流体力学基本方程组总结


2008-10-18~2008-10-19

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流体力学基本方程组总结 流体力学基本方程组包括连续性方程、运动方程、组分质量守恒方程、能量方程、 本构方程、状态方程及通用形式守恒方程。虽各相关文献都有介绍这些基本方程组,但 多采用作者熟悉的方式表示,往往同一方程具有多种形式,而难于直观对比。以下内容 是对文献报道的各种形式的总结和对比,并分析了它们之间的转化关系,以期彻底理解 (切实掌握微分方程中每一项的物理意义)流体力学基本方程组的数学物理意义,为离 散计算该方程组打下基础。 1 连续性方程 根据文献[1]连续性方程可由四种方法得到, 分别为拉格朗日法下对有限体积和体积 元应用质量守恒定律、 在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接 应用质量守恒定律。 1.1 L 法有限体积分析 取体积为 τ ,质量为 m 的一定流体质点团,则有:
Dm D D Dρ D = ∫τ ρdτ = 0 Dt ∫τ ρdτ = ∫τ Dt dτ + ∫τ ρ Dt dτ = 0 Dt Dt 因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数,即: m = ∫ ρ dτ
τ

(1 )

divv =

1 D dτ dτ Dt

(2 ) (3 )

D ρ ρ ρ ρ ρ ρ = +u +v +w = + v ρ Dt t x y z t 代入式(1)得 Dρ D ρ ρ dτ + ∫ ρ dτ = ∫ (( + v ρ ) + ρ divv )dτ = ∫ ( + div(ρ v ))dτ = 0 τ τ τ t Dt Dt t 运用奥高定理

∫τ

(4 )

∫∫∫τ ( x + y + z )dτ = ∫∫ udydz + vdzdx + wdxdy
S

u

v

w

= ∫∫ (u cos α + v cos β + w cos γ )dS
S

(5 )

= ∫∫ v ndS = ∫∫ vn dS
S S



∫τ ( t + div(ρ v ))dτ = ∫τ t dτ + ∫
上式即是连续性方程的积分形式。

ρ

ρ

S

ρ vn dS = 0

(6 )

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假定被积函数连续,而且体积 τ 是任意选取的,由此可知被积函数必须等于零,即:
v Dρ Dρ + ρ divv = 0 +ρ i =0 Dt Dt xi

(7 )


ρ ρ ( ρ vi ) + div(ρ v ) = 0 + =0 t t xi

(8 )

在直角坐标系中连续性方程为: ρ ( ρ u ) ( ρ v) ( ρ w) + + + =0 t x y z 或 Dρ u v w = ρ ( + + ) Dt x y z (10) (9 )

连续性方程(10)表明,密度变化(随时间和位置)等于密度和体积变形的乘积[2]。
1.2 L 法体积元分析

考虑质量为 dm 的体积元 dτ ,对其用拉格朗日观点,根据质量守恒定律有:
D D dm = 0 ( ρ dτ ) = 0 Dt Dt D D D ( ρ dτ ) = ρ dτ + dτ ρ =0 Dt Dt Dt

(11) (12)

两边同除以 ρ dτ ,得
1 D 1 Dρ dτ + =0 dτ Dt ρ Dt

(13)

或写成
divv + 1 Dρ =0 ρ Dt

(14)

上式表明要维持质量守恒定律,相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率。
1.3 E 法有限体积分析

着眼坐标空间,取空间中以 S 面为界的有限体积 τ ,则称 S 面为控制面, τ 为控制 体。取外法线方向为法线的正方向, n 为外法线方向的单位矢量。考虑该体积内流体质 量的变化,该变化主要以下两方面原因引起。第一,通过表面 S 有流体流出或流入,单 位时间内流出流入变化的总和为:

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S

ρ vn dS = ∫ n ρ vdS
S

奥高公式

=

∫τ div(ρ v )dτ

(15)

第二,由于密度场的不定常性(注意,欧拉观点下空间点是固定的,密度的变化只由场 的不定常性刻画) ,单位时间内体积 τ 的质量将变化,变化量为:

τ

ρ dτ t ρ

(16)

上述两者应相等,即

∫τ div(ρ v )dτ = ∫τ t dτ
由于体积 τ 是任意的,且被积函数连续,则
ρ + div(ρ v ) = 0 t 1.4 E 法直角坐标系分析

(17)

(18)

单位时间内通过表面 EFGH 的通量为:

ρ udydz
通过表面 ABCD 的通量为:
( ρ u) ρ u + x dx dydz

其他三对表面类似,另外,该控制体内质量 的变化率为:
ρ dxdydz t

则 ρ ( ρ u ) ( ρ v) ( ρ w) + + + = 0 (19) t x y z 特殊情况下的连续性方程: ρ = 0 div( ρ v ) = 0 t Dρ (2) 不可压缩流体: = 0 divv = 0 Dt (1) 定常态: 2 动量方程 任取一体积为 τ 的流体,它的边界为 S 。根据动量定理,体积 τ 中流体动量的变化 率等于作用在该体积上的质量力和面力(应力)之和。单位面积上的面力 pn = n P ,其 中 P 是二阶对称应力张量,所以 pn 不是通常指的 p 在 n (单位体积面元的法线方向)方

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向的分量。单位质量上的质量力为 F 。则作用在该体积上的质量力和面力分别为

∫τ ρ Fdτ


(20)


动量变化率为

S

pn dS = ∫ n PdS
S

奥高公式

=

∫τ divPdτ

(21)

D D( ρ v ) D ∫τ ρ vdτ = ∫τ Dt dτ + ∫τ ρ v Dt dτ Dt 上述动量变化率的表达式可有两种处理方法[1],如下

(22)

(1)求解上式右边第二项内对体积元的随体导数,则

D( ρ v ) D dτ + ∫ ρ v dτ τ Dt Dt ( ρ v ) =∫ + v ( ρ v ) dτ + ∫ ( ρ v )divvdτ τ τ t

∫τ

( ρ v ) =∫ + v ( ρ v ) + ( ρ v ) v dτ τ t ( ρ v ) =∫ + div( ρ vv ) dτ τ t ( ρ v ) =∫ dτ + ∫ ρ vn vdS S τ t
(2)对动量变化率表达式右边第二项应用质量守恒定律 D D ∫τ ρ vdτ = Dt ∫τ vdm Dt Dv D =∫ dm + ∫ v dm τ Dt τ Dt Dv =∫ ρ dτ τ Dt 由上可得两种积分形式的动量方程,即 ( ρ v ) ∫τ t dτ + ∫S ρ vnvdS = ∫τ ρ Fdτ + ∫τ divPdτ 或
( ρ v ) + div( ρ vv ) dτ = ∫ ρ Fdτ + ∫ divPdτ τ τ t

(23)

(24)

(25)

∫τ
ρ

(26)

由上,动量方程的微分形式为:
pij Dv Dv ρ F divP = 0 ρ i ρ Fi =0 x j Dt Dt

(27)

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pij ( ρ vi ) (ρv ) + div( ρ vv ) ρ F divP = 0 + div( ρ vi v ) ρ Fi =0 t t x j

(28)

微分方程中各项的物理意义为, ρ

Dv 表示单位体积上惯性力, ρ F 为单位体积上的质 Dt

量力,divP 为单位体积上应力张量的散度,它是与面力等效的体力分布函数(由奥高公 式转化而来) 。 在直角坐标系下以应力表示的运动方程可采取下列形式 p u p p u u u + v + w = ρ Fx + xx + xy + xz ρ + u x y z x y z t v p yx p yy p yz v v v (1) ρ + u + v + w = ρ Fy + + + x y z x y z t w p p p w w w ρ +u +v + w = ρ Fz + zx + zy + zz x y z x y z t 或

(29)

( ρ u ) ( ρ uu ) ( ρ vu ) ( ρ wu ) pxx pxy pxz t + x + y + z = ρ Fx + x + y + z p p p ( ρ v) ( ρ uv) ( ρ vv) ( ρ wv) (2) + + + = ρ Fy + yx + yy + yz x y z x y z t ( ρ w) ( ρ uw) ( ρ vw) ( ρ ww) p p p + + + = ρ Fz + zx + zy + zz x y z x y z t
这两种表达方式的等号左边实际只差了一个连续性方程,由基本微分公式
div( a ) = diva + grad a

(30)

(31)


( ρ vi ) v ρ + div( ρ vi v ) = ρ i + vi + vi div( ρ v ) + ρ v gradvi t t t

(32)

由连续性方程知 vi 所以有
( ρ vi ) v + div( ρ vi v ) = ρ i + v gradvi t t
ρ ρ + vi div( ρ v ) = vi ( + div( ρ v )) = 0 t t

(33)

(34)

上述运动方程是以应力表示的粘性流体的运动方程,它们对任何粘性流体,任何运 动状态都是适用的。但它没有反映出不同属性的流体受力后的不同表现。另外,方程数 和未知量之数不等,运动方程有三个,加上连续性方程共四个,但未知量却有九个(六

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个应力张量分量(九个张量分量因对称关系减少为六个)和三个速度分量) ,所以该方 程组不封闭。为使该方程组可解,必须考虑应力张量和变形速度张量之间的关系(将应 力张量用速度分量表示出来) ,补足所需的方程[2]。 3 本构方程 本构方程是表征流体宏观性质的一种微分方程, 它是表达流体粘性定律的应力张量 和变形速度张量之间的关系。 最简单的应力与应变之间的关系是牛顿流体作一维运动,即牛顿剪切定律:

τ =

du dy

(35)

要得到普遍意义上的广义牛顿定律需作一定假设, 而首先应理解流体速度分解定理和变 形速度张量。文献[2]对速度分解定理虽作了较直观的描述和推导但不严格,而文献[1] 对该部分内叙述较详细。 3.1 速度分解定理 刚体运动包括平动和转动两部分,一般可表为 v = v0 + ω × r (36)

其中 v0 是刚体中选定一点 O 上的平动速度, 是刚体绕 O 点转动的瞬时角速度矢量, 就 ω r 是要确定速度那一点到 O 点的矢径。转动角速度可用 v 表示

ω = rotv

1 v = v0 + rotv × r 2

1 2

(37)

(38)

流体运动除平动、 转动外还有变形运动。 设微团内 M 0 点的速度为 v0 ,邻域内任一点 M 的速度为 v 。将 v 在 M 0 点 泰勒展开并略去二阶无穷小项,得

v = v0 +

v v v v dx + dy + dz vi = v0i + i dx j x y z x j

(39)

显然,

vi 是一个二阶张量(局部速度梯度张量) ,由张量分解定理可将该张量分解成对 x j

称张量 S 和反对称张量 A 之和,于是

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7

vi 1 vi v j 1 vi v j = + + = aij + sij = A + S x j 2 x j xi 2 x j xi

(40)

所以

vi = v0i +
上式右边第二、三项可具体表示为

vi dx j = v0i + aij dx j + sij dx j x j

(41)

aij dx j =

1 rotv × dr 2

(42)


sij dx j = S dr = gradφ

(43)

其中

φ = (ε1dx 2 + ε 2 dy 2 + ε 3dz 2 + θ1dydz + θ 2 dzdx + θ3dxdy )
另外

1 2

(44)

ε1 1 S = sij = θ3 2 1 θ2 2
所以

1 θ3 2

ε2
1 θ1 2

1 θ2 2 0 1 θ1 ; A = aij = ω3 2 ω 2 ε3

ω3 0

ω1

ω2 ω1 = ε ijk ωk
0

vi = v1 + v2 + v3 = v0i +

vi 1 dx j = v0 i + rotv × dr + gradφ x j 2

(45)

上式表明流体运动可分为平动、转动和变形三种形式组成, S 称为变形速度张量,该定
理称为亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。另外,流变学中常用应变速率张量 γ 来表

示流体的变形和拉伸(或压缩) ,而用转动张量 ij 表示转动,它们与流体力学中的变形 速度张量和转动张量的关系是:
1 sij = γij 2

γij =

vi x j + = 2 sij x j xi

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ij =

vi x j = 2aij x j xi

3.2 变形速度张量的物理意义 写出变形速度 v3 的表达式

ε1 u3 1 v3 = 2 θ3 w 3 1 θ2 2
经分析可得 u 1 D ε1 = x = dx Dt dx v 1 D = dy ; ε 2 = y dy Dt w 1 D dz = ε 3 = z dz Dt

1 θ3 2

ε2
1 θ1 2

1 θ2 2 dx 1 θ1 dy 2 dz ε3

(46)

Dγ yz w v + = = γ yz θ1 = y z Dt Dγ zx u w + = = γzx θ 2 = Dt z x Dγ xy v u = = γxy θ3 = + x y Dt

其中 γ yz , γ yz 及 γ yz 是角变形速率,亦称剪切应变速率( γxx 称拉伸应变速率) 。文献[2] 中定义的剪切速率的值是这里的一半,这是有问题的,因为剪切速率本身的值应以这里 为准,但变形速度张量内剪切变形的量值为该剪切速率的一半。 由上可知,变形速度张量的对角线分量 ε 1 , ε 2 , ε 3 的物理意义分别是 x, y, z 轴线上 线段元 dx, dy, dz 的相对拉伸速度或相对压缩速度。而非对角线分量 θ1 , θ 2 , θ3 的物理意义 分别是 y 与 z 轴、 z 与 x 轴、 x 与 y 轴之间夹角的剪切速率的负值。
3.3

广义牛顿定律及基本假设 (1)运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量。据此将应力

张量 P 写成各向同性部分 pI 和各向异性部分 P ' 是方便的。
P = pI + P ' pij = pδ ij + τ ij

(47)

P ' 是除去 pI 后得到的张量,称为偏应力张量。当运动消失时它趋于零。可见,偏应力

张量和应力张量一样也是对称张量。

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(2)偏应力张量的各分量 τ ij 是局部速度梯度张量

vi 各分量的线性齐次函数。当 x j

速度在空间均匀分布时,偏应力张量为零;当速度偏离均匀分布时,在粘性流体中产生 了偏应力,它力图使速度回复到均匀分布情形。 (3)流体是各向同性的,即流体性质不依赖于方向或坐标系的转换。 根据假设(2) ,有

τ ij = cijkl

vk = cijkl skl cijkl ε klmωm xl

(48)

显然 cijkl 是一四阶张量,它是表征流体粘性的常数,共 34 = 81 个。根据假设(3) cijkl 是 , 各向同性张量且对 i , j 对称,故 cijkl = λδ ijδ kl + (δ ik δ jl + δ ilδ jk ) (49)

观察上式可知, cijkl 对 kl 也是对称的,物性常数减少至只有 2 个即第二粘度 λ 和粘度 , 证明见下。将上式代入偏应力表达式(反对称项为零)得

τ ij = λδ ijδ kl skl + (δ ik δ jl + δ ilδ jk ) skl = λ skk δ ij + 2 sij
则应力张量为
pij = ( p + λ skk )δ ij + 2 sij

(50)

(51)

引进

' = λ + λ = '

2 pij = pδ ij + ( ' ) skk δ ij + 2 sij 3 1 = pδ ij + 2 ( sij skk δ ij ) + ' skk δ ij 3

2 3

2 3

(52)

(53)

根据上式
pxx = p + 2 ( p yy = p + 2 ( pzz = p + 2 (

u 1 divv) + 'divv x 3

(54a) (54b) (54c)

v 1 divv) + 'divv y 3

w 1 divv) + 'divv z 3

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将上三式等号两边相加,得
1 ( pxx + p yy + pzz ) = p + 'divv (55) 3 对可压缩流体,流体的体积在运动过程中发生膨胀或收缩,它将引起平均法应力(由奥

高公式可证某固定点处所有方向上法应力的平均值等于 x, y, z 三个方向上法应力的平均 值,这是一个不随坐标系改变的不变量)的值发生 'divv 的改变, ' 称为第二粘性系 数亦称膨胀粘性系数。应用斯托克斯假定,即 ' = 0 ,则本构方程为
1 ( pxx + p yy + pzz ) = p 3 1 pij = pδ ij + 2 ( sij skk δ ij ) 3 1 P = pI + 2 ( S Idivv) 3

(56) (57) (58)

一般处理的是不可压缩流体,则
1 ( pxx + p yy + pzz ) = p 3

(59) (60) (61)

pij = pδ ij + 2 sij P = pI + 2 S

τ ij = 2 sij
在直角坐标系下有
u pxx = σ xx = p + 2 sxx = p + 2 x p = σ = p + 2 s = p + 2 v yy yy yy y p = σ = p + 2 s = p + 2 w zz zz zz z p = p = σ = σ = τ = τ = u + v yx xy yx xy yx xy y x u w pxz = p zx = σ xz = σ zx = τ xz = τ zx = + z x v w pzy = p yz = σ yz = σ zy = τ zy = τ yz = + z y u τ xx = 2 x v τ yy = 2 y w τ zz = 2 z

(62)

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这里 pij = σ ij ,有的文献中将应力张量用 σ ij 表示。将上述应力张量与变形速度张量的关 系式代入运动方程,得
pij ( pδ ij + 2 sij ) ( ρ vi ) + div( ρ vi v ) = ρ Fi + = ρ Fi + t x j x j



( ρ vi ) + div( ρ vi v ) = ( pδ ij ) + (2 sij ) + ρ Fi t x j x j
写成直角坐标系下的形式

(63)

( ρ u ) ( ρ uu ) ( ρ vu ) ( ρ wu ) + + + t x y z p u u v u w = ρ Fx + 2 + + + + x x x y y x z z x ( ρ v) ( ρ uv) ( ρ vv) ( ρ wv) + + + t x y z = ρ F p + u + v + 2 v + v + w y y x y x y y z z y ( ρ w) + ( ρ uw) + ( ρ vw) + ( ρ ww) t x y z p u w v w w = ρ Fz + + + 2 + + z x z x y z y z z
变化,以第一式为例

(64)

在数值传热学中[3]或 CFD 计算[4]中常把上式等号右边表示分子粘性作用的三项做如下

u u v u w 2 + + + + x x y y x z z x = u u u u v w + + + + + x x y y z z x x y x z x

= div( gradu ) + sx
其中
sx = u v w + + x x y x z x

据此,有

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sy = sz = 及

u v w + + x y y y z y u v w + + x z y z z z

( ρu ) p + div( ρ uv ) = div( gradu ) + Su t x ( ρ v) p + div( ρ vv ) = div( gradv) + S v t y ( ρ w) p + div( ρ wv ) = div( gradw) + S w t z 其中广义源项定义为
Su = ρ Fx + sx , S v = ρ Fy + s y , S w = ρ Fz + sz

(65)

当流体粘度不变且不可压缩时(牛顿流体) ,有
sx = u v w + + x x y x z x

2u v 2 w2 = 2 + + x xy xz u v w = + + x x x y x z = (divv) x =0

所以运动方程简化为
u 1 p + div(uv ) = div(υ gradu ) + Fx t ρ x v 1 p + div(vv ) = div(υ gradv) + Fy t ρ y w 1 p + div( wv ) = div(υ gradw) + Fz t ρ z

(66)

其中 υ 是运动粘度,亦是动量扩散系数,单位 m 2 / s 。 本构方程和运动方程是紧密联系在一起的, 通过本构方程可将应力张量用变形速度 张量表示出来,即应力可用应变速率表示,而应变速率实际由速度分量决定,故使运动 方程和连续性方程原则上封闭可解。需要注意的是,这里讨论的本构方程仅局限于牛顿 流体,符合广义牛顿定律的流体称为牛顿流体,否则称为非牛顿流体。非牛顿流体的本

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构方程不能用广义牛顿定律描述,如对聚合物溶液等流体应该参考相关文献。 4 能量方程 由能量守恒知,体积 τ 内流体的动能和内能的变换率等于单位时间内质量力和表面 力所作的功加上单位时间内给予体积 τ 的热量。 体积 τ 内流体的动能和内能的总和为:

∫τ
距离 v ,点积求做功) :

ρ (U +

V2 )dτ 2

(67)

其中 U 是单位体积内的流体内能。质量力对体积 τ 内流体所作的功为(单位时间内移动

∫τ ρ F vdτ
表面力对体积 τ 内流体所作的功为(单位时间内移动距离 v ,点积求做功) :

(68)



S

pn vdS

(69)

单位时间内以热传导方式通过表面 S 传给体积 τ 的热量为:
T dS (70) n 上式被积函数实际就是傅里叶热传导定律,即热流密度矢量正比于传热面法向温度梯



S

k

度。单位时间内由于辐射或其他原因(反应、蒸发等)传入 τ 内的总热量为( q 为单位 时间内传入单位质量的热量分布函数) :

∫τ ρ qdτ
将上述各式进行守恒计算,得
D V2 T ∫τ ρ (U + 2 )dτ = ∫τ ρ F vdτ + ∫S pn vdS + ∫S k n dS + ∫τ ρ qdτ Dt

(71)

(72)

这是积分形式的能量守恒方程。 求解体积分的随体导数并运用奥高公式把面积分转化为 体积分可得微分形式的能量守恒方程,即
D V2 ρ (U + )dτ Dt ∫τ 2 2 D V = ∫τ (U + 2 )dm Dt D V2 V2 D =∫ (U + )dm + ∫ (U + ) dm τ Dt τ 2 2 Dt

因为质量守恒定律

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∫τ
所以

(U +

V2 D ) dm = 0 2 Dt

D V2 D V2 ρ (U + )dτ = ∫ ρ (U + )dτ τ Dt ∫τ 2 Dt 2 另外

(73)

∫ p vdS = ∫ n P vdS = ∫ n ( P e e = ∫ n ( P v δ e )dS = ∫ n ( P v e )dS = ∫ div( P v)dτ τ
i S n S i S ij i S ij k jk S ij j

j

vk e k )dS

(74)

T dS = ∫ kn gradTdS = ∫ div(kgradT )dτ S S τ n 则能量方程的微分形式为:



k

(75)

D V2 ρ (U + ) = ρ F v + div( Pv) + div(kgradT ) + ρ q Dt 2

(76)



ρ


( pij v j ) vv D T (U + i i ) = ρ Fi vi + + (k ) + ρq Dt 2 xi xi xi

(77)

ρ

1 + u + v + w U + (u 2 + v 2 + w2 ) x y z 2 t
( pxxu + pxy v + pxz w) + ( p yx u + p yy v + p yz w) + ( pzx u + pzy v + pzz w) x y z

= ρ (uFx + vFy + wFz ) + +

(78)

T T T k + k + k x x y y z z + ρq

上式各项的物理意义如下,左边第一、二项代表内能和动能的随体导数,右边第一项是 单位体积内的质量力做功,第二项是单位体积内面力所作的功,第三项是单位体积内热 传导输入的热量,最后一项表示由于辐射或其他物理或化学原因的热量贡献。能量守恒 方程的另一种形式为

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ρ

U U U U +u +v +w t x y z v u w v u v w u w + p yy + pzz + pxy + + p yz + + pzx + x y z z x x y y z T T T + k + k + k x x y y z z + ρq
(79)

= pxx

此式的物理意义为: 单位体积内由于流体变形面力所作的功加上热传导及辐射等其他原 因传入的热量恰好等于单位体积内的内能在单位时间内增加。将该式进一步简化,有 v u w v u v w u w + p yy + pzz + pxy + + p yz + + pzx + x y z z x x y y z u 2 v 2 w 2 v u 2 w v 2 u w 2 = pdivv + 2 + + + + + + + + x y z x y y z z x pxx 设
u 2 v 2 w 2 v u 2 w v 2 u w 2 φ = 2 + + + + + + + + x y z x y y z z x

(80)

φ 为由于粘性作用机械能转化为热能的部分, 称为耗散函数 dissipation function) 另外, ( 。
在考虑液体流体时,比焓 h 与内能值可看作相等,即 h = U + pV = U ,压力不作功。则
U U U U +u +v +w t x y z h h h h =ρ +u +v + w t x y z

ρ

h = ρ + v gradh t ( ρ h) = + div( ρ hv ) t

所以有
( ρ h) ( ρ uh) ( ρ vh) ( ρ wh) + + + = pdivv + φ + div(kgradT ) + S h t x y z

(81)

其中 S h = ρ q 是单位体积内热源或由于辐射或其他物理或化学原因的热量贡献。pdivv 一 般较小可以忽略。对液体及固体可以取 h = c pT ,进一步取 c p 为常数,并把耗散函数纳

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入到源项 ST = S h + φ ,于是

( ρT ) k S + div( ρ vT ) = div( gradT ) + T t cp cp
对不压缩流体

(82)

T k S + div(vT ) = div( gradT ) + T t ρcp ρcp
对于可以忽略粘性耗散作用的稳态低速流,能量方程可以简化为 div( ρ vh) = div(kgradT ) + S h 及

(83)

(84)

div( ρ vT ) = div(

S k gradT ) + h cp cp

(85)

取速度为零,则可得到稳态的热传导方程(对流项消失) : div(kgradT ) + S h = 0 5 状态方程 由连续性方程、运动方程、能量方程确定的未知量有 u , v, w, p, T , ρ 六个,但方程数 只有五个,为使方程组封闭需补充一个联系 p, ρ 的状态方程: (86)

ρ = f ( p, T )
6 组分质量守恒方程

(87)

在一个特定的系统中,可能存在质的交换,或者存在多种化学组分,每一种组分都 需要遵守组分质量守恒定律,即系统内某种化学组分对时间的变化率,等于通过系统界 面的净扩散流量与由反应产生的生成率之和,可表为[2, 5] ( ρ ml ) + div( ρ vml + J l ) = Sl (88) t ( ρ ml ) 其中 代表单位体积内组分 l 的质量变化率, ρ vml 是组分 l 的对流流量密度。 J l 代 t 表扩散流量密度,它由 Fick 定律给出。 Sl 是单位体积内组分 l 的生成率。费克定律:
J l = Dl gradml

(89)

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其中 Dl 为扩散系数。将扩散定律代入守恒方程,得
( ρ ml ) + div( ρ vml ) = div( Dl gradml ) + Sl t

(90)

7 控制方程的通用形式 前面在牛顿流体的基础上, 即在采用牛顿流体本构方程的基础上推导分析了运动方 程和能量守恒方程,获得了较全面的流体力学方程组,同时也采用了张量不变性记法、 张量分量记法及直角坐标记法三种不同方式来表示这些基本方程组, 可以说各方程之间 达到了初步的融合。下面给出这些方程的通用形式
( ρφ ) + div( ρ vφ ) = div(Γφ gradφ ) + Sφ t

(91)

式中 φ 为通用变量,代表 u , v, w, T 等求解量; Γφ 为广义扩散系数; Sφ 为广义源项。上式 从左至右依次为瞬态项、对流项、扩散项和源项。对于特定的方程,φ 、 Γφ 和 Sφ 具有特 定的形式,下表给出了这三个符号与各特定方程的对应关系。
表 1 通用控制方程中各符号的具体形式

φ
连续性方程 运动方程 1

Γφ
0


0

vi


k cp
Dl



p + Si xi

能量方程

T ml

ST cp
Sl

组分方程

对非牛顿流体上述运动方程(除应力表示的方程外)和能量方程(除应力表示的方 程外)不能采用这些形式,文献[6]有详细介绍。另外,对不可压缩流体流动,若热交换 量很小至可以忽略时,可以不考虑能量守恒方程。 8 对控制方程的说明
8.1 控制方程的守恒型与非守恒型

在推导动量方程时已讨论过守恒型方程(式 30)和非守恒型方程(式 29)之间转 化关系:只相差了一个连续性方程。现将守恒型方程列于表 2.从微元体的角度,控制方 程的守恒型和非守恒型是等价的,都是物理的守恒定律的数学表示。但数值计算是对有

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限大小的计算单元进行的, 对有限大小的计算体积, 两种形式的控制方程有不同的特性。 总的来说, 只有守恒型的控制方程才能保证对有限大小的控制容积内所研究的物理量的 守恒定律仍然得到满足。 讨论控制方程守恒型与非守恒型的目的在于:不论节点布置的疏密程度如何,根据 控制方程而导出的离散方程也具有对任意大小容积守恒的特性。从守恒型方程出发,采 用控制容积积分法导出的离散方程可以保证具有守恒型特性, 而从非守恒型方程出发得 到的离散方程则未必具有守恒特性。非守恒型方程的通用形式可以表示为:

ρ

φ φ φ φ +u +v + w = div(Γφ gradφ ) + S x y z t

(92)

三维、瞬态、 表 2 三维、瞬态、可压、牛顿流体的流动与传热问题的守恒型控制方程

方程
连续性方程

方程形式

x 动量方程
y 动量方程

( ρu ) p + div( ρ uv ) = div( gradu ) + Su t x ( ρ v) p + div( ρ vv ) = div( gradv) + S v t y ( ρ w) p + div( ρ wv ) = div( gradw) + S w t z

ρ + div(ρ v ) = 0 t

z 动量方程
能量方程 状态方程

( ρT ) k S + div( ρ vT ) = div( gradT ) + T t cp cp

ρ = f ( p, T )

8.2 待续

参考文献
1. 2. 3. 4. 5. 6.

吴望一, 流体力学(上册). 1982, 北京: 北京大学出版社. 戴干策 and 陈敏恒, 化工流体力学(第二版). 2005, 北京: 化学工业出版社. 陶文铨, 数值传热学(第二版). 2001, 西安: 西安交通大学出版社. 王福军, 计算流体动力学——CFD 软件原理与应用. 2004, 北京: 清华大学出版 社. 帕坦卡, S.V., 传热与流体流动的数值计算. 1980, 北京: 科学出版社. Versteeg, H.K. and W. Malalasekera, An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. 1995, New York: Wiley.


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第一章 流体力学基础4-连续性方程、流体运动方程与能量方程
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