二次根式典型习题


二次根式 1、二次根式的概念:一般地,形如 a ( a ≥ 0) 的式子叫做二次根式。 注意:这里被开方数 a 可以是数,也可以是单项式,多项式,分式等代数式,其中 a ≥ 0 是 a 为二次根式的前提条件。 2、二次根式的性质:
2 2 (1) a ≥ 0(a ≥ 0) (2) ( a ) = a(a ≥ 0) (3) a = a (4) ab = a ? b (a ≥ 0, b ≥ 0)

a a = (a ≥ 0, b > 0) b (5) b

3、二次根式的乘法法则:两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变。 即 a ? b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) 。 4、二次根式的除法法则:两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变。
a a = ( a ≥ 0, b > 0) b 即 b 。 5、最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2)根号下不含分母,分母中不含根号。 6、分母有理化:把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。

分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式 ( a ) = a ( a ≥ 0) 。 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就称这两个代 数式互为有理化因式。 一般常见的互为有理化因式有如下几种类型:
2

① m a 与 a ;② a + b 与 a ? b ;③ a + b 与 a ? b ; ④ m a + n b 与 m a ? n b (其中 a , b 都是最简二次根式) 7、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次 根式就叫做同类二次根式。 8、二次根式的加减法 二次根式的加减,就是合并同类二次根式。 二次根式加减法运算的一般步骤: (1)将每一个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; (3)合并同类二次根式。 典型例题 1 若 a ? b +1 与

a + 2b + 4

互为相反数,则 ( a

? b)

2005

= _____________

2 已知 a, b 为实数,且 1 + a ? ( b ? 1) 1 ? b = 0 ,求 a 2005 ? b 2006 的值。 3 当 a 取什么值时,代数式 2a + 1 + 1 取值最小,并求出这个最小值。 4 已知 x 2 ? 3 x + 1 = 0 ,求 x 2 + 5 已知
x ? 2 y

1 ? 2 的值。 x2
=0,求(x+y)x 的值
1



3x + 2 y ? 8

6 已知 a 满足|2007-a|+ a ? 2008 = a, 求 a-2007 的值。
2

习题巩固 习题巩固 1.对于二次根式 x 2 + 9 ,以下说法中不正确的是( A. 它是一个非负数 值为 3 B. 它是一个无理数 ) C. 它是最简二次根式 ) D. 它的最小

2.若 3 的整数部分为 x ,小数部分为 y ,则 3 x ? y 的值是( A. 3 3 ? 3 3.能使等式 A. x ≠ 2 4.计算: A. 0 5. (
3 ?2

B. x = x?2

3

C. 1

D. 3 )

x 成立的 x 的取值范围是( x?2 C. x f 2 D. x ≥ 2 )

B. x ≥ 0

( 2a ? 1)

2

+

(1 ? 2a )

2

的值是(

B. 4a ? 2

C. 2 ? 4a

D. 2 ? 4a 或 4a ? 2

)

2000

(

3 + 2

)

2001

= ______________

6.实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则 3a- (3a ? 4b) 2 =______________. 7.3-2 5 的有理化因式是____________. 8.下面的推导中开始出错的步骤是(
Q 2 3 = 2 2 × 3 = 12 ?????? (1)
?2 3 =

a

o

b



( ?2 )

2

× 3 = 12 L ( 2 )

∴ 2 3 = ?2 3 LLLLLL ( 3) ∴ 2 = ?2LLLLLLLL ( 4 )

A. (1)

B.

( 2)

C.

( 3)

D.

( 4)
) 。 (D) a > b

1 ? a 2 ? 2ab + b 2 = ?1 9.如果 a ? b ,则 a和b 的关系是(

(A) a ≤ b 10.估计 32 ×

(B ) a < b

(C ) a ≥ b ) .

1 + 20 的运算结果应在( 2

A.6 到 7 之间 B.7 到 8 之间 C.8 到 9 之间 11.如图,数轴上点 P 表示的数可能是( )
A. 7 B. ? 7 C. ?3.2 D. ? 10

D.9 到 10 之间

2

P

?3 ?2? 1O 1

2 3

12.已知: 20n 是整数,则满足条件的最小正整数 n 为( A.2 B.3 C.4 D.5



13.观察下列各式: 14. 1 +

1 1 1 1 1 1 = 2 , 2 + = 3 , 3 + = 4 ,.... 请你将发现的规律用含自然数 n(n≥1)的等式表 3 3 4 4 5 5

示出来__________________________. 15.已知|1-x|- x 2 ? 8 x + 16 =2x-5,求 x 的取值范围.
x ? 3y + x2 ? 9 x +1 的值。 y +1

16.已知

( x + 3)

2

= 0,求

17.设 a, b, c 为 ?ABC 的三边,化简
( a + b + c ) 2 + ( a + b ? c ) 2 + ( a ? b ? c ) 2 ? (c ? a ? b ) 2

3


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