布如图所示:

h1 h2

h

p

h2

∵ p?? ?? h1 ? h ? ? ? h2 ? h ? ? ? ?g

? ? h1 ? h2 ? ? g

? ? 6 ? 4.5? ?1000 ? 9.807
? 14.71 (kPa)
P ? p ? h ? b ? 14.71? 3? 2 ? 88.263 (kN)
合力作用位置:在闸门的几何中心,即距地面 (1.5m, ) 处。 (2)解析法。

b 2

P 1 ? p1 A ? ? g ? h 1 ?1.5? ? hb ? ? 6 ?1.5? ? 9807 ? 3? 2 ? 264.789 (kN)
bh3 I 1 ? 2 h2 ? yD1 ? yC 2 ? C ? 4.5 ? 12 ? ? 4.5 ? ? yC 2 A 4.5 ? bh 4.5 ? 12 ?
? 1 ? ? 20.25 ? 0.75 ? ? 4.667 (m) 4.5

P 2 ? p2 A ? ? g ? h2 ?1.5? ? hb ? 3? 9.807 ? 3? 2 ? 176.526 (kN)
yD 2 ? yC1 ? IC 1 ? 2 IC ? 1 2 ? ? yC1 ? ? ? ? 3 ? 0.75? ? 3.25 (m) yC1 A yC1 ? A? 3

合力: P ? P 1?P 2 ? 88.263 (kN) 合力作用位置(对闸门与渠底接触点取矩) :

yD P ? P 1 ?h 1 ? yD1 ? ? P 2 ? h2 ? yD 2 ?
yD ? P 1 ?h 1 ? y D1 ? ? P 2 ? h2 ? y D 2 ? P 264.789 ? ? 6 ? 4.667 ? ? 176.526 ? ? 4.5 ? 3.25? 88.263

?

? 1.499 (m)
答: (1)作用在闸门上的静水总压力 88.263 kN; (2)压力中心的位置在闸门的几何中心, 即距地面 (1.5m, ) 处。

b 2

2.26

矩形平板闸门一侧挡水,门高 h =1m,宽 b =0.8m,要求挡水深 h1 超过 2m 时,闸门 即可自动开启,试求转轴应设的位置 y 。

h1

h
解:当挡水深达到 h1 时,水压力作用位置应作用在转轴上,当水深大于 h1 时,水压力作用 位置应作用于转轴上,使闸门开启。

h? ? P ? ? h1 ? ? ? g ? hb ? 1.5 ?1000 ? 9.807 ?1? 0.8 ? 11.7684 (kPa) 2? ?

h? h2 12 ? yD ? ? h1 ? ? ? ? 1.5 ? ? 1.556 (m) h? 2? ? 1.5 ?12 ? ? h1 ? ? ?12 2? ?
∴转轴位置距渠底的距离为: 2 ? 1.556 ? 0.444 (m) 可行性判定:当 h1 增大时 yC ? ? h1 ?

? ?

IC h? 减小,即压力作用位置距闸门 ? 增大,则 yC A 2?

形越近,即作用力距渠底的距离将大于 0.444 米。 答:转轴应设的位置 y ? 0.444 m。 2.27 折板 ABC 一侧挡水,板宽 b =1m,高度 h1 = h2 =2m,倾角 ? = 45 ? ,试求作用在折板 上的静水总压力。

y

A

h1

B

h2

α
解: 水平分力:

? 2 ? 2? ?1000 ? 9.807 ?1 ? 78.456(kN) (→) h ?h Px ? 1 2 ? ? g ? ? h1 ? h2 ? b ? 2 2
2

竖直分力:

1 ? ? Pz ? V ? ? g ? ? g ? h1h2 cot ? ? h1h2 cot ? ? b 2 ? ?
3 ? ? g ? h1h2 ? b 2

3 ? 1000 ? 9.807 ? ? 2 ? 2 ?1 2 ? 58.842 (kN) (↓)

P ? Px2 ? Py2 ? 98.07 (kN)

tan ? ?

P Pz ? 0.75 , ? ? tan ?1 z ? 36.87 Px Px

答:作用在折板上的静水总压力 P ? 98.07 kN。 2.28 金属矩形平板闸门,门高 h =3m,宽 b =1m,由两根工字钢横梁支撑,挡水面与闸门 顶边齐平,如要求两横梁所受的力相等,两横梁的位置 y1 、 y 2 应为多少?

y1


h

y2



2 3h

y1 R1 y2

P R2

静水总压力: P ?

h 32 ? ? g ? hb ? ?1000 ? 9.807 ?1 ? 44.132 (kN) 2 2
1 3

总压力作用位置:距渠底 h ? 1 (m) 对总压力作用点取矩,∵ R1 ? R2 ∴

2 2 4 h ? y1 ? y2 ? h , y1 ? y2 ? h 3 3 3

设水压力合力为

h2 h2 P ? gb ,对应的水深为 h1 ; 1 ? gb ? 2 2 4

∴ h1 ? ∴ y1 ?

2 h ? 2.1213 (m) 2

2 h1 ? 1.414 (m) 3 4 y2 ? h ? y1 ? 4 ? 1.414 ? 2.586 (m) 3

答:两横梁的位置 y1 ? 1.414 m、 y 2 ? 2.586 m。 一弧形闸门,宽 2m,圆心角 ? = 30 ? ,半径 R =3m,闸门转轴与水平齐平,试求作用 在闸门上的静水总压力的大小和方向。

2.29

A

R α

h

B
? R sin ? ? ? g ? b ? ? 3 ? sin 30 解: (1)水平压力: Px ?
2

?

2

2

2

? 2 ? 9.807

? 22.066 (kN)
(2)垂向压力: Pz ? V ? g ? ? g ? ? R 2 ?

(→)

? ?

1 1 ? ? R sin ? ? R cos ? ? 12 2 ?

? ? ? 32 32 ? ? 9.807 ? ? ? sin 30 cos30 ? ? 2 2 ? 12 ?
? 7.996 (kN)
合力: P ? (↑)

Px2 ? Pz2 ? 22.0662 ? 7.9962 ? 23.470 (kN)
Pz ? 19.92 Px

? ? arctan

A

θ

P B
答:作用在闸门上的静水总压力 P ? 23.470 kN, ? ? 19.92 。

2.30

挡水建筑物一侧挡水,该建筑物为二向曲面(柱面) , z = ? x ,? 为常数,试求单位
2

宽度曲面上静水总压力的水平分力 Px 和铅垂分力 Pz 。

z

h

x
解: (1)水平压力: Px ?

h 1 ? ? ? g ? h ?1 ? ? gh 2 2 2
h

(→)

(2)铅垂分力: Pz ? ? g ?1?

? ? h ? z ?dx
0
h a

a

a ? ? ? ? g ? ? hx ? x3 ? 3 ?0 ?

? ?g

h? a h? ?h? ? ? a? 3 a?

?

2 h ? gh 3 a

(↓)

答:单位宽度曲面上静水总压力的水平分力 Px ?

1 2 h ? gh 2 ,铅垂分力 Pz ? ? gh 。 2 3 a

2.31

半径为 R , 具有铅垂轴的半球壳内盛满液体, 求作用在被两个互相正交的垂直平面切 出的 1/4 球面上的总压力和作用点 D 的位置。

O D y
?
0 R

x

z
?
0 R 2 2 u ? R2 ? z 2 du ??2 zdz

? 解: (1) Px ? ? g zxdz ? ? g z R ? z dz ????

?g R

1 1 2 u du ? ? gR 3 ? 2 0 3

2

(→)

1 ? gR3 Px 3? 3 形心坐标 zC ? ? ? 2 ?R ? gA 4R ?g ? 4 1 3 (2)同理,可求得 Py ? ? gR (↙) 3
? 1 1 R3 (3) Pz ? V ? g ? ? g ? ? ? r 2 sin ? ? d? d? dr ? ? g ? 4? ? ? ? cos? ? 0 2 8 8 3 0 0 0 ? 2? R

?

1 4 ? ? g ? ? R 3 ? ? gR 3 8 3 6

(↓)

P ? Px2 ? Py2 ? Pz2 ? 0.7045? gR3
在 xoy 平 行 平 面 的 合 力 为

2 ? gR3 , 在 与 x , y 轴 成 45 铅 垂 面 内 , 3

arctan

Pz ? 6 2? ? arctan ? arctan ? 48.00 Pxy 4 2 3

∴D 点的位置为: zD ? R sin 48.00 ? 0.743R

xD ? yD ? R cos 48.00 ?

2 ? 0.473R 2

答:作用在被两个互相正交的垂直平面切出的 1/4 球面上的总压力 P ? 0.7045? gR3 ,作用 点 D 的位置 xD ? yD ? 0.473R , zD ? 0.743R 。 2.32 在水箱的竖直壁面上,装置一均匀的圆柱体,该圆柱体可无摩擦地绕水平轴旋转,其 左半部淹没在水下,试问圆柱体能否在上浮力作用下绕水平轴旋转,并加以论证。

答:不能。因总水压力作用线通过转轴 o ,对圆柱之矩恒为零。 证明:设转轴处水深为 h0 ,圆柱半径为 R ,圆柱长为 b 。 则有 P x ? h0 ? ? g ? 2R ? b ? 2? gh0 Rb (→)

yDx ? h0 ?

IC I ,到转轴 o 的作用距离为 C 。 h0 A h0 A
3

即 yDo

b ? 2R ? R2 12 ? ? h0 ? 2 R ? b 3h0

Pz ? V ? g ?

? R2
2

?b? ?g

(↑)

到 o 轴的作用距离为

4R 3? 4R 3?

两力对 o 轴的矩为: Px ? y Dx ? Pz ?

R2 ? R2 4R ? 2 ? gh0 Rb ? ? ? gb ? 3h0 2 3?
2 ?2 ? ? ? g ? R3b ? R3b ? 3 ?3 ?
?0
2.33 密闭盛水容器,水深 h1 =60cm , h2 =100cm,水银测压计读值 ?h =25cm ,试求半径

R =0.5m 的半球形盖 AB 所受总压力的水平分力和铅垂分力。

h1

A

R

B

解: (1)确定水面压强 p0 。

? ? ? p0 ? ?h ? ?Hg ? g ? ? g ? ?h ? Hg ? h1 ? ? ? ?
? 1000 ? 9.807 ? ? 0.25?13.6 ? 0.6?
? 27.460 (kPa)
(2)计算水平分量 Px 。

Px ? pC ? A ? ? p0 ? h2 ? g ? ? ? R2 ? ? 27.460 ?1.0 ? 9.807? ? 0.52 ?
? 29.269 (kN)

h2

Δh

(3)计算铅垂分力 Pz 。

Pz ? V ? g ?

4? R3 1 4 ? ? ? 0.53 ? ? ?g ? ? 9.807 ? 2.567 (kN) 3 2 6

答:半球形盖 AB 所受总压力的水平分力为 29.269 kN,铅垂分力为 2.567 kN。 2.34 球形密闭容器内部充满水,已知测压管水面标高 ?1 =8.5m ,球外自由水面标高 (1)作用于半球连接螺栓上的总压 ? 2 =3.5m,球直径 D =2m,球壁重量不计,试求: 力; (2)作用于垂直柱上的水平力和竖向力。
Δ
1

解: (1)取上半球为研究对象,受力如图所示。

1

2

Pz
∵ Pz ? V ? g ?

T

? D2
4

? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? g

?

? ? 22
4

? ? 8.5 ? 3.5? ?1000 ? 9.807

Δ

2

Δ

Δ

? 154.048 (kN)
∴T ? P z ? 154.048 (kN) (2)取下半球为研究对象,受力如图。

Fx
∵ Pz? ?

? D2
4

? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? g ?

? ? 22
4

Fz ? Pz? ? T ? ? 0

Fx ? Fy ? 0
答: (1)作用于半球连接螺栓上的总压力为 154.048 kN; (2)作用于垂直柱上的水平力和竖 向力 Fx ? Fy ? 0 。

2.35

极地附近的海面上露出冰山的一角,已知冰山的密度为 920 kg / m ,海水的密度为 1025 kg / m ,试求露出海面的冰山体积与海面下的体积之比。
3

Δ

Δ

1

2

T' Pz' Fy Fz
? ? 8.5 ? 3.5 ? ?1000 ? 9.807 ? 154.048 (kN)

3

解: 设冰山的露出体积为 V1 ,在水上体积为 V2 。 则有 ?V1 ? V2 ? ?冰 ? g ? V2 ?海水 ? g ∴ ?1 ?

? ?

V1 ? ?海水 ?? V2 ? ?冰

V1 ?海水 1025 ? ?1 ? ? 1 ? 0.114 V2 ?冰 920
答:露出海面的冰山体积与海面下的体积之比为 0.114 。

第三章习题答案
选择题(单选题) 3.1 用欧拉法表示流体质点的加速度 a 等于: (d)

(a) 3.2

d2r ?u ?u ; (b) ; (c) (u ??)u ; (d) + (u ??)u 。 2 dt ?t ?t

恒定流是: (b) (a)流动随时间按一定规律变化; (b)各空间点上的流动参数不随时间变化; (c)各 过流断面的速度分布相同; (d)迁移加速度为零。

3.3

一维流动限于: (c) (a)流线是直线; (b)速度分布按直线变化; (c)流动参数是一个空间坐标和时间变 量的函数; (d)流动参数不随时间变化的流动。

3.4

均匀流是: (b) (a)当地加速度为零; (b)迁移加速度为零; (c)向心加速度为零; (d)合加速度为 零。

3.5

无旋流动限于: (c) (a)流线是直线的流动; (b)迹线是直线的流动; (c)微团无旋转的流动; (d)恒定 流动。

3.6

变直径管,直径 d1 =320mm, d2 =160mm,流速 v1 =1.5m/s。 v 2 为: (c) (a)3m/s; (b)4m/s; (c)6m/s; (d)9m/s。

2.36

已知速度场 u x =2 t +2 x +2 y , u y = t - y + z , u z = t + x - z 。试求点(2,2,1)在 t =3 时的加速度。

解:

ax ?

?ux ?u ?u ?u ? ux x ? u y x ? uz x ?t ?x ?y ?z

? 2 ? ? 2t ? 2x ? 2 y ? ? 2 ? ?t ? y ? z ? ? 2 ? 0
? 2 ? 6t ? 4 x ? 2 y ? 2 z

? 2 ?3t ? 2x ? y ? z ?1?
ay ? ?u y ?t ? ux ?u y ?x ? uy ?u y ?y ? uz ?u y ?z

? 1 ? 0 ? ?t ? y ? z ? ? ?t ? x ? z ? ?1
? 1 ? x ? y ? 2z

az ?

?uz ?u ?u ?u ? ux z ? u y z ? uz z ?t ?x ?y ?z

? 1? ? 2t ? 2x ? 2 y ? ? 0 ? ?t ? x ? z ?
? 1? t ? x ? 2 y ? z

ax ?3,2,2,1? ? 2 ? ?3? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ?1?1? ? 34 (m/s2) ay ?3,2,2,1? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 (m/s2)

az ?3,2,2,1? ? 1? 3 ? 2 ? 4 ?1 ? 11 (m/s2)
2 2 2 a ? ax ? ay ? az ? 342 ? 32 ? 112 ? 35.86 (m/s2)

答:点(2,2,1)在 t =3 时的加速度 a ? 35.86 m/s2。

3.8 已知速度场 u x = xy , u y =–

2

1 3 y , u z = xy 。试求: (1)点(1,2,3)的加速度; (2) 3

是几维流动; (3)是恒定流还是非恒定流; (4)是均匀流还是非均匀流。 解: (1) ax ?

?ux ?u ?u ?u 2 1 ? ux x ? u y x ? uz x ? xy 4 ? xy 4 ? 0 ? xy 4 ?t ?x ?y ?z 3 3

ay ?
az ?

?u y ?t

? ux

?u y ?x

? uy

?u y ?y

? uz

?u y

1 1 ? 0 ? 0 ? y5 ? 0 ? y5 ?z 3 3

?uz ?u ?u ?u 1 2 ? ux z ? u y z ? uz z ? 0 ? xy 3 ? xy 3 ? xy 3 ?t ?x ?y ?z 3 3

1 16 ax ?1, 2,3? ? ?1? 24 ? (m/s2) 3 3 1 5 32 a y ?1, 2,3? ? ? 2 ? (m/s2) 3 3 2 16 ax ?1, 2,3? ? ?1? 23 ? (m/s2) 3 3
2 2 a ? ax ? ay ? az2 ? 13.06 (m/s2)

(2)二维运动,空间点的运动仅与 x 、 y 坐标有关; (3)为恒定流动,运动要素与 t 无关; (4)非均匀流动。 3.9 管道收缩段长 l =60cm,直径 D =20cm, d =10cm,通过流量 Q =0.2 m / s ,现逐渐关闭 调节阀门,使流量成线性减小,在 20s 内流量减为零,试求在关闭阀门的第 10s 时,管轴线 上 A 点的加速度(假设断面上速度均匀分布) 。
3

D

l

l

解: 解法一 流量函数: Q ? t ? ? 0.2 ? 直径函数: d ? x ? ? D1 ?

0.2 t ? 0.2 ?1 ? 0.05t ? 20

x x x? ? D1 ? d2 ? ? d2 ? ? ?1 ? ? D1 2l 2l ? 2l ?

∴流速方程 ? 0

2l ? : u ? x, t ? ?
?u ?u ?u ?t ?x

4Q ? t ? ? d 2 ? x?

加速度: a ? x, t ? ?

?

?Q 4Q ? ? 1 ? ? u ? ? ? d 2 ? x ? ?t ? ?x ? d 2 ? x ? ? 4

?

4

?d

2

? x?

? ? ?0.01? ? u

4Q

?

? ? ?1?

?d d ? x ? ?x 2
3

?

? 4Q 2 ? d 2 D1 ? ? ? 0.01 ? ? ?? ? ? d 2 ? x? ? ? d 3 ? x? ? l ?? ? l 4 4

? 4Q 2 ?10 ? ? D1 ? d 2 ? ? 对 A 点: a A ? a ? l ,10 ? ? ? ?0.01 ? ?? ? d 2 ?l ? ? ? d 3 ?l ? ? ? l ??
d ?l ? ? d 2 ? D1 0.2 ? 0.1 ? ? 0.15 (m) 2 2

Q ?10? ? 0.1 (m3/s)
代入得: aA ?

4 ? ? 0.152

? 4 ? 0.12 ? 0.2 ? 0.1 ? ? 2 ? 0.01 ? ? ? ? ? 35.01 (m/s ) ? 3 ? ? ? 0.15 ? 0.6 ? ? ?

d

A

解法二 近似解法

a?

?u ?u ?u ?t ?x ?u u2 ? u1 ? ?x 2l
(m)

5 0 . 在 t ? 10 (s)时, Q ? 0.1(m3/s) ,d ?1


?u 4 ? 0.2 ? ?4 ? 0.01 1.78 ? ? ? ?? ?? 2 ? 2 ?t ? d ? 20 ? ?d ?
u2 ? 0.1? 4 40 ? ? ? 0.12 ? 0.1? 4 10 u1 ? ? ? ? 0.2 2 ? 0.1? 4 17.78 u? ? 2 ? ? 0.15 ?

∴ aA ? ?

1.78 17.78 ? 40 ? 10 ? ? ? ? ? 44.47 (m/s2) ? ? 2l

答:在关闭阀门的第 10s 时,管轴线上 A 点的加速度为 35.01 m/s2。 3.10 已知平面流动的速度场为 u x = a , u y = b , a 、 b 为常数,试求流线方程并画出若干条 上半平面( y >0)的流线。 解: ∵

dx dy ? ux u y

∴ bdx ? ady ? 0

bx ? ay ? c



y?

b x ? c? 为线性方程 a

答:流线方程为 bx ? ay ? c 。

3.11 已知平面流动的速度场为 u x =– 程并画出若干条流线。 解: ∵

cy cx ,u y = 2 ,其中 c 为常数。试求流线方 2 x ?y x ? y2
2

dx dy ? ux u y

∴ cxdx ? cydy ? 0

x2 ? y 2 ? c?2

为圆心在 ? 0, 0 ? 的圆族。

答:流线方程为 x 2 ? y 2 ? c?2 ,为圆心在 ? 0, 0 ? 的圆族。

3.12 已知平面流动的速度场为 u = (4 y ? 6 x)t i ? (6 y ? 9 x)t j 。求 t =1 时的流线方程,并 画出 1≤ x ≤4 区间穿过 x 轴的 4 条流线图形。 解:

?

?

?

dx dy ? y 9? x t ? 4 y ? 6 x? t ? 6 ?
当 t ? 1 秒时, ? 6 y ? 9x ? dx ? ? 4 y ? 6x ? ?y

3? 2 y ? 3x ? dx ? 2 ? 2 y ? 3x ? ?y ? 0
3dx ? 2dy ? 0
∴ 3x ? 2 y ? c 过 ?1,0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 3 过 ? 2, 0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 6 过 ? 3,0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 9 过 ? 4, 0 ? 的流线为: 3x ? 2 y ? 12 答: t =1 时的流线方程为 3x ? 2 y ? c 。

3.13 不可压缩流体,下面的运动能否出现(是否满足连续性条件)?
2 2 3 2 (1) u x =2 x ? y ; u y = x ? x( y ? 2 y)

(2) u x = xt ? 2 y ; u y = xt 2 ? yt
2 2 (3) u x = y ? 2 xz ; u y = ? 2 yz ? x yz ; u z =

1 2 2 x z ? x3 y 4 2

解: (1)∵

?ux ?u y ? ? 4x ? x ? 2 y ? 2? ? 0 ?x ?y ?ux ?u y ? ? t ?t ? 0 ?x ?y

∴不能出现。 (2)∵

∴能出现。

(3)∵

?ux ?u y ?uz ? ? ? 2z ? 2z ? x2 z ? x2 z ? 0 ?x ?y ?z
2

∴不能出现。 3.14 已知不可压缩流体平面流动, 在 y 方向的速度分量为 u y = y -2 x +2 y 。 试求速度在 x 方 向的分量 u x 。 解: ∵

?ux ?u y ? ?0 ?x ?y
?u x ? ??2 ? 2y? ?x



∴ ux ? ? ? 2 ? 2 y ? x ? c ? y ? ? ?2x ? 2xy ? c ? y ? 答:速度在 x 方向的分量 ux ? ?2x ? 2xy ? c ? y ? 。 3.15 在送风道的壁上有一面积为 0.4 m 的风口,试求风口出流的平均速度 v 。
2

4m3/s
孔口

2.5m3/s 30° v

解: ∵ Q1 ? Q2 ? Q3

其中: Q1 ? 4 m3/s, Q2 ? 2.5 m3/s

∴ Q3 ? 4 ? 2.5 ? 1.5 (m3/s)

1 Q3 ? A ? v ? sin 30 ? 0.4 ? ? v 2 1.5 ? 7.5 (m/s) ∴v ? 0.2 答:风口出流的平均速度 v ? 7.5 m/s。

? y? 3.16 求两平行平板间,流体的单宽流量,已知速度分布为 u = u max [1 ? ? ? ] 。式中 y =0 ?b?
为中心线, y = ? b 为平板所在位置, u max 为常数。
?b

2

解: 单宽流量为: q ? 1.0 udy
?b
?b ? ? y ?2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? umax dy 0 ? ? ?b? ? ?

?

? 1 ? ? 2umax ?b ? b ? ? 3 ?
4 ? bumax 3
答:两平行平板间,流体的单宽流量为

4 bu max 。 3

3.17 下列两个流动,哪个有旋?哪个无旋?哪个有角变形?哪个无角变形? (1) u x =– ay , u y = ax ; u z =0 (2) u x =–

cy cx , uy = 2 , u z =0 2 x ?y x ? y2
2

式中 a 、 c 是常数。 解: (1) ?t ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ? ?a ? a? ? a 2 ? ?x ?y ? 2

有旋。

? yx ? ? xy ? ?
(2) ?t ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ?a ? a? ? 0 2 ? ?x ?y ? 2

无角变形。

1 ? ?u y ?ux ? ? ? ? 2 ? ?x ?y ?

2 2 2 2 2 2? ? 1 ? c ? x ? y ? ? 2cx ?c ? x ? y ? ? 2cy ? ? ? 2 2 2 2 2? x ? y ? ? ? x2 ? y 2 ? ? ? ?

2 2 2 2 1 2c ? x ? y ? ? 2c ? x ? y ? ? 2 2 ? x2 ? y 2 ?

?0

无旋(不包括奇点 (0, 0) ) 。

2 2 2 2 1 ? ?u y ?ux ? 1 2c ? y ? x ? c ? y ? x ? ? yx ? ? xy ? ? ? ? ?0 ?? 2 2 ? ?x ?y ? 2 ? x 2 ? y 2 ?2 ? x2 ? y 2 ?

存在角变形运动。

3.18 已知有旋流动的速度场 u x =2 y +3 z , u y =2 z +3 x , u z =2 x +3 y 。试求旋转角速度和 角变形速度。 解:

?x ? ?

1 ? ?uz ?u y ? 1 1 ? ? ? ? 3 ? 2? ? 2 ? ?y ?z ? 2 2
1 ? ?u ?u ? 1 1

?y ? ? x ? z ? ? ?3 ? 2? ? 2 ? ?z ?x ? 2 2

?z ? ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 1 ? ? ? ? 3 ? 2? ? 2 ? ?x ?y ? 2 2
3 2

2 ? ? ?x2 ? ? y ? ?z2 ?

? yx ? ? xy ? ?

1 ? ?u y ?ux ? 5 ? ?? 2 ? ?x ?y ? 2
?u ? 5

? zx ? ? xz ? ? z ? x ? ? 2 ? ?x ?z ? 2

1 ? ?u

? zy ? ? yz ? ?

1 ? ?uz ?u y ? 5 ? ?? 2 ? ?y ?z ? 2
1 5 ,角变形速度 ? yx ? ? zx ? ? yz ? 。 2 2

答:旋转角速度 ? x ? ? y ? ? z ?

第四章习题答案
选择题(单选题) 4.1 等直径水管,A-A 为过流断面,B-B 为水平面,1、2、3、4 为面上各点,各点的流动参 数有以下关系: (c)

A
1

B

4 3 2

B

A

(a) p1 = p2 ; (b) p3 = p4 ; (c) z1 +

p p1 p p = z2 + 2 ; (d) z 3 + 3 = z4 + 4 。 ?g ?g ?g ?g

p ? v2 4.2 伯努利方程中 z + + 表示: (a) ? g 2g
(a)单位重量流体具有的机械能; (b)单位质量流体具有的机械能; (c)单位体积流体具 有的机械能; (d)通过过流断面流体的总机械能。 4.3 水平放置的渐扩管,如忽略水头损失,断面形心点的压强,有以下关系: (c)

1

2

p1
1
(a) p1 > p2 ; (b) p1 = p2 ; (c) p1 < p2 ; (d)不定。

p2
2

4.4 黏性流体总水头线沿程的变化是: (a) (a)沿程下降; (b)沿程上升; (c)保持水平; (d)前三种情况都有可能。 4.5 黏性流体测压管水头线的沿程变化是: (d) (a)沿程下降; (b)沿程上升; (c)保持水平; (d)前三种情况都有可能。 4.6 平面流动具有流函数的条件是: (d) 无黏性流体; (b)无旋流动; (c)具有速度势; (d)满足连续性。

d B =0.4m, 4.7 一变直径的管段 AB , 直径 d A =0.2m, 高差 ?h =1.5m, 今测得 p A =30 kN / m ,
2

p B =40 kN / m 2 , B 处断面平均流速 v B =1.5 m / s .。试判断水在管中的流动方向。


Δh

× A

解: 以过 A 的水平面为基准面,则 A、B 点单位重量断面平均总机械能为:

p ? v2 30 ?103 1.0 ?1.52 ? 0.4 ? H A ? zA ? A ? A A ? 0 ? ? ?? ? ? 4.89 (m) ? g 2g 1000 ? 9.807 2 ? 9.807 ? 0.2 ?
2 pB ? B vB 40 ?103 1.0 ?1.52 H B ? zB ? ? ? 1.5 ? ? ? 5.69 (m) ? g 2g 1000 ? 9.807 2 ? 9.807

4

∴水流从 B 点向 A 点流动。 答:水流从 B 点向 A 点流动。 4.8 利用皮托管原理,测量水管中的点速度 v 。如读值 ?h =60mm,求该点流速。



u

Δh



解:

u?

2 ? ?p

?

?

2 g ? ? Hg ? ? ? ?h

?

?3 ? 2? 9 . 8 0 ? 7 1? 2.6 ? 6 0 ? 1 0 (m/s 3. 85 )

答:该点流速 u ? 3.85 m/s。
2

4.9 水管直径 50mm,末端阀门关闭时,压力表读值为 21 kN / m 。阀门打开后读值降至

5.5 kN / m ,如不计水头损失,求通过的流量。

2

p 21?103 解: (1)水箱水位 H ? z ? ? 0? ? 2.14 (m) ?g 1000 ? 9.807
(2)阀门开启后,从水箱液面到仪表处列伯努利方程,可得: H ?

p v2 ? ? g 2g

∴v ?

? ? p ? 5.5 ?103 ? 2g ? H ? ? 2 ? 9.807 ? 2.14 ? ? ? ? 5.57 (m/s) ?g ? 1000 ? 9.807 ? ? ? ?

Q ? vA ? 5.57 ?

? ? 0.052
4

? 0.011 (m3/s)

答:通过的流量 Q ? 0.011 m3/s。

4.10 水在变直径竖管中流动,已知粗管直径 d1 =300mm,流速 v1 =6 m / s 。为使两断面的压 力表读值相同,试求细管直径(水头损失不计) 。

d1

3m

d2

解: 以过下压力表处的水平面为基准面,列伯努利方程如下:
2 p1 ?1v12 p2 ? 2v2 z1 ? ? ? z2 ? ? ? hw1?2 ? g 2g ? g 2g

∵ hw1?2 ? 0 , z1 ? 3 m, z2 ? 0 取 ?1 ? ? 2 ,当 p1 ? p2 时,有:
2 v2 ? 2gz1 ? v12 ? 2 ? 9.807 ? 3 ? 62 ? 94.842

v2 ? 9.74 (m/s)
由连续性方程 v2 A2 ? v1 A1 ∴ d2 ? d1

v1 6 ? 300 ? ? 235.5 (mm) v2 9.74

答:细管直径为 235.5 mm。 4.11 为了测量石油管道的流量,安装文丘里流量计,管道直径 d1 =200mm,流量计喉管直径

d 2 =100mm,石油密度 ? =850 kg / m 3 ,流量计流量系数 ? =0.95。现测得水银压差计读书
h p =150mm,问此时管中流量 Q 是多少。

d1

d2

hp

解:

? ? Hg ? Q ? ?K ? ? 1 ? ?? ? hp ? 油 ?

? d12

? 其中: ? ? 0.95 ; K ? 4 4 ? d1 ? ? ? ?1 ? d2 ?

? 2g

? ? 0.22
4

? 2 ? 9.807
4

? 0.2 ? ? ? ?1 ? 0.1 ?

? 0.0359

hp ? 0.15 (m)
? ? Hg ? Q ? ?K ? ? 1 ? ?? ? hp ? ? K ? 油 ? ? ? Hg ?水 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? hp ? 水 油 ?

1000 ? ? ? 0.95 ? 0.0359 ? ?13.6 ? ? 1? ? 0.15 850 ? ?
? 0.0511575 (m3/s) ? 51.2 (l/s)
答:此时管中流量 Q ? 51.2 l/s。

4.12 水箱中的水从一扩散短管流到大气中,直径 d1 =100mm,该处绝对压强 p1 =0.5 大气压, 直径 d 2 =150mm,试求水头 H ,水头损失忽略不计。

H

解: (1)以出水管轴线为基准面,列管径 d1 与 d2 处的伯努利方程,可得:
2 p1 ?1v12 p2 ? 2v2 ? ? ? ? g 2g ? g 2g

取 ?1 ? ?2 ? 1.0 , p2 ? 0 , p1 ? ?0.5 ?101.325 ? ?50.663 kPa ∵ v1 ? v2 ? ?
2 2

2 p1

?

?? d ?4 ? 2 ? 50.663 ?103 ? 101.325 ∴ v ?? 2 ? ? 1? ? d1 ? ? ? ? ? ? ?
2 2

? ? ? ? 101.325 ? ? v2 ? ? ? 0.15 ?4 ? ?? ? ? 1? ? ? 0.1 ? ?

1

2

? 4.994 (m/s)

(2)从液面到短管出口列能量(伯努利)方程。

H?

2 v2 4.9942 ? ? 1.27 (m) 2 g 2 ? 9.807

答:水头 H ? 1.27 m。 4.13 离心式通风机用集流器 A 从大气中吸入空气,直径 d =200mm 处接一根细玻璃管,已 知管中的水上升 H =150mm,求进气流量(空气的密度 ? =1.29 kg / m ) 。
3

d1

d2

A

d

H

解: 以集流器轴线的水平面为基准面, 从距进口一定距离的水平处列到测管处的伯努利方 程,可得:

pa pH ? v2 ? ? ? g ? g 2g
∴ v?

不计损失,取 ? ? 1.0

2 ? pa ? p H ?

?

其中 pa ? 0 ,则 pH ? ?H ? ?水 g ∴ v?

2 Hg ?水

?

? 2 ? 0.15 ? 9.807 ?

1000 ? 47.76 (m/s) 1.29

Q ? vA ? 47.76 ?

?
4

? 0.22 ? 1.5 (m3/s)

答:进气流量 Q ? 1.5 m3/s。 4.14 一吹风装置,进排风口都直通大气,风扇前、后断面直径 d1 = d 2 =1m ,排风口直径

d 3 =0.5m,已知排风口风速 v3 =40 m / s ,空气的密度 ? =1.29 kg / m 3 ,不计压强损失,试
求风扇前、后断面的压强 p1 和

p2 。

d2

解: 以过轴线的水平面为基准面,以 d2 及 d3 截面列伯努利方程:
2 p ? v2 p2 ? 2v2 ? ? 3 ? 3 3 ? g 2g ? g 2g

d32 其中 p3 ? 0 , v3 ? 40 (m/s) , ?2 ? ?3 ? 1.0 , v2 ? v3 ? 2 d2

?d ? ?1 ? ? 3 ? ∴ p2 ? ? v ? v ? ? 2 2 ? ? d2 ? ?

?

2 3

2 2

2 ? ? v3

4

? 1.29 ? ? 0.5 ?4 ? ?? ? 402 ? ?1 ? ? ? ? ? 967.5 (Pa) 2 1.0 ? ? ? ? ? ? ? ?

从大气到 d1 断面,列伯努利方程:

0?

pa p ? v2 ? 0? 1 ? 1 1 ?g ? g 2g

d32 其中 ?1 ? 1.0 , pa ? 0 (相对压强) , v1 ? v2 ? v3 ? 2 d2
1.29 ? 0.5 ? ∴ p1 ? ? v ? ? ? 402 ? ? ? ? ?64.5 (Pa) 2 2 ? 1.0 ?
2 1

?

4

答:风扇前、后断面的压强 p1 ? ?64.5 Pa, p 2 ? 967.5 Pa。 4.15 两端开口的等直径 U 形管,管内液柱长度为 L ,使液面离开平衡位置而造成液 柱振荡,水头损失忽略不计,求液柱的振荡方程 z =

f ?t ? 。

d3

d1

2 0 z 1 1

2 z 0

解: 取 0-0 断面为基准面,由非恒定流的伯努利方程:

z1 ?

p1 u12 p u 2 1 ?u ? ? z2 ? 2 ? 2 ? ? dl ? g 2g ? g 2 g g 0 ?t

L

∵ z1 ? ? z , z2 ? z , p1 ? p2 ? 0 , u1 ? u2 ∴ ?2 z ?

1 ?u L ?u dl ? ? g ?t 0 g ?t

L



?u ?2 gz ? ?t L

∵ u ? z, t ? ? u ?t ?

u ?t ? ?


dz dt

d 2z 2g ?? z 2 dt L

令 z ? c cos?t ,则 ? ?

2g L

z ? z0 cos

? 2g ? ? 2g t ? z0 sin ? ? L t? 2? ? L ? ? ? 2g ? ? 2g t ? z0 sin ? ? L t? 2? ?。 L ? ?

答:液柱的振荡方程 z ? z0 cos

4.16 水力采煤用水枪在高压下喷射强力水柱冲击煤层,喷嘴出口直径 d =30mm,出口水流 速度 v =54 m / s ,求水流对煤层的冲击力。

解: 取控制体如图,受力如图。

v2

v Pa Pa

F

v1

?Q ? v2 ? v ? ? ?F
∴ F ? ? Qv ? ?

?d2
4

? v2 ?

? ? 0.032
4

?1000 ? 542 ? 2.061 (kN)

水流对煤层的作用力与 F 构成作用力与反作用力,大小为 2.061 kN,方向向右。 答:水流对煤层的冲击力 F ? 2.061 kN,方向向右。 4.17 水由喷嘴射出,已知流量 Q =0.4 m / s ,主管直径 D =0.4 m / s ,喷口直径 d =0.1m, 水头损失不计,求水流作用在喷嘴上的力。
3

d

解: (1)取过轴线的水平面为基准面,列螺栓断面与出口断面的伯努利方程:
2 p1 ?1v12 ? 2v2 ? ? 0? ? g 2g 2g

D
2 ? ? v2

?d ? ?1 ? ? 1 ? ∴ p1 ? ? v ? v ? ? 2 2 ? ? d2 ? ?

?

4

2 2

2 1

? ? ? ?

?

1000 ? ? 50.932 ? 3.182 ? ? 1291.854 (kPa) 2

v1 ?

Q 0.4 ? 4 ? ? 3.18 (m/s) A1 ? ? 0.42
Q 0.4 ? 4 ? ? 50.93 (m/s) A2 ? ? 0.12

v2 ?

(2)取控制体如图所示,列动量方程。

p1 v1 F
?Q ? v2 ? v1 ? ? p1 A1 ? F
∴ F ? p1 A 1 ? ?Q ? v2 ? v1 ?

p2

v2

? 1291.854 ?

? ? 0.42
4

? 1? 0.4 ? ? 50.93 ? 3.18? ? 143.239 (kN)

答:水流作用在喷嘴上的力为 143.239 kN。 4.18 闸下出流, 平板闸门宽 b =2m, 闸前水深 h1 =4m, 闸后水深 h2 =0.5m, 出流量 Q =8 m / s , 不计摩擦阻力,试求水流对闸门的作用力,并与按静水压强分布规律计算的结果相比较。
3

h1

解: (1)由连续方程 Q ? h1 ? b ? v1 ? h2 ? b ? v2 ∴ v1 ?

Q 8 ? ? 1 (m/s) h1b 2 ? 4

v2 ?

Q 8 ? ? 8 (m/s) h2b 2 ? 0.5

(2)由动量方程,取控制体如图。

h2
P1 v1 F P2 v2
?Q ? v2 ? v1 ? ? p1 A1 ? p2 A2 ? F

∴F ?

h1 h ? g ? h1b ? 2 ? g ? h2b ? ? Q ? v2 ? v1 ? 2 2

? h2 h2 ? ? ? 1 ? 2 ? ? gb ? ?Q ? v2 ? v1 ? ? 2 2?
? 42 0.52 ? ? 1000 ? 9.807 ? 2 ? ? ? ? ? 1000 ? 8 ? ?8 ? 1? 2 ? ? 2
? 98.46 (kN) 1 1 2 F静 ? ? 4 ? 0.5? ? ? g ? b ? ?1000 ? 9.807 ? 3.52 ? 2 ? 120.14 (kN) 2 2
答:水流对闸门的作用力 F ? 98.46 kN,按静水压强分布规律计算的结果 F静 ? 120.14 kN。

4.19 矩形断面的平底渠道,其宽度 B 为 2.7m,渠底在某断面处抬高 0.5m,该断面上 游的水深为 2m,下游水面降低 0.15m,如忽略边壁和渠底阻力,试求: (1)渠道的 流量; (2)水流对底坎的冲力。

2.0m

解: (1)以上游渠底为基准面,列上、下游过水断面的能力方程:

z1 ?

p1 ?1v12 p ? v2 ? ? z2 ? 2 ? 2 2 ? g 2g ? g 2g

其中: p1 ? p2 ? pa ? 0 , z1 ? 2.0 m, z2 ? 2.0 ? 0.15 ? 1.85 m

v1 ?

Q Q Q Q , v2 ? ? ? A1 Bh1 A2 Bh2

h1 ? 2.0 m, h2 ? 2.0 ? 0.15 ? 0.5 ? 1.35 m

0.5m

0.15m

∴ v2 ? v1 ? Q ?
2 2 2

? 1 1 ? ? 2 2 ? ? ? z1 ? z2 ? ? 2 g 2 2 ? B h2 B h1 ?
? ? ? ? ? ?
1 2

? ? 2g ? z ? z ? 1 2 Q?? 1 1 ? ? 2 2 2 2 ? ? B h2 B h1

? ? 2 ? 2g ? z ? z ? ? 1 2 ? ? Bh2 ?? 2 ? 1 ? ? h2 ? ? ? ? ? ? ? h1 ? ? ?
1 2

1

? ? 2 ? 9.807 ? 0.15 ? ? ? 2.7 ?1.35 ? ? 2 ? 1 ? 1.35 ? ? 2 ? ? 3 ? 8.47 (m /s)

?

?

v1 ?

Q Q 8.47 ? ? ? 1.57 (m/s) A1 Bh1 2.7 ? 2 Q Q 8.47 ? ? ? 2.32 (m/s) A2 Bh2 2.7 ?1.35

v2 ?

(2)取控制体如图,列动量方程.

P1 v1 F
?Q ? v2 ? v1 ? ? p1 A1 ? p2 A2 ? F
∴ F ? p1 A 1 ? p2 A 2 ? ?Q ? v2 ? v1 ?

P2 v2

?

h12 h2 ? gB ? 2 ? gB ? ? Q ? v2 ? v1 ? 2 2

2 ? h2 ? h2 ? ? ? gB ? 1 ? ? ?Q ? v2 ? v1 ? 2 ? ?

? 22 ? 1.352 ? ? 1000 ? 9.807 ? 2.7 ? ? ? ? 1000 ? 8.47 ? ? 2.32 ? 1.57 ? 2 ? ?

? 22.48 (kN)
答: (1)渠道的流量 Q ? 8.47 m3/s; (2)水流对底坎的冲力 F ? 22.48 kN。

4.20 下列不可压缩流体、平面流动的速度场分别为: (1) u x = y ; u y = ?x (2) u x = x ? y ; u y = x ? y (3) u x = x 2 ? y 2 ? x ; u y = ?(2 xy ? y ) 试判断是否满足流函数? 和流速势 ? 的存在条件,并求? 、 ? 。 解: (1)∵

?ux ?u y ? ? 0 ,满足连续方程,流速数? 存在。 ?x ?y

又∵ ?z ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? 1? ? ?1 ,有旋,故 ? 不存在。 2 ? ?x ?y ? 2



?? ?? ? ?u y ? x ? ux ? y , ?x ?y d? ? ?? ?? dx ? dy ? xdx ? ydy ?x ?y
1 2 x ? y2 ? ? c ? 2

∴流速数 ? ?

(2)∵

?ux ?u y ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ,流动不存在。 ?x ?y ?ux ?u y ? ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ? 0 ,故流速数存在。 ?x ?y

(3)∵

又∵ ?z ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 ? ? ? ? ? ?2 y ? 2 y ? ? 0 ,有旋,故存在势函数 ? 。 2 ? ?x ?y ? 2

流函数? 与势函数 ? 满足:

? ?? ?? 2 2 ? ?x ? ?y ? ux ? x ? y ? x ? ? ? ?? ? ? ?? ? u ? ? ? 2 xy ? y ? y ? ?x ? ?y
解得: ? ? x, y ? ?

1 3 1 x ? xy 2 ? x 2 ? c ? y ? 3 2

?? dc ? ?2 xy ? ? ?2 xy ? y ?y dy
∴ c? y? ? ?

1 2 y ? c0 2

? ? x3 ? xy 2 ?
2 又可解得:? ? x y ?

1 3

x2 ? y 2 ? c0 2

?? dc? ? ?u y ? 2 xy ? y ? 2 xy ? y ? ?x dx dc? ? 0 , c? ? c1 ∴ dx 1 3 2 ∴? ? x y ? y ? xy ? c1 3
∵ 4.21 已知平面流动的速度为直线分布, 若 y0 =4m,u0 =80 m / s , 试求: (1) 流函数? ; (2 ) 流动是否为有势流动。

1 3 y ? xy ? c? ? x ? 3

y u0

y0

o
解: 已知 ux ? cy ,当 y ? y0 ? 4 m, u x ? 80 m/s。
-1 ∴ c ? 20 (s ) , ux ? 20 y

x

由连续性条件: ∴ uy ? 0

?u y ?ux ?u y ? ? 0 ,∴ ?0 ?x ?y ?y

d? ?

?? ?? dx ? dy ? ?u y dx ? u x dy ? 0dx ? 20 ydy ?x ?y

∴? ? 10 y 2 ? c ,当 y ? 0 时,? ? 0 。 ∴? ? 10 y 2 ∵ ?z ?

1 ? ?u y ?ux ? 1 -1 ? ? ? ? ? 0 ? 20? ? ?10 (s ) 2 ? ?x ?y ? 2

∴流动有旋。 答: (1)流函数? ? 10 y 2 ; (2)流动有旋。

4.22

已知平面无旋流动的速度为速度势 ? ?

2x ,试求流函数和速度场。 x ? y2
2

解: ∵

?? ?? ?? ?? ? ?? ; ?x ?y ?y ?x

2 2 2 2 ? x2 ? y 2 ? ?? 2 ? x ? y ? ? 4 x ∴ ? ?? 2 2 ?y ? x2 ? y 2 ? ? x2 ? y 2 ?

?? 4 xy ?? 2 ?x ? x2 ? y 2 ?

2 ? x2 ? y 2 ? ?? 4 xy ?? ?? ; uy ? ux ? ?? 2 2 ?y ?x ? x2 ? y 2 ? ? x2 ? y 2 ? 4 xydx ? 2 ? x 2 ? y 2 ? dy ?? ?? d? ? dx ? dy ? ? 2 ?x ?y ? x2 ? y 2 ? ??
∴? ?

?x

4 xy
2

? y2 ?

2

dx ?

2 ? x2 ? y 2 ?

?x

2

? y2 ?
2

2

dy

y ? const

?

?

?x

4 xy
2

? y2 ? ?

2

dx ? ?

x ?const

?

x 2 ? 2 xy ? y 2 ? x 2 ? 2 xy ? y 2

? x ? y? ? x ? y?
1
2 2

2

dy

?

2y x ? y2
2

y ? const

x ? const

? ? ? x ? y ? ? ? x ? y? ? ?

1

? ?dy ? ?

?

2y 2y ? 2 2 x ?y x ? y2
2

2 ? x2 ? y 2 ? ?? 4 xy ?? 答:流函数? ? 0 ;速度场 ux ? , uy ? 。 ?? ?? 2 2 2 2 2 ?y ?x ? x ? y2 ? ?x ? y ?
4.23 已知平面无旋流动的流函数? ? xy ? 2 x ? 3 y ? 10 ,试求速度势和速度场。

?0

解:

ux ?


?? ?? ? ?y ? 2 ? x ? 3, uy ? ? ?x ?y

?? 1 ? u x ? x ? 3 ,∴ ? ? x 2 ? 3x ? c ? y ? ?x 2

?? dc ?1 ? ? ? ? ? y ? 2 ? ,∴ c ? y ? ? ? ? y 2 ? 2 y ? ?y dy ?2 ?
∴ ? ? x, y ? ? 答: ? ?

1 2 1 1 x ? 3x ? y 2 ? 2 y ? ? x 2 ? y 2 ? ? 3x ? 2 y 2 2 2

1 2 x ? y 2 ? ? 3 x ? 2 y ; ux ? x ? 3 , u y ? ? y ? 2 。 ? 2

4.24

已知平面无旋流动的速度势 ? ? arctan ?

? y? ? ,试求速度场。 ?x?

?? ? 解: u x ? ?x

y x2 ? ? y 2 x2 ? y 2 ? y? 1? ? ? ?x? ?

1 ?? x x uy ? ? ? 2 2 ?y x ? y2 ? y? 1? ? ? ?x?
无穷远处有一速度为 u0 的均匀直线来流,坐标原点处有一强度为 ? q 的汇流,试求两 个流动叠加后的流函数,驻点位置以及流体流入和流过汇流的分界线方程。 解:无穷远均匀直线流的速度势为:在 x 方向的流速为 U 0 , y 方向为零。

4.25

?1 ? U 0 x ,? 1 ? U0 y
在原点的汇流为: ?2 ? ?

q q ln x 2 ? y 2 ,? 2 ? ? ? 2? 2?

q ln ? x 2 ? y 2 ? 4? q q y ? ? U0 y ? ? ? U0 y ? arctan 2? 2? x q y arctan ? 0 零流线方程: U 0 y ? 2? x
∴ ? ? ?1 ? ?2 ? U 0 x ?

驻点位置:

?? ?y

y ? 0, x ? xs

? ? 1 ? ? q x ? ? ? U0 ? ?0 2 ? 2? ? y? ? 1? ? ? ? ? ? x ? ? y ?0, x ? xs ?
xs q q ? 0 ? xs ? 2 2 2? xs ? y 2? U 0

U0 ?

∴过 ? xs ,0? 的流线方程为? ? 0 即 U0 y ?

q y arctan ? 0 2? x q y q arctan ,驻点位置 xs ? ,流体流入和流过汇流的分界线 2? x 2? U 0

答:流函数? ? U 0 y ? 方程 U 0 y ?

q y arctan ? 0 。 2? x

第六章部分习题答案


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