高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.5双曲线

精品 高考一轮复习热点难点精讲精析:8.5 双曲线 三、双曲线 (一)双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※ 1.在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值” ,弄清 是指整条双曲线,还是双 曲线的哪一支。 2.求双曲线标准方程的方法 (1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应 a、b、c 即可求得方程; (2)待定系数法,其步骤是 ①定位:确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上; ②设方程:根据焦点的位置设出相应的双曲线方程; ③定值:根据题目条件确定相关的系数。 注:若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设双曲线方程为: mx ? ny ? 1(mn ? 0) 。 2 2 ※例题解析※ 〖例〗已知动圆 M 与圆 C1 : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 2 外切,与圆 C2 : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 2 内切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程。 思路解析:利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出 M 点满足的几何条件,结合双曲线定义求 解。 | MC1 | ? | MC2 |? 2 2 。 解答:设动圆 M 的半径为 r 则由已知 | MC1 |? r ? 2,| MC2 |? r ? 2,? 又 C1 (-4,0) , C2 (4,0) ,∴| C1 C2 |=8,∴ 2 2 <| C1 C2 |。 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1 (-4,0) 、 C2 (4,0)为焦点的双曲线的右支。 ? a ? 2, c ? 4,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 14 ?点M 的轨迹方程是 x2 y 2 ? ? 1( x ? 2) 2 14 (二) 双曲线的几何性质 ※相关链接※ 1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点” (两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点) , “四 精品 线” (两条对称轴、两条渐近线) , “两形” (中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦 点构成的三角形)研究它们之间的相互联系。 2.在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程。同时要熟练掌握以下 三方面内容: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线 (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3)渐近线的斜率与离心率的关系。 b c2 ? a2 c2 如k ? ? ? ? 1 ? e2 ? 1 2 a a a 注: (1)已知渐近线方程为 则双曲线的标准方程为 的形 式,根据其他条件确定 ? 的正负。若 ? >0,焦点在 x 轴上;若 ? <0,焦点在 y 轴上。 (2)与双曲线 x2 y 2 x2 y 2 共渐近的双曲线方程为 ? ? 1 ? ? ? (? ? 0) ; a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 x2 y2 与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的圆锥曲线方程为 2 ? 2 ? 1(?b 2 ? ? ? a 2 ) 。 a b a ?? b ?? ※例题解析※ 〖例〗中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1 , F2 ,且 | F1 F2 |? 2 13 ,椭圆 的长半轴与双曲线实半轴之差为 4,离心率之比为 3:7。 (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这 两曲线的一个 交点,求 cos ?F1 PF2 的值 思路解析:设椭圆方程为 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) →分别求 ,双曲线方程为 a 2 b2 m2 n2 a,b,m,n 的值→利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得 cos ?F1 PF2 。 解答: (1)由已知: c ? 13 ,设椭圆长、短半轴长分别为 a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为 m、 n,则 ?a ? m ? 4 ? ? 13 13 , ? 3? ?7 ? m ? a 解得 a=7,m=3. 精品 ∴b=6,n=2. ∴椭圆方程为 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1, 双曲线方程为 ? ? 1。 49 36 9 4 是 第 一 象 限 的 一 个 交 点 , 则 又 ( 2 ) 不 妨 设 F1 , F2 分 别 为 左 右 焦 点 , P 所 以 | F1 F2 |? 2 13 , ∴ cos ?F1 PF2 = (三)直线与双曲线的位置关系 〖例〗 (1)求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ? 2 = y2 ? 1 截得的弦 长; 4 y2 (2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ? ? 1 截得的弦中点轨迹方程 4 2 ? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? 2 2 ? y ? x ?1 2 解析:由 ? 得 4 x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3 x ? 2 x ? 5 ? 0 (*) 2 5 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 3 3 设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则有 得, d ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 4 20 8 ? ? 2 9 3 3 (2)方法一:若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点,则设直线的方程为 y ? kx ? 1 ,它被双曲线 截得的弦为 AB 对应的中点为 P ( x, y ) , ? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 ?1 2 2 ?x ? 4 由? 得 (4 ? k ) x ? 2kx ? 5 ? 0 (*) 设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则 ? ? 4k ? 20(4 ? k ) ? 0 , 2 2 精品 ∴ 16k ? 80,| k |? 5 , 2 且 x1 ? x2 ? 2k 5 , x1 x2 ? ? 2 4?k 4 ? k2 , x? ∴ 1 k 1 1 4 ( x1 ? x2 ) ? , y ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?

相关文档

2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.5双曲线
2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析:8.5双曲线
2018年高考数学一轮复习热点难点精讲精析:8.5双曲线
2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析:8.6抛物线
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.5指数函数
电脑版