第2章 流体运动方程组


编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系 李国平教授

制作:地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平

第二章 流体运动方程组

§1.连续方程 §2.作用于流体上的力 §3.流体运动方程及其简化形式 §4.能量方程 §5.Naver-Stokes 方程的简单解 本章重点:流体的三大守恒定律,作用在流体上的力,Naver-Stokes 方程。

作为物体的形态之一,流体也遵循基本的物理规律:质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律, 其分别对应本章的连续方程、运动方程和能量方程。

§1.连续方程

1. 连续方程 设流体块体积 δτ =

δ x δ y δ z ,则质量 δ m = ρδτ 。
d (δ m ) = 0 dt d ( ρδτ ) = 0 dt
(2.1) (2.1?)


由于质量守恒,有:

展开:

d (δτ ) dρ =0 δτ + ρ dt dt
同除 δτ ,得:

(2.2)

d ρ ρ d (δτ ) + =0 dt δτ dt


(2.3)

1 d (δτ ) = ? ?V (体胀速度) δτ dt

∴(2.3)式可变为:

dρ + ρ? ?V = 0 ——连续方程(速度散度形式) dt
1

(2.4)

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d ρ ?ρ = +V ??ρ ,而V ??ρ + ρ? ?V = ? ? ρV ,则(2.4)式可改写为: dt ?t

( )

?ρ + ? ?( ρV )= 0 ——连续方程(质量散度形式) (2.5) ?t
其中 ? ?V 称为(速度)散度,表示单位体积的流体通量。而 ? ? 的流体质量通量。质量有净流入, ? ?

( ρV ) 称为质量散度,表示单位体积

?ρ 。 < 0 (密度减小) ?t

;质量有净流出, ? ? ( ρV ) > 0 → ( ρV )< 0 → ?ρ > 0 (密度增大) ?t

2. 有关流体密度的几种近似 1) 若

dρ t = 0 ,即 ρ(x,y,z, )= const ,称为不可压(缩)流体。 dt dρ ∵ = 0 → ? ?V = 0 ,∴不可压流体=(三维)无辐散流体。 dt dρ t 2)若 ,称为均质(均匀) = 0 ,且各处的 ρ (常数)也一样, ρ = const (不随 x,y,z, 而异) dt
不可压(缩)流体。

?ρ 。 = 0 ,则 ρ 与t 无关,称为(密度)定常流体(不同于定常流场) ?t ?ρ 4)若 ,并且 ?ρ = 0 (均匀流体) ,则为均质不可压流体。 = 0 (定常流体) ?t
3)若

§2.作用在流体上的力

1. 作用于流体上的力 作用在流体质点的力有两类:质量力和表面力。

1.1 质量力(体积力) :作用于所有流体质点上的力,如地球引力、电磁力。

1.2 表面力(面积力、应力) :流体之间或流体与其它物体之间的接触面上所受到的相互作用力,如流 体内部粘性应力,压力,流体与固体接触面上的摩擦力。

2. 粘性应力

2

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对粘性直线运动(一维流动) ,根据实验结果,得出牛顿粘性定律:

τ zx = ?

du dz

(2.6)

即:单位面积上的流体粘性应力与沿运动法线方向上每单位长度的速度变化(即形变率)成正比。 其中 ? 称为粘(滞)性系数或内摩擦系数,单位: kg ? m ? s ;而将 v =
?1 ?1

?

ρ 称为运动学粘性系数。

推广:对三维流动,有广义牛顿粘性假设

2 ? Ρ = 2 ?Α - ? p + ?? ?V 3 ?

? ? I (2.7) ?

?1 0 0? ? ? 其中 P 为粘性应力张量,A 为形变张量, I = 0 1 0 为单位张量。 ? ? ?0 0 1? ? ?

? 与流速(V )无关或满足(2.7)式的流体称作牛顿流体;反之,不满足(2.7)式的称为非牛
顿流体。 一般情况下,作用于流体上的应力为:

Ρn = -pn + τ n (压力+粘性应力) (2.8)
当不考虑流体的粘性时(称为理想流体) ,有:

Ρn = -pn

(2.9)

即 应力=负的压力,压力与作用面的法向 n 反向。

§3. 流体运动方程及其简化形式

1. Naver-Stokes 运动方程(纳维—斯托克斯方程,简称 N-S 方程) ,由牛顿第二运动定律: 对单位质量流体( m = 1 )

ma =

∑F
i

i

(2.10)

可以证明有:

dV 1 = F + ??Ρ dt ρ

(质量力+单位质量的表面力) (2.11)

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? Ρxx ? ? ? ? ?? , , ? ? Ρyx 其中 ? ? Ρ = ? ? ?x ?y ?z ? ? ? Ρzx

Ρxy Ρyy Ρzy

Ρxz ? ? Ρyz ? Ρzz ? ?

在(2.11)式中引入广义牛顿粘性假设,则有(设 ?

= const )

dV 1 1? ? ? div + ?2V = F - ?p + V ρ ρ dt 3 ρ

(

)

(2.12)

称为 N-S(Naver-Stokes)运动方程,适用于描述牛顿流体的运动。

2. N-S 方程的简化形式

2.1 不可压流体的 N-S 方程 对于不可压流体, ? ?V

= div = 0 ,则(2.12)式可简化为: V
(2.13)

dV 1 = F - ?p + v? 2V ρ dt
其中 F 为质量力, ?

1 ?p 为压力梯度力。 v? 2V 称作粘性(滞)摩擦力,取决于流体粘性和速度 ρ

的分布,其分量可正(称为拖曳力) 、可负(称为阻尼力) 。 可以证明, (2.13)式在直角坐标系中的分量形式为:

? ?u ?u ?u ?u 1 ?p 2 ? ?t + u ?x +v ?y + w ?z = Fx - ρ ?x + v? u ? ? ?v ?v ?v ?v 1 ?p +v +w + v?2v = Fy ? +u ?t ?x ?y ?z ρ ?y ? ? ?w ?w ?w ?w 1 ?p +u +v +w + v?2w = Fz ? ρ ?z ?x ?y ?z ? ?t

(2.14)

2.2 欧拉方程 对于理想流体, ? = 0 ,则流体的运动方程(2.12)式变为:

dV 1 = F - ?p ——欧拉(运动)方程 dt ρ

(2.15)

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此方程对可压缩和不可压缩的理想流体均适用(∵是用 ? = 0 简化的)

F 与-

1 dV 1 是因果关系(后者不能影响前者) - ?p 与 ; ?p (压力梯度力)性质的不同:F 与 ρ dt ρ

dV 是互为因果关系(互相影响) 。 dt
z
p+δp

o
p

y

ρgδz
x

z

p+δp

o x
图 2.1

p ρgδz

y

流体柱顶、底面的压力差与流体柱的重量

2.3 静力方程 若流体静止,V

=0,

dV = 0 ,则(2.12)式变为: dt
(2.16)

0= F-

1 ?p ρ 1 ?p ρ

如果作用于流体的质量力只有重力,则:

0 = -g k 即

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0 = -g -

1 ?p ρ ?z

(2.17)

?p = - ρ g ——静力方程 ?z
所以

(2.18)

δ p = - ρgδ z

(2.19)

物理意义:流体柱顶、底面的压力差=流体柱的重量(侧面上的压力相互抵消) ∴流体静止时 。 (t=0)的压力(称为静压力)可用流体柱的重量来表示。 若ρ=

ρ(z )(密度随高度分布不均匀) ,则由(2.19)式有:
p = -g ∫ ρ(z ) z + const. d
(2.20)

,则: 若 ρ = const (均匀不可压流体)

p = - ρ gz + const.
物理意义:静压力只与流体深度有关。

(2.21)

将体积为 τ 的物体浸入某液体(静止的流体)中,四周液体对物体表面 σ 的静压力矢为:

p=
p=

∫∫- pndσ (压力与受力面的法向 n 反向) (2.22) σ
∫∫∫- ?pdτ = ∫∫∫ ρ g kdτ = ρ g τ k τ
(2.23)

物理意义: (2.23)为阿基米德原理——阿基米德浮力=物体排开同体积的液体重量。

§4.能量方程

1. 热力学方程 设单位质量流体所受到质量力为 F ,热流入量(非绝热加热)为 Q,则热力学

d p δQ (C vT ) = - divV + E + (Q) ——热力学第一定律 (2.24) dt ρ δt

V 其中 E 为粘性摩擦效应(与?有关的项) CvT 为内能,则流体体积收缩( div 。
量流入(

< 0 )或有净热

dQ 。 > 0 )可使内能增加;反之,内能减少。但摩擦效应恒使内能增加(摩擦生热) dt

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2. 动能方程 由 N-S 方程

dV 1 = F + ??Ρ dt ρ

V 点乘(功率=力×速度)上式后得:

V ?
d ?V 2 ? dt ? 2

dV 1 = F ?V + ( ? ? P ) ?V dt ρ

(2.25)

? 1 1 V ? = F ?V + ? ? P - ( P ?? )V (2.26) ρ ρ ?

( )

代入广义牛顿粘性假设,上式可写为:

d ?V 2 ? 1 P V ? ? = F ?V + div PV + div - E (2.27) ρ ρ dt ? 2 ?

( )

对于理想( ?

=0) V 、不可压( div = 0 )流体,上式可简化为:

d ?V 2 ? dt ? 2
其中

? 1 ? = F ?V - div pV ρ ?

( )

(2.28)

? ? ( pu ) ? ( pv ) ? ( pw ) ? + + ? div pV = - ? ? = -V ??p - p ? ?V ?y ?z ? ? ?x

( )

(2.29)

则有理想不可压流体的动能方程:

d ?V 2 ? dt ? 2

? 1 ? = F ?V - V ? ?p (2.30) ρ ?

若质量力是有势力(保守力) ,且力的位势函数为Φ (例如重力,Φ =

gz ) ,即

F = - ?Φ
则(2.30)式变为:

(2.31)

d ?V 2 ? dt ? 2
如果Φ 定常(

? V ? = - ?Φ ? V - ??p ρ ?

(2.32)

?Φ dΦ ?Φ ,由于 +V ??Φ ,则: =0 ) = ?t dt ?t

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d ?V 2 ? dt ? 2


? dΦ V - ??p ?= dt ρ ?

(2.33)

? d ?V 2 V ? +Φ ? = - ??p (2.34) ρ dt ? 2 ?
对理想、不可压流体,机械能的变化由压力梯度力引起。若压力分布均匀( ?p = 0 ) ,则流 体的机械能守恒,即:

? d ?V 2 V2 +Φ ? = 0 或 +Φ = const ? dt ? 2 2 ?

(2.35)

3. 伯努利(Bernoulli)方程 在(2.34)式成立的基础上(理想 ? 定常或压力场定常(

= 0 、不可压 ? ?V = 0 、质量力定常

?p ,则(2.34)式可变为: =0) ?t
(2.36)

?Φ ,再设流场 =0 ) ?t

d ?V 2 p? ? +Φ + ? = 0 dt ? 2 ρ?


V2 p +Φ + = const ρ 2

(2.37)

物理意义:流点在运动过程中,沿迹线有:动能、质量力位能和压力能之和守恒。其中压力能的 定义为:单位质量流点反抗压力梯度力做功时,其压力由零增至 p 时所消耗的能量。 对于定常运动,迹线和流线重合,于是沿流线也有:

V2 p +Φ + = const (流线不同,常数不同) (2.38) 2 ρ
在重力场中,流体所受的主要质量力为重力。则重力位势Φ

= gz 。 (2.38)式变为:

V2 p + gz + = const 2 ρ

(2.39)

(2.38)(2.39)式称为伯努利方程。物理意义:理想、不可压流体作定常运动时,在一定的流 、 线上,流点的动能、重力位能与压力能之和即总机械能守恒。

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伯努利方程的应用:通常测流体的压力较容易、较准确,而测流速较难、不易测准。由此可根据 (2.39)式设计仪器,如 Pittot(皮托)管、Venturi(文托利)管,通过测压力(或高度)求出流 速。

图 2.2

皮托管

原理:A 点、B 点的流速分别为V A 、VB ,压力分别为 p A 、 p B ,又 A、B 两点放置的高度相同 ( zA =

zB ) ,根据(2.39)式有:

V B2 p B V A2 p A = + + 2 ρ 2 ρ

(2.40)

因为V A = 0 (可事先做专门设置,开口正对流体运动的方向) ,则:

V B2 1 = (p - p ) 2 ρ A B

(2.41)

∵压力差与测压计内液体(密度 ρ L 为已知)的高度差成正比,即 p A -

p B = ρL g ( hA - hB ) ,则:

VB =

2 ρL g ( hA - hB ) 2 (2.42) ( pA - pB ) = ρ ρ

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已知 ρ 、 ρ L ,测量出 ( hA - hB ) ,即可求出VB (比直接测VB 更容易、更精确) 。 作业 1:Cha.2-11,Cha.1-2

§5. Naver-Stokes 方程的简单解

1. Naver-Stokes 方程的可解性分析

v, 一般,流体力学运动方程组由三个运动方程和一个连续方程组成。四个方程,四个未知量( u, w,p )
(设 ρ

= const , ? = const ) ,方程组是闭合的,则方程组在给定的初始条件和边界条件下可解。但此方

程组是非线性方程 (平流加速项为典型的非线性项, V i?

(

, )V 、u ?u 皆为变量的二次方) 特殊情况下(即 ?x

略去非线性项或将非线性项简化为线性项) ,才能利用现有的数学工具求得方程组的准确解(解析解) ;而 其它情况下,只能近似求解(如数值解,应用:数值天气预报)或通过实验得出拟合解(应用:气候变化 问题的计算机模拟) 。

2. 求方程组时常用的边界条件 2.1 固(体)壁边界条件 流体不可能穿入固体壁→法向速度V n = 向速度V s = 0 。即要求流体满足条件:

0 ;同时,要满足无滑脱(黏附在固壁上)条件→切

V = 0 或V n = V s = 0

(2.43)

若固体壁以VT 速度移动,则满足拖带条件:

V = VT 或V n = V nT ,V s = V sT
2.2 自由面边界条件

(2.44)

自由面上两种流体既不混合也不脱离(两者法向速度一致) ,即

V n1 = V n2

(2.45)

另外,边界面上两侧的法向应力应连续(平衡) ,即

( Ρnn )1 = ( Ρnn )2
3. 平面库脱(Couette)流动

(2.46)

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假设流体满足条件: 1) v

= w = 0 ,u ≠0
?u =0 ?y

2) x-z 平面的运动,

3) 质量力只有重力, Fx = F y = 0 , Fz 4) 流体不可压→

= -g

?u ?v ?w ?w ?v ?u ?u + + ,则 = 0 (∵ = = 0 )→ =0 ) = 0 (∵ ?x ?x ?y ?z ?z ?y ?y

u = u ( z,t )
?u = 0 → u = u (z ) ?t du dv dw 6) 由 1) 、4) 、5)→ 。 = = = 0 (无加速运动) dt dt dt
5) 运动定常,

z

h o h
图 2.3 平面库脱流场

u x

则 N-S 方程可简化为:

? 1 ?p ? ? ? 2u ? + ? 2 ?= 0 ?? ρ ?x ρ ? ?z ? ? 1 ?p ? =0 ? ρ ?y ? ? 1 ?p -g=0 ? ρ ?z ? ?
垂直积分:

(2.47)

∫0 ( 2.47 ) dz →
3

z

p = - ρ gz + p1 ( x )

(2.48)
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?p dp1 = = f1 ( x ) ?x dx
由(2.47)的第 1 式可得:

(2.49)

?p ? 2u = ? 2 = f2 (z ) ?x ?z

(2.50)

∴比较(2.49)(2.50)两式,有: f1 ( x ) = f 2 ( z ) = const = 、 则在垂直方向上积分(2.50)式得:

?p (2.51) ?x

u=

1 ?p z 2 · + Az + B ? ?x 2

(2.52)

对于平面库脱运动:又设 x 方向的压力分布均匀(即 故有边界条件:

?p ,且下板静止,上板以匀速 U 移动, =0 ) ?x

? z = h, u = U = const ? ?z = -h, u = 0
将(2.53)代入(2.52)得 A =

(2.53)

U U ,B = 。则库脱流动的解析解: 2h 2
(2.54)

u=

U 2

? z? ?1 + ? ? h?

——流速沿 z 方向呈线性分布(上板拖曳情形下粘性摩擦力作用的结果)

z

o
图 2.4 平面库脱流动

x

4.

平面泊苏叶(Poiseuille)流动 其它条件同平面库脱流动,则同样有(2.52)式。但设压力落差

?p = const ≠ 0 以及上、下板均 ?x

静止,则边界条件为:

z = ±h, u = 0

(2.55)
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可得: A =

0,B = -

h 2 ?p 。则可得平面泊苏叶流动的解析解: 2 ? ?x
1 ?p 2 2 (h - z ) 2 ? ?x
(2.56)

u=-

——流速沿 z 方向呈抛物线分布(压力梯度力和粘性摩擦力共同作用的结果)

z

o

x

图 2.5

平面泊苏叶流动

讨论: 1) 最大流速: z=0 处,有最大流速 u max

=-

h 2 ?p (设 2 ? ?x

?p <0) ?x

故(2.56)式又可表示为:

u = u max ? 1?
2) 流量:

?

z2 ? ? (2.57) h2 ?

单位时间通过两平行板间、单位宽度( δ y

= 1 )垂直截面的流体的体积(流量)为:

Q=

∫-h

h

u d y dz =

∫-h

h

u dz = -

3 1 ?p h 2 2 ?p ( h - z ) dz = - 2h? ?x (2.58) ∫-h 2 ? ?x 3

或Q

=-

h 2 ?p 4 4 ?p h = hu max ——Q 与 , u max 的关系(2.59) 2 ? ?x 3 3 ?x

3) 平均流速: 定义通过(单位宽度, δ y

= 1 )垂直截面的平均速度为 u ,即:

u ? 2h ? 1 = Q (2.60)
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则有 u

=

Q h 2 ?p 2 ?p == u max —— u 和 , u max 的关系 (2.61) 2h 3 ? ?x 3 ?x
3 h) 3

问题:相应的 z=?( z = ± 4) 粘性系数 ? 的计算: 因为设

?p ?p ?p ,用 ,即: < 0 (> 0 ) x 方向、有限距离 L 上的压力降 p0 - p L 来代替?x ?x ?x ?p p0 - p L (2.62) = ?x L

将(2.62)式代入(2.58)式得:

Q=
∵ p0 -

2h 3 P0 - PL 3? L

(2.63)

p L ,Q,h 均可直接测得或容易算得,故可利用上式求(间接计算)粘性系数 ? (因

为 ? 不能直接测量) ,计算式为:

2h 3 ( p0 - p L ) ?= 3QL

(2.64)

作业 2:Cha.2-7,Cha.2-9

本章小结

请同学自己完成。

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