《二次根式》典型练习题


《二次根式》分类练习题
知识点一:二次根式的概念

【知识要点】
二次根式的定义: 形如 的式子叫二次根式,其中 叫被开方数,只有当 是一个非负数时, 才有意义.

【典型例题】

【例 1】下列各式 1)

1 1 , 2) ?5,3) ? x 2 ? 2, 4) 4,5) (? ) 2 , 6) 1 ? a , 7) a 2 ? 2a ? 1 , 5 3

其中是二次根式的是_________(填序号) .

举一反三:
1、下列各式中,一定是二次根式的是( A、 a B、 ?10
2



C、 a ? 1

D、

a

2

?1

2 2、在 a 、 a b 、 x ? 1 、 1 ? x 、 3 中是二次根式的个数有______个

【例 2】若式子 举一反三:
1、使代数式 A、x>3

1 有意义,则 x 的取值范围是 x?3

.[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

x?3 有意义的 x 的取值范围是( x?4
B、x≥3 C、 x>4

) D 、x≥3 且 x≠4

2、使代数式 ?

x

2

? 2 x ? 1 有意义的 x 的取值范围是
1 mn
有意义,那么,直角坐标系中点 P(m,n)的位置在( C、第三象限 D、第四象限 )

3、如果代数式 ? m ? A、第一象限

B、第二象限

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【例 3】若 y= x ? 5 + 5 ? x +2009,则 x+y=
解题思路:式 子 a (a≥0) ,?

?x ? 5 ? 0 , x ? 5 ,y=2009,则 x+y=2014 ?5 ? x ? 0

举一反三:
1、若 x ? 1 ? 1 ? x ? (x ? y ) ,则 x-y 的值为(
2



A.-1

B.1

C.2

D.3

2、若 x、y 都是实数,且 y= 2x ? 3 ? 3 ? 2x ? 4 ,求 xy 的值

3、当 a 取什么值时,代数式 2a ? 1 ? 1 取值最小,并求出这个最小值。

已知 a 是 5 整数部分,b 是

5 的小数部分,求 a ?

1 的值。 b?2


若 3 的整数部分是 a,小数部分是 b,则 3a ? b ? 若 17 的整数部分为 x,小数部分为 y,求

x2 ?

1 y 的值.

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知识点二:二次根式的性质

【知识要点】
1. 非负性: a (a ? 0) 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. ( a )2 ? aa ( ? 0 ). 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式: a? ( a )2( a? 0 ) 3.

a (a?0 ) ? a2 ? |a |?? ? a (a?0 ) ?

注意: (1)字母不一定是正数.

(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替. (3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.

a (a?0 ) ? 4. 公式 a2 ? 与( a )2 ? aa ( ? 0 )的区别与联系 |a |?? ? a ( a ? 0 ) ?
(1) a 2 表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2) ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3) a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的.

【典型例题】

a ? 2 ? b ? 3 ? ? c ? 4 ? ? 0, a ? b ? c ? 【例 4】若 则
2



举一反三:
1、若 m ? 3 ? (n ? 1) 2 ? 0 ,则 m ? n 的值为
2

。 )

2、已知 x, y 为实数,且 x ? 1 ? 3? y ? 2? ? 0 ,则 x ? y 的值为( A.3 B.– 3 C.1
2

D.– 1

3、已知直角三角形两边 x、y 的长满足|x -4|+

y 2 ? 5 y ? 6 =0,则第三边长为______.

4、若

a ? b ?1

?a ? b? 与 a ? 2b ? 4 互为相反数,则

2005

? _____________



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(公式 ( a ) 2 ? a(a ? 0) 的运用)

2 【例 5】 化简: a ?1 ? ( a ? 3) 的结果为(

) D、4

A、4—2a

B、0

C、2a—4

举一反三:
1、 在实数范围内分解因式:

x

2

?3=

; m ? 4m ? 4 =

4

2

x 4 ? 9 ? __________, x 2 ? 2 2 x ? 2 ? __________
2、 化简: 3 ? 3 1 ? 3

?

?

3、 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ,则斜边长为

?a (a ? 0) (公式 a 2 ? a ? ? 的应用) ?? a (a ? 0)

【例 6】已知 x ? 2 ,则化简 x 2 ? 4 x ? 4 的结果是
A、 x ? 2 B、 x ? 2 C、 ? x ? 2 D、 2 ? x

举一反三:
2 1、根式 ( ?3) 的值是(

) C.3 D.9

A.-3

B.3 或-3
2

2、已知 a<0,那么│ a -2a│可化简为( ) A.-a B.a C.-3a
2

D.3a )

3、若 2 ? a ? 3 ,则
A. 5 ? 2a

?2 ? a?

?

? a ? 3?

2

等于( D. 2a ? 1

B. 1 ? 2a

C. 2a ? 5

4、若 a-3<0,则化简 (A) -1 (B) 1

a 2 ? 6a ? 9 ? 4 ? a
(C) 2a-7

的结果是(



(D) 7-2a )

5、化简 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? (A) 2 (B) ?4 x ? 4

?

2 x ? 3 得(
(C)-2

?

2

(D) 4 x ? 4

a 2 ? 2a ? 1 a2 ? a 6、当 a<l 且 a≠0 时,化简 =



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1 1 4 ? (a ? ) 2 ? 4 ? (a ? ) 2 a a 7、已知 a ? 0 ,化简求值:

【例 7】如果表示 a,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a-b│+ (a ? b) 2 的结果
等于( ) B.2b C.-2a D.2a
b a o

a
?1

A.-2b

0

1

2

2 举一反三: 实数 a 在数轴上的位置如图所示: 化简:a ? 1 ? (a ? 2) ? ______ .

【例 8】化简 1 ? x ? x 2 ? 8 x ? 16 的结果是 2x-5,则 x 的取值范围是(
(A)x 为任意实数 (B) 1 ≤x≤4 (C) x≥1 (D)x≤1



举一反三:若代数式 (2 ? a ) 2 ? (a ? 4) 2 的值是常数 2 ,则 a 的取值范围是(
A. a ≥ 4 B. a ≤ 2 C. 2 ≤ a ≤ 4 D. a ? 2 或 a ? 4



【例 9】如果 a ? a 2 ? 2a ? 1 ? 1 ,那么 a 的取值范围是( A. a=0 举一反三: B. a=1 C. a=0 或 a=1 D.



a≤1

1、如果 a ? a ? 6a ? 9 ? 3 成立,那么实数 a 的取值范围是(
2



A.a ? 0B.a ? 3; C.a ? ?3; D.a ? 3
2、若 ( x ? 3) ? x ? 3 ? 0 ,则 x 的取值范围是(
2

) (D) x ? 3

(A) x ? 3

(B) x ? 3

(C) x ? 3

【例 10】化简二次根式 a ?
(A) ? a ? 2

a?2 的结果是 a2
(C) a ? 2 (D) ? a ? 2

(B) ? ? a ? 2

1、把二次根式 a ? A.

1 化简,正确的结果是( a
B. ? ?a

) C. ? a D.

?a

a

2、把根号外的因式移到根号内:当 b >0 时,

b x= x

; ( a ? 1)

1 = 1? a



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知识点三:最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】
1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 因式;?分母中不含根号. 2、同类二次根式(可合并根式) : 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可 以合并的两个根式。

【典型例题】
【例 11】在根式 1)
A.1) 2)

a 2 ? b 2 ; 2)

x ;3) x 2 ? xy ; 4) 27 abc ,最简二次根式是( ) 5
C.1) 3) D.1) 4)

B.3) 4)

解题思路:掌握最简二次根式的条件。

举一反三:
1 1、 45a , 30 , 2 , 40b 2 , 54 , 17(a 2 ? b 2 ) 中的最简二次根式是 2



2、下列根式中,不是 最简二次根式的是( .. A. 7 B. 3 C.
1 2

) D. 2

3、下列根式不是最简二次根式的是( ) A. a ? 1
2

B. 2 x ? 1

C.

2b 4

D. 0.1y

4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么?
2

(1) 3a b

3ab 2 (2)

(3)

x2 ? y2

(4) a ? b (a ? b)

(5) 5

(6)

8 xy

5、把下列各式化为最简二次根式:
2

(1) 12

(2) 45 a b

x2
(3)

y x

【例 12】下列根式中能与 3 是合并的是(
A. 8 B.

)

27

C.2 5

D.

1 2

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举一反三:
1、下列各组根式中,是可以合并的根式是( A、 3和 18 B、 3和 )
2

1 3

C、 a b和 ab

2

D、 a ? 1和 a ? 1

2 、 在 二 次 根 式 : ① 12 ; ② 是 。

23 ; ③

2 ;④ 3

27 中 , 能 与

3 合并的二次根式

3、如果最简二次根式 3a ? 8 与 17 ? 2a 能够合并为一个二次根式, 则 a=__________.

知识点四:二次根式计算——分母有理化

【知识要点】
1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘, 如果它们的积不含有二次根式, 就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用 a ? a ? a 来确定,如: a与 a , a ? b与 a ? b , a ? b 与 a ? b 等分 别互为有理化因式。 ② 两 项 二 次 根 式 : 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 。 如 a? b 与 a? b ,

a ? b与 a ? b ,

a x ? b y与a x ? b y 分别互为有理化因式。
3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】
【例 13】 把下列各式分母有理化
(1)

1 48

( 2)

?4 3 3 7

(3)

1 1 2 12

(4) ?

1 3 5 50

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【例 14】把下列各式分母有理化
(1)

2x 8 x3 y

(2)

2 a ?b

(3) x

8 x3

(4) ?

a2 b2

b5 a5

【例 15】把下列各式分母有理化:
(1)

2 2 ?1

(2)

5? 3 5? 3

(3)

3 3 3 2 ?2 3

举一反三:
1、已知 x ?

2? 3 2? 3 x? y 2 2 ,y? ,求下列各式的值: (1) (2) x ? 3xy ? y x ? y 2? 3 2? 3

2、把下列各式分母有理化: (1)

a ?b ?a ? b? a? b

(2)

a?2 ? a?2 a?2 ? a?2

(3)

b ? a 2 ? b2 b ? a 2 ? b2

小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类:
① ③ 与 与 ; ; ② ④ 与 与 第 8 页—总 12 页 ; .

知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】
1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。

ab = a 〃 b (a≥0,b≥0)
2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

a 〃 b = ab . (a≥0,b≥0)
3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

a a = (a≥0,b>0) b b
4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。

a a = (a≥0,b>0) b b
注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

【典型例题】
【例 16】化简
(1) 9 ? 16 (2) 16 ? 81 (3)

5 ? 2 15

(4) 9 x y ( x ? 0, y ? 0 )
2 2

(5)

1 × 6 ?2 3 2

【例 17】计算(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

【例 18】化简:
(1)

3 64

(2)

64b 2 9a 2 12 3

(a ? 0, b ? 0)

(3)

9x 64 y 2
(3)

( x ? 0, y ? 0)
1 1 ? 4 16

(4)

5x 169 y 2
64 8

( x ? 0, y ? 0)

【例 19】计算:(1)

(2)

3 1 ? 2 8

(4)

x ? x ? 2 【例 20】能使等式
A、 x ? 2

x x ? 2 成立的的 x 的取值范围是(
C、 0 ? x ? 2 D、无解



B、 x ? 0

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知识点六:二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方 数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次 根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.

【典型例题】
【例 20】计算(1) ? 32 ?
? ? ?5 4 3 ? 1 1 1 2 ? 20 ? ? 245 75 ? 2 0.5 ? 3 ; (2) ? 10 ? ? ? ? ? ?4 5 7 ?; 5 3 2 27 ? ? ? ?

(3) 32 ?

1 1 1 1 ? 75 ? 3 ?4 ; 8 5 3 2

(4) ?

1 3 2 ?1 ? ?3 ? 63 ? 27 ? ? ? 28 ? 48 ? 147 ? 2 3 2 4 7 ? ? ? ?

【例 21】 (1) 3 x ? y ?

4 x2 ? y 2 ? x? y 4x ? 4 y

(2)

a ?b a? b ? a ?b a? b

(3)

1 3 a a 27a 3 ? a 2 ? 3a ? 108a 3 a 3 4

(4) a

? a 1 1? ? 4b ? ? ? b ? ? 2 a b? ? ?

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(5) 81a3 ? 5a a ?

3 4a 5 a

(6) xy ?

x ? y

y ? x

y x ? ?2 x y

知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】
1 、确定运算顺序; 2 、灵活运用运算定律; 3 、正确使用乘法公式; 4 、大多数分母有理化要及时; 5 、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;

【典型习题】
1、

2 3 3 b ab5 ? (? a b) ? 3 b 2 a

2、

2 2

(2 12 +4

1 -3 48 ) 8

3、

1 3

x2 y 〃 (-4

y2 1 )÷ x 6

x2 y

4、 ( 72 ?

2 2? 3

)? 3 ?7 6

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知识点八:根式比较大小

【知识要点】
1、根式变形法 当 a ? 0, b ? 0 时,①如果 a ? b ,则 a ? b ;②如果 a ? b ,则 a ? b 。 2、平方法 当 a ? 0, b ? 0 时,①如果 a 2 ? b 2 ,则 a ? b ;②如果 a 2 ? b 2 ,则 a ? b 。

3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:① a ? b ? 0 ? a ? b ;② a ? b ? 0 ? a ? b
a ?1? a ? b a ?1? a ? b

8、求商比较法它运用如下性质:当 a>0,b>0 时,则:① b



②b

【典型例题】
【例 22】 比较 3 5 与 5 3 的大小。 (用两种方法解答)

【例 23】比较

2 1 与 的大小。 3 ?1 2 ?1

【例 24】比较 15 ? 14 与 14 ? 13 的大小。

【例 25】比较 7 ? 6 与 6 ? 5 的大小。

【例 26】比较 7 ? 3 与 87 ? 3 的大小
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