江西省南昌一中、南昌十中2013届高三第一次联考数学文


江西南昌一中、南昌十中 2013 届高三年级第一次联考

数学(文)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x x 2 ? 1} , B ? {x log 2 x ? 0} ,则 A ? B ? A. {x x ? ?1} B. {x ? 0} C. {x x ? 1} D. {x x ? ?1或x ? 1}

2.设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则有 A. a ?
1 2

B. a ?

1 2

C. a ≥

1 2

D. a ≤

1 2

3.下列各组函数是同一函数的是 ① f ( x) ?
g ( x) ?

?2 x
1 x
0

3

与 g ( x) ? x ?2 x ; ② f ( x) ? x 与 g ( x) ?
2 2

x

2

; ③ f ( x) ? x 与
0

;④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? t ? 2t ? 1 。 B.①③ C.②④ D.①④

A.①②

4. 条件 p :| x |? x ,条件 q : x 2 ? ? x ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是 ... A. f (? x) ? f ( x) ? 0 C. f ( x)?f ( ? x) ≤ 0 B. f (? x) ? f ( x) ? ?2 f ( x) D.
f ( x) f (? x)

? ?1

6.如果函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, 4? 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是
2

A. a ? ?3
? 1 3

B. a ? ?3
1 3
1

C. a ? 5

D. a ? 5

7.若 a ? log2 0.9 ,b ? 3 ,c ? ( )2 , A. a ? b ? c C. c ? b ? a B. a ? c ? b D. b ? c ? a

8.已知 a ? b, 函数 f ( x) ? ( x ? a )( x ? b) 的 图象如右图所示,则函数 g ( x) ? log a ? x ? b ? 的图象可能为

9. 设 n ? ? ?1, ,1, 2, 3? ,则使得 f ? x ? ? x 为奇函数,且在 ? 0, ?? ? 上单调递减的 n 的个数为
n

? ?

1

? ?

2

A.1

B.2

C.3

D.4
x

10. 函数 y ? f ? x ? 是 R 上的奇函数, 满足 f ?3 ? x ? ? f ?3 ? x ? ,当 x ∈(0,3)时 f ? x ? ? 2 则当 x ∈( ? 6 , ? 3 )时, f ? x ? 等于 A. 2
x?6



B. ? 2

x ?6

C. 2

x ?6

D. ? 2

x?6

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题纸的相应横线上。
( x ≤ ?1) ?x ? 2 ? 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? 11.设 f ( x) ? ? x ? 2x ( x ≥ 2) ?

.

12.已知 a ? 为 .

5 ?1 2

x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m, n 满足 f ? m ? ? f ? n ? ,则 m, n 的大小关系

2 13. 已知命题 p:“对任意的 x ? ?1, 2? , x ? a ? 0 ”, 命题 q:“存在 x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”若命题

2

“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是___________. 14. 函数 y ? log 1 (? x ? 6 x ? 5) 的单调递减区间是_______________
2 2

.

15.已知定义在 R 上的偶函数 y ? f ? x ? 满足: f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ? f ? 2 ? ,且当 x ? ? 0, 2? 时,
y ? f ? x ? 单调递减,给出以下四个命题:

① f ? 2? ? 0 ;

② x ? ?4 为函数 y ? f ? x ? 图象的一条对称轴; ③函数 y ? f ? x ? 在[8,10]单调递增; ④若关于 x 的方程 f ? x ? ? m 在[一 6,一 2]上的两根为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8 。 以上命题中所有正确命题的序号为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A= ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? ,B= ? x | ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ? , (1)当 m ? 0 时,求 A ? B (2)若 p : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , q : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条 件,求实数 m 的取值范围。

17. (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? 是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? 2 ? ? 1 . (1)求 f ? 8 ? 的值; (2)求不等式 f ? x ? ? 3 ? f ? x ? 2 ? 的解集.

18. (本小题满分 12 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的 月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费 150 元,未租 出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

19.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a ,满足不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为(1,3) ,且方 程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根,求 f (x) 的解析式.

20. (本小题满分 13 分) 集合 A 是由适合以下性质的函数组成:对于任意 x ? 0, f ? x ? ? ? ?2, 4? ,且 f ? x ? 在

? 0, ?? ? 上是增函数.
(1) 试判断 f1 ? x ? ?
?1? x ? 2 及 f2 ? x ? ? 4 ? 6 ? ? ? ?2?
x

并说明理由; ? x ? 0 ? 是否在集合 A 中,

(2)若定义:对定义域中的任意一个 x 都有不等式 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? 1? 恒成立, 则称这个函数为凸函数。对于(1)中你认为在集合 A 中的函数 f ? x ? 是凸函数吗?试证明你 的结论.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 g ? x ? ?
4 ?n
x

2

x

是奇函数, f ? x ? ? log 4 ? 4 x ? 1? ? mx 是偶函数。

(1)求 m ? n 的值; (2)设 h ? x ? ? f ? x ? ? 取值范围。
1 2 x , 若 g ? x ? ? h ? log 4 ? 2a ? 1? ? 对任意 x ? 1 恒成立,求实数 a 的 ? ?

参考答案
一.选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 A 7 D 8 B 9 A 10 D

二.填空题: (11) 3 (12) m ? n 三.解答题: 16. 解: (1) A ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,………………………2 分
B ? ? x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0? ? ? x | x ? 1或x ? ?1? ……………………………………4 分

(13)

?a a ? ?2或a ? 1?

(14) 14. (1, 3]

(15)①②④

? A ? B ? ? x |1 ? x ? 3? ……………………………………………………………6 分

(2)

p 为: ( ?1, 3) ………………………………………………………………7 分

而 q 为: (??, m ? 1] ? [ m ? 1, ??) ,

…………………………………………9 分

又 q 是 p 的必要不充分条件, 即 p ? q ………………………………………10 分 所以
m ? 1 ? ?1 或 m ? 1 ? 3 ? m ? 4 或 m ? ?2

即实数 m 的取值范围为 (??, ?2] ? [4, ? ?) 。

………………………………12 分

17.(1)解: 由题意得 f(8)=f(4× 2)=f(4)+f(2)=f(2× 2)+f(2)= f(2)+f(2)+f(2)=3f(2) 又∵f(2)=1 ∴f(8)=3………………………………………6 分 (2)解: 不等式化为 f(x)>f(x-2)+3 ∵f(8)=3 ∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16) ……………8 分 ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数 ∴?
? ?8( x ? 2) ? 0

16 解得 2<x< ……………………………………………12 分 7 x ? 8( x ? 2) 3600-3000 =12,所以这时 50

18.解: (1)当每辆车月租金为 3600 元时,未租出的车辆数为

租出了 88 辆. ……………………………………………………………4 分 (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则公司月收益为 x-3000 x-3000 f(x)=(100- )(x-150)- ×50………………………8 分 50 50 x2 1 整理得:f(x)=- +162x-2100=- (x-4050)2+307050 50 50 ∴当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 f(4050)=307050 元…………12 分 19. 解:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) …………………………………………………1 分
2 2

所以 f ( x) ? ?2 x, 即 ax ? (b ? 2) x ? c ? 0 的解集为(1,3) , 所以方程 ax ? (b ? 2) x ? c ? 0 的两根为 x1 ? 1, x2 ? 3, 且a ? 0 ,……………………4 分
2

所以 a ? b ? c ? 2 ? 0 ………①

9a ? 3b ? c ? 6 ? 0 …………②

………………6 分

又方程 f ( x) ? 6a ? 0 ,即 ax 2 ? bx ? c ? 6a ? 0 有两个相等的实根, 所以 b ? 4a (6a ? c) ? 0 ………③
2

……………………………………………………9 分
a?? 1

5 ?a ? 1 6 ? 解由①②③构成的方程组得, ?b ? ?6 (舍)或 b ? ? , …………………………11 分 5 ?c ? 3 ? 3 c?? 5

所以 f ( x) ? ?

1 5

x ?
2

6 5

x?

3 5

.

……………………………………………………12 分

(也可设 f ( x) ? 2 x ? a ( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0) 求解) 20.解: (1)当 x ? 49 时, f1 ? 49 ? ? 5 ? ? ?2, 4? ,所以 f1 ? x ? ? A ;……………3 分
?1? 又当 x ? 0 时, ? ? ? (0,1] ,所以 f 2 ? x ? 的值域是 [?2, 4) ,所以 f 2 ? x ? ? ? ?2, 4? , ?2?
x

又当 x ? 0 时, f 2 ? x ? 为增函数,所以 f 2 ? x ? ? A ;………………………………6 分 (2)因为 f 2 ? x ? ? f 2 ? x ? 2 ? ? 2 f 2 ? x ? 1? ? 12 ? ?
x

?1? ? ?2?

x ?1

?1? ?1? ? 6?? ? ? 6?? ? ?2? ?2?

x

x?2

3 ?1? ? ? ? ? ? ? 0 ? x ? 0 ? ………………………………………………………………10 分 2 ?2?

? f 2 ? x ? 对任意 x ? 0 不等式 f 2 ? x ? ? f 2 ? x ? 2 ? ? 2 f 2 ? x ? 1? 总成立,即 f 2 ? x ? 是凸函数。

…………………………………………………………………………………………13 分 21.解: (1)由于 g ? x ? 为奇函数,且定义域为 R,
? g ? 0 ? ? 0 ,即
4 ?n
0

2

0

? 0 ? n ? 1 ,………………………………………3 分

由于 f ? x ? ? log 4 ? 4 x ? 1? ? mx ,
? f ? ? x ? ? log 4 ? 4
?x

? 1? ? mx ? log 4 ? 4 ? 1? ? ? m ? 1? x ,
x

? f ? x ? 是偶函数,? f ? ? x ? ? f ? x ? ,得到 m ? ?

1 2



所以: m ? n ?

1 2

;………………………………………………………………6 分

(2)? h ? x ? ? f ? x ? ?

1 2

x ? log 4 ? 4 ? 1? ,? h ? log 4 ? 2a ? 1? ? ? log 4 ? 2a ? 2 ? , ? ?
x

………………………………………………………………………………………8 分 又 g ? x? ?
4 ?1
x

2

x

? 2 ?2
x

?x

在 区 间 [1, ?? ) 上 是 增 函 数 , 所 以 当 x ? 1 时 ,

g ? x ? min ? g ?1? ?

3 2

………………………………………………………………11 分

3 ? 2 ? 2a ? 2 ? 4 1 ? 由题意得到 ? 2a ? 1 ? 0 ? ? ? a ? 3 , 2 ? 2a ? 2 ? 0 ? ?

即 a 的取值范围是: {a | ?

1 2

? a ? 3} 。…………………………………………14 分

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