第2章 流体运动的基本方程


流体运动的 第 2 章 流体运动的基本方程
流体运动极其复杂, 但也有其内在规律。 这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验 归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在 流体力学中有其独特的表达形式, 组成了制约流体运动的基本方程。 本章将根据上述基本定 律及流体的性质推导流体运动的基本方程,并给出不同的表达形式。

2.1 连续方程

2.1.1 微分形式的连续方程

质量守恒定律表明, 同一流体的质量在运动过程中保持不变。 下面从质量守恒定律出发 推导连续性方程。 在流体中任取由一定流体质点组成的物质体,其体积为 V ,质量为 M ,则

M = ∫ ρdV
V

根据质量守恒定律,下式在任一时刻都成立

dM d = ∫ ρdV = 0 dt dt V
应用物质体积分的随体导数公式(1-15b) ,则

(2-1)

d Dρ ?ρ v v ∫V ρdV = ∫V ( Dt + ρdivv )dV =∫V [ ?t + div( ρv )] dV =0 dt
因假定流体为连续介质,流体密度和速度均为空间和时间的连续函数,被积函数连续,且体 积 V 是任意选取的,故被积函数必须恒等于零,于是有

Dρ v + ρdivv = 0 Dt


(2-2a)

?ρ v + div( ρv ) = 0 ?t
上式亦可以写成如下形式

(2-3a)

?u Dρ +ρ i =0 Dt ?xi


(2-2b)

?ρ ?( ρu i ) + =0 ?t ?x i
1

(2-3b)

式(2-2)和式(2-3)称为微分形式的连续性方程。 在直角坐标系中,微分形式的连续性方程为

?ρ ?( ρu x ) ?( ρu y ) ?( ρu z ) + + + =0 ?t ?x ?y ?z

(2-4)

微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流, 它表达了任何可实现的流体运动所 必须满足的连续性条件。其物理意义是,流体在单位时间流经单位体积空间时,流出与流入 的质量差与其内部质量变化的代数和为零。 由式(2-2)可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为

Dρ =0 Dt
即密度应随质点运动保持不变。

(2-5)

?ρ = 0 只是指密度是恒定不变的,但流体质点密度还可以 ?t

在流动中随位置发生变化。只有满足式(2-5) ,质点密度才能保持不变。但不能排除各个质 点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵(图 2-1) ,含细颗粒泥沙的浑 水在水库的清水下面沿库底的的运动(图 2-2) ,都是具有不同密度的不可压缩流动。在这 种流动中,因密度不同形成不同的流层,常称为分层流动。

图 2-1 河口的海水入侵[1]

图 2-2 水库中的浑水异重流[1]

对不可压缩均质流体,则不但 连续性方程简化为

Dρ = 0 ,而是在全流场和全部时间内 ρ =常数,因此, Dt

2

?u x ?u y ?u z + + =0 ?x ?y ?z
以张量形式表示

(2-6a)

?u i =0 ?xi
以矢量表示

(2-6b)

v divv = 0

(2-6c) )

v 即速度 v 的散度为零。
或写为

v ??v = 0
对不可压缩流体二元流,连续性微分方程可写为

(2-6d)

?u x ?u y + =0 ?x ?y
微分形式的连续性方程也可通过下面的方法推导。

(2-7)

设想在流场中取一空间微分平行六面体(图 2-3) ,六面体的边长为 dx, dy , dz ,其形心 为 A(x,y,z),A 点的流速在各坐标轴的投影为 u x , u y , u z ,A 点的密度为 ρ 。

图 2-3 微分平行六面体

分 析 该 六 面 体 流 体 质 量 的 变 化 。 经 一 微 小 时 段 dt , 自 左 面 流 入 的 流 体 质 量 为

?ρ ?x ?ρ (ρ + ?x

(ρ ?

?u dx )(u x ? x 2 ?x ?u dx )(u x + x 2 ?x

dx )dydzdt ; 自 右 面 流 出 的 流 体 质 量 为 2 dx )dydzdt ,故 dt 时段内沿 x 方向流入与流出六面体的流体质量差 2
?u ? ( ρu x ) ?ρ + ρ x )dxdydzdt = ? dxdydzdt ?x ?x ?x



? (u x

同理,在 dt 时段内沿 y 和 z 方向流进与流出六面体的流体质量之差分别为

3

?

? ( ρu y ) ?y

dxdydzdt 和 ?

? ( ρu z ) dxdydzdt ?z

因此,在 dt 时段内流进与流出六面体总的流体质量的变化为

? ? ( ρu x ) ? ( ρu y ) ?u z ? ?? + + ? dxdydzdt ?y ?z ? ? ?x
因六面体内原来的平均密度为 ρ ,总质量为 ρdxdydz ;经 dt 时段后平均密度变为

ρ+

?ρ ?ρ dt ,总质量变为 ( ρ + dt )dxdydz ,故经过 dt 时段后六面体内质量总变化为 ?t ?t ?ρ ?ρ (ρ + dt )dxdydz ? ρdxdydz = dxdydzdt ?t ?t
在同一时段内, 流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起

的总的质量变化相等,即

? ? ( ρu x ) ? ( ρu y ) ? ( ρu z ) ? ?ρ dxdydzdt = ? ? + + ? dxdydzdt ?t ?x ?y ?z ? ?
两端除以 dxdydzdt 后即得式(2-4) 。

2.1.2 积分形式的连续方程

对式(2-1)应用物质体积分的随体导数公式(1-15a) ,则有



V

?ρ dV + ∫ ρu n dS = 0 S ?t

(2-8)

这就是积分形式的连续性方程。 对于圆管或明渠一维恒定流动,因

?ρ = 0 ,则式(2-8)简化为 ?t
(2-9)

∫ ρu dS = 0
S n

上式的物理意义是, 单位时间内流入和流出某一管段或某一明渠段的流体质量必相等。 这个 条件可简单地表示为

ρv1 A1 = ρv 2 A2


(2-10a)

v1 A1 = v 2 A2

(2-10b)

式中 A1 和 A2 为管段或明渠段的流入断面和流出断面的面积, v1 和 v 2 为上述两断面的平均 速度。式(2-10)即为水力学中经常用到的总流的连续性方程。该式说明,在不可压缩流体

4

总流中,任意两个过流断面所通过的流量相等。也就是说,上游断面流进多少流量,下游任 何断面也必然流出多少流量。

2.2 运动方程

连续性方程是控制流体运动的基本方程之一, 它只限于流体运动必须遵循的一个运动学 条件。因此,还须从动力学角度提出流动必须满足的条件,即运动方程(equation of motion) , 这样才组成求解流动的最基本方程组。

2.2.1 应力表示的运动方程 2.1
以图 1-9 所示的流体中的微小六面体作为隔离体进行分析。微小六面体的质量为

ρdxdydz 。作用在六面体上的表面力每面有三个:一个法向应力,两个切应力。设法向应
力沿外法线方向为正,设包含 A 点的三个面上的切应力为负向,则包含 H 点的三个面上的 切应力必为正向。 根据牛顿第二定律写出 x 方向的动力平衡方程式

ρXdxdydz ? p xx dydz + ( p xx +
+ ( τ yx

?p xx dx )dydz ? τ yx dxdz ?x ?τ yx ?τ du dy )dxdz ? τ zx dxdy + ( τ zx + zx dz)dxdy = ρdxdydz x + dt ?y ?z

化简后得 x 方向的方程。同理可得 y, z 方向的方程。则

du ? 1 ?p xx 1 ?τ yx ?τ zx ( )+ ( + )= x? ?z dt ? ρ ?x ρ ?y du y ? 1 ?p yy 1 ?τ xy ?τ zy ? Y+ ( )+ ( + )= ? ?z dt ? ρ ?y ρ ?x ?τ yz du ? 1 ?p 1 ?τ Z + ( zz ) + ( xz + )= z ? ?y dt ? ρ ?z ρ ?x ? X+

(2-11a)

上式就是以应力表示的粘性流体的运动微分方程式。这是流体运动方程最一般的表达形式。 写成张量形式

du i 1 ?pij = Fi + dt ρ ?x j
写成矢量形式

(2-11b)

v v dv ρ = ρF + divΡ dt

(2-11c)

5

式中, ρ

v v dv 表示单位体积上的惯性力; ρF 表示单位体积上的质量力;而 divΡ 则表示单位 dt

体积上的应力张量的散度。于是运动方程(2-11c)表明单位体积上的惯性力等于单位体积 上的质量力加上单位体积上应力张量的散度。 上述推导表明, 流体运动方程即是牛顿第二定律在流体运动中的应用。 因牛顿第二定律 就是动量定律,因此运动方程有时也称动量方程。 流体运动方程也可从动量定理直接导出,下面进行推导。 任取一体积为 V 的流体,它的边界为 S 。根据动量定理,体积 V 中流体动量的变化率

v
等于作用在该体积上的质量力和表面力之和。以 F 表示作用在单位质量上的质量力分布函 数,而 p n 为作用在单位面积上的表面力分布函数,则作用在 V 上和 S 上的总质量力和表面 力为

∫ ρF dV 及 ∫ p d S ,其次,体积 V 内的动量是 ∫ ρv dV 。于是动量定理可写成下列表
n V S V

v

v

达式

v d v ∫ ρv dV = V ρFdV + ∫ p n dS ∫ dt V S
对上式左端项,利用质量守恒定律,有下式成立

(2-12)

v v d d v dv dv v vd ∫ ρv dV = dt ∫Vv dm = ∫V dt dm + ∫V v dt dm =V ρ dt dV ∫ dt V
对上式右端第二项应用奥高定理,有下式成立

∫ p dS = ∫ n ? ΡdS = ∫ divΡdV
n S S V

其中 Ρ 是应力张量。于是式(2-12)变为

v v ? dv ? ?ρ ∫ ? dt ? ρF ? divΡ ?dV = 0 ? V
因 V 任意,且假定被积函数连续,因此被积函数恒为零,得

v v dv ρ = ρF + divΡ dt
上式也称为微分形式的动量方程,一般称为运动方程。

(2-11c)

2.2.2 纳维-斯托克斯方程 .2.2 纳维-斯托克斯方程

将不可压缩牛顿流体的本构方程式

pij = ? pδ ij + 2 ?ε ij ,

(i, j = 1,2,3)
6

(1-41a)

代入式(2-11b) ,并应用 ε ij 变形率张量

ε ij = (
则有

1 ?u i ?u j + ) 2 ?x j ?xi

(1-23)

du i 1 ?p ? ? ?u j ?u i = Fi ? + ( + ) dt ρ ?xi ρ ?x j ?xi ?x j ?u j
对于不可压缩流体,

(2-13)

?x j

= 0 ,则

? ?u j ? ?u j ( )= ( )=0 ?x j ?xi ?xi ?x j


? 2 ui ? 2 ui ? ?u i ( )= = = ? 2 ui 2 ?x j ?x j ?x j ?x j ?x j ?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2 其中, ? = + + + 2 + 2 = 为拉普拉斯(Laplace)算子。 2 ?x1 ?x 2 ?x3 ?x 2 ?y 2 ?z 2
2

将上式代入式(2-13) ,得

du i 1 ?p = Fi ? + ν? 2 u i ρ ?xi dt

(2-14a)

上式即是纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程,简称 N-S 方程。式中ν 为运动粘滞系数,

ν =? ρ。
或写成以下形式

v dv v 1 v = F ? ?p + ν? 2 v ρ dt v dv v 1 v = F ? gradp + ν? 2 v ρ dt

(2-14b)

(2-14c)

?u i ?u ? 2 ui 1 ?p + u j i = Fi ? +ν ?t ?x j ρ ?xi ?x 2 j
式中, ? = i

(2-14d)

? ? ? ? + j +k = ei 是哈密顿(Hamilton)算子, gradp 是压强梯度。 ?xi ?x ?y ?z

7

在直角坐标系下,上述方程表述为

du x 1 ?p ? =X? + ν? 2 u x ? dt ρ ?x ? du y ? 1 ?p =Y ? + ν? 2 u y ? dt ρ ?y ? ? du z 1 ?p =Z? + ν? 2 u z ? ρ ?z dt ?


(2-14e)

?u x ?u x ?u x ?u x ? 2u x ? 2u x ? 2u x ? 1 ?p + ux + uy + uz =X? +ν ( + + )? ρ ?x ?t ?x ?y ?z ?x 2 ?y 2 ?z 2 ? ?u y ?u y ?u y ?u y ? 2u y ? 2u y ? 2u y ? 1 ?p ? + ux + uy + uz =Y ? +ν ( + + )? (2-14f) 2 2 2 ρ ?y ?t ?x ?y ?z ?x ?y ?z ? 2 2 ?u z ?u ?u ?u ? u ? u z ? 2u z ? 1 ?p + ν ( 2z + + + ux z + u y z + uz z = Z ? )? ρ ?z ?t ?x ?y ?z ?x ?y 2 ?z 2 ? ?
上述 N-S 方程是不可压缩粘性流体的普遍方程。 N-S 方程中有四个未知数 p ,u x ,u y ,u z , 因 N-S 方程组和连续性方程共有四个方程式,所以从理论上讲是可求解的,但实际上由于 数学上的困难,N-S 方程尚不能求出普遍解。一般只能在简单的边界条件,并略去一些次要 因素,才能求得解析解。随着计算技术的发展,一些复杂的流体运动的数值求解日渐完善。 如果流体为理想流体,运动粘滞系数ν = 0 ,则 N-S 方程即成为理想流体的运动微分方 程,即 Euler 运动微分方程方程

du i 1 ?p = Fi ? dt ρ ?xi


(2-15a)

v dv v 1 = F ? ?p dt ρ

(2-15b)

如果流体为静止或相对静止流体,则 N-S 方程即成为流体的平衡微分方程,即 Euler 平 衡微分方程方程:

Fi ?


1 ?p =0 ρ ?xi

(2-16a)

v 1 F ? ?p = 0

ρ

(2-16b)

8

2.2.3 兰姆-葛罗米柯方程 2.3 兰姆-葛罗米柯方程
v dv 在运动方程式(2-15)中,将加速度 写成 dt v v dv ?v v v = + v ? ?v dt ?t
考虑到场论中基本运算公式

a2 v v v v ( a ? ? )a = grad ? a × rota 2
我们有

v v dv ?v V2 v v = + grad + rotv × v (2-17) dt ?t 2 v v 将惯性加速度写成上述形式的优点在于它将 v ? ?v 中的位势部分和涡旋部分分开, 这样做在
解决具体问题时常常是方便的。将式(2-17)代入式(2-15) ,得

v v ? ?v V2 v v? ρ ? + grad + rotv × v ? = ρF + divΡ ? ?t ? 2 ? ?
这就是所谓得兰姆-葛罗米柯( Lamb - Γpomeko )形式的运动方程。

(2-18)

2.3 动量方程

流体运动方程联同连续性方程原则上已可求解流动的流速分布和压强分布。 进而, 由流 速分布通过本构方程求得切应力分布。 通过积分即可求出某一作用面上流体合力, 这常常是 许多工程问题所需要寻求的。例如作用于水轮机叶片上的力,作用于火箭的合力,以及作用 于螺旋桨的推力等。但工程上往往只关心总的合力,并不关心其分布情况。若按上述方法, 工作量甚大,又非必需。而动量方程(动量的积分方程)则可以简单方便地解决这类问题。 下面从动量定理出发推导运动方程。 与推导流体运动方程(微分形式的动量方程)的方法相同,任取一体积为 V 的流体, 它的边界面为 S 。根据动量定理,体积 V 中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量

v
力和表面力之和。以 F 表示作用在单位质量上的质量力分布函数,而 p n 为作用在单位面积 上的表面力分布函数,则作用在 V 上和 S 上的总质量力和表面力为

∫ ρF dV 及 ∫ pn d S ,其
V S

v

v 次,体积 V 内的动量是 ∫ ρv dV 。于是动量定理可写成下列表达式
V

9

d ∫ ρ vdV = V ρ FdV + ∫ pn dS ∫ dt V S
对上式左边应用物质体积分的随体导数公式(1-16)得

(2-12)


V

? ρv dV + ∫ ρv n vdS = ∫ ρ F dV + ∫ p n dS ?t S V S

( )

(2-19a)

这就是积分形式的动量方程,一般称为动量方程(momentum equation)。式中, v n 是表面外 法线方向的速度分量。 把总质量力和表面力为 ρ F dV 及 p n d S 分别用




S

∑F

B



∑F

S

表示, 则上式表示为


V

? ρv dV + ∫ ρv n vdS = ∑ FB + ∑ FS ?t S

( )

V

(2-19b)

这就是动量方程的普遍形式。式中左端第一项表示体积 V 内流体动量随时间的变化率;第 二项表示穿越边界面 S 的动量流量。动量方程表明这两项矢量和等于作用于体积 V 的外力 的矢量和。 为了应用方便,常采用直角坐标系投影形式的动量方程:

? ( ρu x ) ? dV + ∫ ρu x v n dS = ∑ FBx + ∑ FSx ? ?t V S ? ? (ρu y ) ? ∫ ?t dV + ∫ ρu y vn dS = ∑ FBy + ∑ FSx ? V S ? ? ( ρu z ) ? ∫ ?t dV + ∫ ρu z vn dS = ∑ FBz + ∑ FSz ? V S ?



(2-19c)

对于恒定流动,动量方程左端第一项等于零,式(2-19b 可简化为

∫ ρv
S

n

vdS = ∑ FB + ∑ FS

(2-20a)

在直角坐标系下的投影式(2-19c)可简化为

∫ ρu v dS = ∑ F ∫ ρu v dS = ∑ F ∫ ρu v dS = ∑ F
x n S y n S z n S

Bx

By

Bz

? + ∑ FSx ? ? ? + ∑ FSy ? ? + ∑ FSz ? ? ?

(2-20b)

对于一元流动,因沿流动方向边界面的法向速度为零,故穿越边界面 S 的动量流量只 有, 动量变化只考虑进流和出流两过流断面。 若进流和出流两过流断面 1 和 2 的动量分别用 其断面平均流速 v1 和 v 2 表示,引入动量修正系数 β 1 和 β 2 ,其动量分别表示为 β 1 ρv1 Av1 和

v

10

β 2 ρv 2 Av 2 ,因此一元恒定流动量方程可写为

v

∑F + ∑F
B

S

=β 2 ρv 2 A2 v 2 ? β 1 ρv1 A1 v1

(2-21)

对于没有流量汇入与流出的一元恒定流动,考虑连续性方程 v 2 A2 = v1 A1 = Q ,并令作 用于总流段上所有外力的合力

∑ F =∑ F + ∑ F
B

S

,则上式写为

∑F

=ρQ( β 2 v 2 ? β 1 v 1 )

(2-22a)

这就是在水力学或流体力学中常用的一元恒定总流的动量方程矢量形式。它的投影形式为

? ∑ Fx =ρQ( β 2 v 2 x ? β 1 v1 x ) ? ?∑ Fy =ρQ( β 2 v 2 y ? β 1 v1 y ) ? F =ρQ( β v ? β v ) 2 2z 1 1z ?∑ z

(2-22b)

2.4 能量方程

原则上讲,联合求解运动方程和连续方程可以得到不可压缩流体的流场各点的流速和 压强,但当不可压缩流体需考虑温度或能量变化,则还需要另一个基本方程,即能量方程。

积分形式的能量方程 2.4.1 积分形式的能量方程

将能量守恒定律具体应用于流体运动即得流体运动的能量方程。 实际流体有粘性, 粘滞切应力作功而消耗机械能, 这些机械能是以转化为热能的方式而 耗损的, 所以能量守恒的关系对于实际流体来说应同时考虑机械能和热能在内。 在流场中任 取一控制体,其界面为 S ,体积为 V 。对于该流体,能量守恒定律可表达为:体积 V 内流 体总能量的变化率等于单位时间内由外界传入该流体的热量加上外力对该流体所作的功。 表 述如下

dE = QH + W dt

(2-23)

式中, E 为体积 V 内流体的总能量; Q H 为单位时间内由外界传入流体的热量; W 为同一 时段内外力对流体所作的功。具体分析如下: 1.流体具有的能量 E . 运动流体的能量包括内能、动能和势能三种形式。 内能是指分子运动的动能和分子间结合的能量, 它随温度而变化。 单位质量流体所含有 的内能用 e I 表示。
11

若质量为 ?M 的流体,其速度为 v ,则动能为

1 ?Mv 2 ,因此单位质量的动能为 2

ek =

v2 。 2

势能来源于保守力场。一般情况下,作用于流场的保守力是重力场,因而流体的势能取 决于位置的高度。设 z 为某一个基准面以上的高程,则单位质量的势能可表示为 e p = gz 。 则单位质量流体的能量可写为

e = eI +

v2 + gz 2

(2-25)

因此,体积为 V 、密度为 ρ 的流体所具有的能量 E 可写为

E = ∫ ρedV = ∫ [ ρ ( e I +
V V

v2 + gz ) ] dV 2

(2-26)

能量 E 随时间的变化率

DE ,根据体积分的随体导数公式(1-15a) ,可表示为 Dt ? DE D v v = ∫ ρedV = V ?t ( ρe )dV + ∫ ρev ? dS ∫ Dt Dt V S (2-27) 2 ? v v2 v v = ∫ [ ρ( eI + + gz )] dV + ∫ [ ρ ( e I + + gz )]v ? dS ?t 2 2 V S

2.单位时间内由外界传入流体的热量 Q H .单位时间内由外界传入流体的 传递热量的方式有传导、对流和辐射三种。对流传热是依靠流体的流动进行的,可以在 计算流体质量的流动中同时计及, 不必另行计算; 辐射热流动在一般流动的能量问题中可以 不予考虑;这里,我们主要考虑热传导传热。热传导的规律由 Fourier 定律表示:

q h = ? k h gradT

(2-28)

式中 q h 为单位时间内通过表面单位面积传入的热流通量; k h 为导热系数; T 为温度。它表 达了三维温度场中热量传递,负号表示热量从高温向低温传递。 对于体积为 V 的流体,单位时间内通过界面 S 传入的热量可表示为

v v QH = ? ∫ ( ? k h gradT ) ? dS = ∫ ( k h gradT ) ? dS
S S

(2-29)

3.流体对外界所作的功 W . 流体作功由作用于一部分流体表面的表面力和作用于流体质点的质量力通过位移和变 形来完成。如果所研究的流体中有转动部件,还应考虑转轴功。

12

(1)对于所研究流体,若微小表面积 dS 的移动速度为 v ,且把表面应力分为法向应力 σ n 和切向应力 τ T ,则表面力在单位时间对体积为 V 的流体所作的功为: 单位时间内作用于流体控制面上的法向力的功 Wσ

v

v v Wσ = ? ∫ σ n v ? dS
S

单位时间内作用于流体控制面上的切向力的功 Wτ

v v Wτ = ? ∫ τ T T ? v dS
S

其中 T 为与表面相切且与 τ T 同一指向的单位矢量。上两式中积分符号前均有一负号,是因 为它们所表示的是对控制体内的流体所作的功。 (2)质量力包括重力以及重力以外的质量力。重力作功作为势能已计入,因此这里不再考 虑。设 F 为重力以外的单位质量力,则单位时间内重力以外质量力对流体所作的功 WF

v

v r WF = ? ∫ ρF ? v dV
V

(3)如果所研究的流体中有转动部件,像水轮机或水泵的转轮,则通过转轮可以作功。对 于水轮机,是流体作功;对于水泵是对流体作功。这种功称为转轴功 WS 。 综合起来,单位时间功 W 可表示为

W=

v v v v dWS v v ? ∫ σ n v ? dS ? ∫ τ T T ? v dS ? ∫ ρF ? v dV dt S S V

(2-30)

将式(2-27) 、式(2-29)和式(2-30)代入式(2-23)得

r r ? v2 v2 [ ρ( eI + + gz )] dV + ∫ [ ρ ( e I + + gz )]v ? dS ∫ ?t 2 2 V S (2-31a) v dWS v v v v v v = ∫ ( k h gradT ) ? dS ? + ∫ σ n v ? dS + ∫ τ T T ? vdS + ∫ ρF ? v dV dt S S S V
这就是积分形式的的能量方程。 式中左端第一项为能量的就地增长率; 第二项为流体运动从 控制体净流出的能量通量。 式中右端第一项为传入控制体的热量通量; 第二项为流体作的转 轴功率; 第三项为控制面上法向应力对流体做的功率; 第四项为控制面上切向应力对流体做 的功率;最后一项为重力以外的其他质量力对流体做的功率。 对于不可压缩理想流体恒定元流,式(2-31a)可作简化为伯努利方程能量方程。推导 如下: 因为流动为恒定流,则有
13

? v2 [ ρ( eI + + gz )] dV = 0 ∫ ?t 2 V
质量力只有重力,因此最后一项为零

∫ ρF ? v dV = 0
V

v v

理想流体,粘滞性的作用可以忽略,此时, τ T = 0 ,同时表面应力各方向均等,成为 静水压强,即 σ n = ? p ,则

∫σ
S

n

v v v v v ? dS = ? ∫ pv ? dS ,
S

∫τ
S

T

v v T ? v dS = 0

因为流体无转轴功率,所以

dWS =0 dt
不考虑温度的变化,因此温度梯度为零,即

v ( k h gradT ) ? dS = 0 ∫
S

代入式(2-31a)并整理得

∫ [ ρ( eI +
S

r r v2 + gz + p )]v ? dS = 0 2

(2-32)

对一元流流动的两个过流断面 1 和 2 间的流体, 考虑到沿流动方向的边界面上的法向速度等 于零,并利用元流的连续性方程 ρv1 A1 = ρv 2 A2 ,而且当不考虑温度的变化时,过流断面 1 和 2 的内能相等,因此由式(2-32)得
2 2 p 1 v1 p 2 v2 z1 + + = z2 + + ρg 2 g ρg 2 g

(2-33)

这就是不可压缩理想流体恒定元流的伯努利方程能量方程。 对于所研究的流体中没有转动部件时, 转轴功为零。 重力作功可以作为势能包括在能量 项里,也可以作为重力功包括在功的项里。在式(2-31a)的推导过程中,是把重力作功作 为势能计入在能量项的,若把把重力作功计入到功的项里,则式(2-31a)可写为

? v2 v2 r r [ ρ( eI + )] dV + ∫ [ ρ ( e I + )]v ? dS ∫ ?t 2 2 V S v v v v v v v = ∫ ( k h gradT ) ? dS + ∫ σ n v ? dS + ∫ τ T T ? vdS + ∫ ρF ? v dV
S S S V

(2-31b)

v
这里需要注意的是,式(2-31b)中的单位质量力 F 包括重力以及重力以外的质量力。

14

若把法向应力 σ n 和切向应力 τ T 用应力张量 P 表示,设微元面积 dS ,其外法线单位矢 量为 n ,可计为 dS = n dS ,该微元面所受表面力为 dS ? P = n ? PdS ,整个表面 S 上所受 表面力为 dS ? P = n ? PdS 。因此上式可写为
S S

v

v

v

v

v



v



v

? v2 v2 r r [ ρ( eI + )] dV + ∫ [ ρ ( e I + )]v ? dS ∫ ?t 2 2 V S v v v v v = ∫ ( k h gradT ) ? dS + ∫ ( n ? P ) ? v dS + ∫ ρF ? v dV
S S V

(2-31c)

2.4.2 微分形式的能量方程

利用积分形式的能量方程式(20-31c)可推导出微分形式的能量方程。 利用高斯公式, a ? dS = a n dS = diva dV = ? ? a dV ,把式(2-31c)中的面积分
V S S V



v

v





v



v

转化为体积分,则

∫ [ ρ( eI +
S

v2 r r v2 v v2 r )]v ? dS = ∫ div( ρ ( e I + )v )dV = ∫ ? ? [ ρ ( e I + )v ]dV V 2 2 2 V
V V V

∫( k
S

h

gradT ) ? d S = ∫ div( k h gradT )dV = ∫ div( k h ?T )dV = ∫ ? ? ( k h ?T )dV

∫ ( n ? P ) ? v dS = ∫ div( P ? v )dV = ∫ ? ? ( P ? v )dV
V S V

v

v

v

v

代入式(2-31a)得

∫{
V

v v ? v2 v2 v v [ ρ ( eI + )] + ( v ? ? )[ ρ ( e I + )] }dV = ∫ [ ? ? ( k h ?T ) + ? ? ( P ? v ) + ρF ? v ] dV ?t 2 2 V

应用体积 V 的任意性,得到

v v 1 ? v2 v2 1 v v ( eI + ) + ( v ? ? )( e I + ) = F ? v + ? ? ( P ? v ) + ? ? ( k h ?T ) ?t 2 2 ρ ρ
或写为

(2-34a)

v v 1 D v2 1 v ( eI + ) = F ? v + ? ? ( P ? v ) + ? ? ( k h ?T ) Dt 2 ρ ρ
这就是微分形式的能量方程。 在直角坐标系中,式(2-34a)成为

(2-34b)

15

ρ(

? ? ? ? 1 2 + ux + uy + uz )[ e I + ( u x + u 2 + u z2 )] y ?t ?x ?y ?z 2 ? = ρ ( u x X + u y Y + u z Z ) + ( p xx u x + τ xy u y + τ xz u z ) ?x ? ? + ( τ yx u x + p yy u y + τ yz u z ) + ( τ zx u x + τ zy u y + p zz u z ) ?y ?z ? ?T ? ?T ? ?T + ( kh ) + ( kh ) + ( kh ) ?x ?x ?y ?y ?z ?z

(2-34c)

将式(2-34c)右端应力与速度乘积的导数项展开,经整理并项并利用式(2-11a) ,则式 (2-34a)简化为

ρ

?u y ?u y ?u x ?u y ?u De I ?u ?u = p xx x + p yy + p zz z + τ xy ( + ) ) + τ yz ( z + Dt ?x ?y ?z ?u x ?y ?u y ?z ?u ?u ? ?T ? ?T ? ?T + τ zx ( x + z ) + ( k h ) + ( kh ) + ( kh ) ?u z ?x ?x ?x ?y ?y ?z ?z
(2-34d)

对于大多数流体,有

eI = cV T
引入扩散系数(导温系数)

(2-35)

α=

kh ρc p

(2-36)

式中 cV 为定容比热; c p 为定压比热。对于液体,两种比热接近相等,设为 cV = c p = c , 并将式(2-34d)的各应力作功综合表示为 ?Φ , ? 为液体的动力粘滞系数,Φ 称为耗散函 数,则式(2-34d)可写为

DT ? = α? 2 T + Φ Dt ρc
当略去耗散项时,上式简化为

(2-37)

?T ?T ?T ?T ? 2T ? 2T ? 2T + ux + uy + uz = α( 2 + 2 + 2 ) ?t ?x ?y ?z ?x ?y ?z

(2-38)

2.5 基本方程组的封闭问题

连续方程(2-4)、N-S 运动方程(2-14)和能量方程(2-34)是一般流体运动微分形式的 基本方程组。当 F 、 ? 、ν 和 k h 已知时,独立的未知量有 v 的三个分量、 ρ 、 e I 、 T 和应
16

r

v

力张量 P 的 6 个独立分量共 12 个,而方程只有 5 个,因此方程组是不封闭的。 对于牛顿流体,由牛顿流体的本构方程,可以去掉应力张量中的 6 个变量,但又引入了 一个变量 p ,因此方程组中还有 7 个变量,还应补充 2 个方程才能封闭。这两个方程可以 从热力学中找到。 对于不可压缩流体, ρ 为常数,则有连续性方程和运动方程即可求解 v 和 p ,然后再 由能量方程求温度场。

v

17


相关文档

更多相关文档

第二章 流体运动的基本方程
第2章 流体运动方程组
第3章 流体运动的基本概念和方程
1 流体运动的基本概念和基本方程
2.流体流动的基本方程-1
1.2流体流动的基本方程
第三章 流体运动的基本概念和方程
1。2流体流动的基本方程式
高等流体力学 第2章 流体运动的基本方程组
流体运动的基本概念及方程
2-流体运动基本方程
第三章 流体运动的基本方程
2 流体运动的控制方程
3 02 流体运动的基本方程(下:基本方程组及其求解问题)
流体力学基本方程组总结
电脑版
document.getElementsByTagName("script")[0]; s.parentNode.insertBefore(bp, s); })();