1.2流体流动的基本方程


1.2 流体流动基本方程

1.2.1、流量与流速

在管内同一 横截面上流 体的流速是 不同的

1、定义 体积流量qv:单位时间流过管路任一截面的流体体积。 质量流量qm:单位时间流过管路任一截面的流体质量。 流 速u: 体积流量除以管截面积所得之商。(平均流速) 质量流速G:质量流量除以管截面积所得之商。

2、表达式及单位 (1)体积流量: qv =V/ ? (2)质量流量: qm=m/ ? =qVρ (3)流 速: u= qv /A
(4)质量流速: G= qm /A= qv ? /A=u ?

(m3/s) (kg/s ) (m/s) (kg/㎡s)

3. 管路直径的初步确定
qv q qv ? ? v2 ? A 4d 0.785d 2

u?

d?

qV 0.785u

流量取决于生产需要,合理的流速应根据经济衡算确定。
一般液体流速为0.5~3m/s 气体流速为10~30m/s

1.2.2 稳定流动与不稳定流动

稳定流动:
同一位臵处与流体流动有关的物理量,如速度、压力、 密度 等不随时 间而变化。

不稳定流动:
同一位臵处与流体流动有关的物理量随时间而变化。

1.2.3 流体物料衡算—连续性方程
对于稳定过程: 系统输入速率=输出速率
1 2

1

2

若流体不可压缩, ? =常数,则有

u1 A1 ? u2 A2 ? qV ? 常数

以上称为一维稳定流动的连续性方程

? 2 ? 2 u1 ( d1 ) ? u2 ( d 2 ) 对于圆形管路,有: 4 4
流体在管内的流速与管径的平方成反比

u1 u2

?( )

d2 2 d1

1.2.4 流体总能量衡算
如图所示的稳定流动系统,单位时间内有质量为m千克的流体通过1-1截面 进入研究系统,也必有质量为m千克的流体从截面2-2流出。流体进出系统时 所输入、输出的能量形式包括

以质量为m千克的流体为基准
〈1〉内能mU 〈2〉位能mgz [mU]=kg×J/kg=J [mgz]=kg(m/s2) ×m=J

〈3〉动能mu2/2 [mu2/2 ]=kg(m/s)2= J

〈4〉压力能 pV

J

推力为:F ? p ? A

?N ? m

?2

? m2 ? ?N ?
kg ? [ ( kg / m3 )?m2 ] ? [m]

?

流体走过距离为:l ? V ? A
所以做功为:F ? l ?

m ?A

pA ? m mp ? ? pV ?A ?

?N ? m? ? [J ]

(5)热 mqe

[mqe]=kg×J/kg=J

规定流体吸热为正,放热为负。

〈6〉功 mhe

[mhe]=kg×J/kg=J

规定流体接受外功为正,向外界作功为负。

总能量衡算式的建立:
从1-1截面输入的能量+流体所获得能量 = 从2-2截面输出能量
2 u12 u2 mU1 ? mgz1 ? m. ? p1V1 ? mqe ? mhe ? mU 2 ? mgz2 ? m. ? p 2V2 2 2

上式除以m, 并令V/m=v(比容),则有稳定流动过程的总能量恒算式
2 u12 u2 U1 ? gz1 ? ? p1v1 ? qe ? he ? U 2 ? gz2 ? ? p2v2 2 2

?u 2 ?U+g?z ? ? ?? pv ? ? qe ? he 2

式中各项单位 J/kg

1.2.5 机械能衡算—柏努利方程

假设:〈1〉流体是不可压缩的
〈2〉无热交换,即qe=0

1 即 ?1 ? ? 2 ? ? ? ?

〈3〉流体温度不变,则U1=U2 〈4〉流体克服流动阻力消耗的机械能为hf(单位质量流体通过 衡算系统所损失的能量)。 则总能量衡算式为

u12 gz1 ? ? 2

p1

?

2 u2 ? he ? gz2 ? ? 2

p2

?

? hf

可得实际流体流动过程的机械能衡算式:
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

Δ(u 2 ) Δ p gΔ z ? ? ? he ? h f 2 ?

对于理想流体,且无外功加入,上式可转变为
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? gz 2 ? ? 2 ? 2 ?

称为柏努利方程( Bernoulli equation)

伯努利方程的讨论:
(1)实际流体流动过程的机械能衡算式(扩展的伯努利方 程)适用于等温、无热交换、不可压缩流体、稳定流动。
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

伯努利方程适用于等温、无热交换、无外功、不可压缩理 想流体、稳定流动。

2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? gz2 ? ? 2 ? 2 ?

u2 p 机械能E ? gz ? ? ? 常数 2 ?

(2) 输送设备所作功

Pe ? qm .he ? qV ?he

kg J J ?Pe ? ? ? ? ? W s kg s

(3) 对于无外功加入的静止流体,he=0, u=0, hf=0, 则有

p p z ? ?z ? ?g ?g
1 2 1 2

— 流体静力平衡的基本方程

(4)伯努利方程的其它形式
2 2 u1 p1 u2 p gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? 2 ? hf 2 ? 2 ?

单位: J/kg 表示单位质量流 体具有的能量。

单位: m(J/N) 表示单位重量流 体具有的能量。

2 2 u1 p1 u2 p2 z1 ? ? ? H e ? z2 ? ? ?H 2g ?g 2g ?g

f

单位: Pa (J/m3) 表示单位体积流 体具有的能量。
2 2 u1 u2 ?gz1 ? ? ? p1 ? ?he ? ?gz 2 ? ? ? p 2 ? ?h f 2 2

(5) 对可压缩流体,即:

p1 ? p 2 ? 20% p1

柏努利方程仍适用,但应采用平均密度
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

其中密度ρ取平均值

(6) 对非定态、非稳态流动体系的任一瞬间,柏努利方程仍成立

机械能衡算式的使用原则及注意问题
1、确定上、下游截面(一般命名为1-1面与2-2面)。 流体的截面应选择在含有较多已知量处,并能反映出所需求解的物理 量;截面应选择在流速分布均匀处,不能选择在喷头处(喷头处流体是 分散的、不连续的); 2、两截面之间流体必须是连续不间断的,截面应与流动方向垂直; 3、基准水平面可以任意选取,一般取基准水平面通过两截面中的某一截

面。若所选截面与基准水平面不呈平行,则 Z值可取为该截面中心点至
基准水平面的垂直距离。 4、注意使用一致的单位(特别是两截面上要统一压力和高度的单位, 要统一使用表压或绝对压力等)

应用Bernoulli方程式解题的步骤
1、 画出研究体系的流程示意简图,在图中选出上下游截面以确 定机械能衡算范围; 2、确定基准水平面并标注流体流动方向。 3、 将题给已知的及求解的物理量转化为直接表示流体性质的物理量。 如:A、qm、qv → u; A → d; 表压 →绝对压力, 有效功率Pe → qm、he或qv、ρ、he

4、 列出上下游截面处各已知物理量、未知物理量的数值,对两 截面之间的各参数进行确定。

5、 列出衡算系统的Bernoulli方程式。
6、 求解未知量。

例1:如图示水的虹吸,忽略阻力损失,求水的流速及各处压力。
解:〈1〉如图示选择1-1面、2-2面(出口内侧)
取2-2面为基准水平面。 ∵he=0, hf=0
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? gz2 ? ? 2 ? 2 ?

B

u1=0, p1=p2=1.013?105Pa, z1=0.7m, z2=0

将已知数据代入上式得:u2=3. 71m/s
2 总压头H ? z1 ? u1 2 g ? p1 ?g ? 11.03

0.4m

A

C

〈2〉求各截面上的压力 2 p A ?g ? H ? z A ? u A 2 g ? 9.63mH 2O

1

1
0.7m

p A ? 9.63?g ? 9.44 ? 104 pa 2 pB ?g ? H ? zB ? uB 2 g ? 9.13mH 2O

2-2

pB ? 9.13?g ? 8.95 ? 104 pa 2 pC ?g ? H ? zC ? uC 2 g ? 9.63mH 2O
pC ? 9.44 ? 104 pa

例2、已知如图示输水系统,输水量为15m3/h,管径53mm,总 机械能损失为40J/kg,泵的效率0.6,求泵的轴功率。
解:取池内水面为截面1-1,且作为基准面;输水管出口为截面2-2, 则有z1=0, z2=20m, p1=0, p2=500×103 Pa,u1=0
P2=500 kN/m2

15 3600 u2 ? ? 1.89m / s 2 (? 4)(0.053) h f ? 40 J / kg,? ? 0.6
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

20m

代入数值,得 he=738J/kg
P1=0(表压)

质量流量: qm=(15/3600)×(1000) =4.17kg/s 有效功率: Pe= qmhe=4.17×738 =3080J/s=3.08kw 泵的轴功率:
P ? Pe ? ? 3.08 0.6 ? 5.13kW

例3、在图示装置中,出水管管径为Φ 57mm× 3.5mm。当阀门全闭时,
压力表读数为30.4kPa,而阀门开启后,压力表读数降至20.3kPa,设总 压头损失为0.5m(水柱),求水的流量为若干m3/h?

解:取池内水面为截面1-1;出水管压力表处为截面 2-2,且作为基准面,则有z2=0,d2=0.05m (1)阀门全闭时 p1=0, p2=30.4×103 Pa,u1=0, u2=0,hf=he=0
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

代入数值,得 z1=3.10m (2)阀门开启时 p1=0, p2=20.3×103 Pa,u1=0, hf=Hfg=0.5×9.8 = 4.9 J/kg, he=0
2 u12 p1 u 2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

代入数值,得 u2=3.22m/s qv=(3.14/4) × 0.05 2 × 3.22 ×3600 = 22.75 m3/h

4、水由高位槽经管道从喷嘴流出,已知d1=125mm, d2=100mm,喷嘴d3=75mm,差压计读数为R=80mmHg, 若忽略阻力损失,求H和喷嘴入口处的PA[表压Pa]。


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第2节 流体流动的基本方程
流体机械原理(1-2基本方程)
1.3 流体流动的基本方程
4流体流动的控制方程
第四章_流体动力学基本方程
CFD-12-03-流动控制方程_数学特性
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