二次根式的典型习题


知识梳理: 一、 知识梳理: 第 3 章 二次根式:3.1 二次根式 3.2 二次根式的乘除 3.3 二次根式的加减 重要知识点: 重要知识点: 1、二次根式的定义:式子 a ( a ≥ 0 )叫做二次根式, a 叫做被开方数 2、最简二次根式:必须同时满足下列条件: 最简二次根式: (1) 、被开方数不含开方开的尽的因数或者因式 (2) 、被开方数不含分母 (3) 、分母中不含根式 3、同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个 二次根式就是同类二次根式。 4、二次根式的性质:性质 1: ( a ) 2 = a (a ≥ 0) 二次根式的性质:

?a(a > 0) ? 性质 2: a 2 = a = ?0(a = 0) ? ?? a(a < 0)
性质 3: ab = a b (a ≥ 0, b ≥ 0)
a a = (a ≥ 0, b ≥ 0) b b

性质 4:

5、二次根式的运算: (1) 、二次根式的乘除运算: (1) a ? b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) 、
a a = (a ≥ 0, b > 0) b b

(2) 、

(2) 、二次根式的加减运算:先把二次根式化简为同类二次根式,然后合并同 类二次根式。 (注意:在进行二次根式的混合运算时,我们以前学过的整式运算的运算律和乘 法公式仍然适用。 ) 6、分母有理化: (1) 、分母是单项式: a a? b ab = = b b b? b

(2) 、分母是多项式:
1 a? b = = a+ b ( a ? b )( a + b ) a+ b a ?b

二、

例题讲解:

1、求下列二次根式字母的取值范围:

(1) x + 5 ? 、

1 3? x

(2) 、

3? x ( x ? 5) 2

2、化简: (1) 75x y 、
3 2

(2) ( ) + ( ) 、
2

2 3

4 3

2

3、计算: (1) 、

3 1 1.2 × 10 2 × (? 3 × 105 ) 2 3

(2) ? 48 + 、

? ?

1 ? 12 ? ÷ 27 4 ?

4、二次根式的分母有理化 (1) 、已知: x =

2 2 ,求 x ? x + 1 的值。 3 ?1

(2)、已知: x =

3? 2 3+ 2 ,y= ,求代数式 3 x 2 ? 5 xy + 3 y 2 的值。 3+ 2 3? 2

5、典型习题: (1) 、利用分母有理化计算:

1 1 1 1 + + + ...... + 1+ 2 2+ 3 3+ 4 99 + 100

(2) 、已知: 15 + x ? 19 + x = ?2 ,试求: 19 + x + 15 + x 的值。

(3) 、已知: a + b
2

2

( ? 4a ? 2b + 5 = 0 ,求:

a? b

)

2

+ 4 ab

a + ab

的值。

(4) 、解方程: x +

1 y ?1 + z ? 2 = ( x + y + z) 2


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