教学设计:指数函数及其性质(第1课时)

2.1.2
(一)教学目标 1.知识与技能

指数函数及其性质(一)

了解指数函数模型的实际背景, 理解指数函数的概念, 掌握指数函数的图象. 2.过程与方法 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索指数函数图象特征. 3.情感、态度与价值观 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,激发 学生学习数学的兴趣,努力培养学生的创新意识. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数函数的概念和图象. 2.教学难点:指数函数的概念和图象. (三)教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,通 过各种教学媒体(如计算机或计算器) ,调动学生参与课堂教学的主动性和积极 性. (四)教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 由实 际问题引 入,不仅 能激发学 学生思考回答函数的生的学习 特征.
1 P=[( ) 2
1 5 30 t

1. 在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 y ? 1.073 ( x ? x ? 20)
x

与问题(2)中时间t

复习 引入

和C-14含量P的对应关系

兴趣,而 且可以培 养学生解 决实际问 题 的 能

],

请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征

1 t 1 5730 1 5730 把P=[( ) ]变成P ? [( ) ]t ,从而得出 2 2

力.

这两个关系式中的底数是一个正数, 自变量 为指数,即都可以用 y ? a x ( a >0且 a ≠1 来表示). 指数函数的定义 一般地,函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定 义域为 R. 回答:在下列的关系式中,哪些不是指 数函数,为什么? (1) y ? 2x?2 (2) y ? (?2) 形成 概念 理解 概念 (5) y ? x
2 x

由 特 殊 到 一 般,培养 学生的观 学生独立思考,交流讨 察、归纳、 论,教师巡视,并注意个别 概 括 的 能 指导, 学生探讨分析,教师点 拨指导. 使 学 生进一步 理解指数
x

(3) y ? ?2x (4) y ? ? x

力.

(6) y ? 4x2 (7) y ? x x (8) y ? (a ?1) ( a >1,且 a ? 2 )

函数的概 念.

小结:根据指数函数的定义来判断说 明: 因为 a >0,x 是任意一个实数时,a x 是 一个确定的实数, 所以函数的定义域为实数 集 R.
x ? ?当x ? 0时,a 等于0 若a ? 0, ? x ? ?当x ? 0时,a 无意义

若 a <0, 如 y ? (?2) x , 先时,对于x= 1 , x ? 1 等等, 在
6 8

实数范围内的函数值不存在. 若 a =1, y ? 1x ? 1, 是一个常量,没有 研究的意义,只有满足

y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的形式才能称为指数
函数, a为常数, 如: y=2-3 ,y=2 , y ? x x ,
x 1 x

y ? 3x?5 , y ? 3x ? 1等等,不符合 y ? a x (a ? 0且a ? 1)的形式,
所以不是指数函数 .

我们在学习函数的单调性的时候,主要 是根据函数的图象, 即用数形结合的方法来 研究. 下面我们通过 先来研究 y ? a x ( a >1)的图象, 用计算机完成以下表格, 并且用计算机 画出函数 y ? 2 的图象
x

通过 列表、计 算使学生 体会、感 学生列表计算,描点、受 指 数 函 作图. 数图象的 化趋势,

深化 概念

x
y ? 2x

?3.00
1 ?8

?2.50

?2.00
1 4

?1.50

教师动画演示.

通 过 描 点,作图 培养学生

?1.00
1 2

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

学生观察、归纳、总结,教 的 动 手 实 师诱导、点评. 践能力.

1

2

4

再研究先来研究 y ? a x (0< a <1)的 图象, 用计算机完成以下表格并绘出函数

不同情况 进 行 对 照,使学

1 y ? ( ) x 的图象. 2

生再次经 历从特殊 到一般, 1 由具体到 抽象的思

x
1 y ? ( )x 2

?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00
1 4 1 2

1.00 1.50 2.00 2.50





2

4

程.培养 学生的归 纳概括能 力.

从图中我们看出
1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象有什么关系? 2

通过图象看出
1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象关于y轴对称, 2

实质是 y ? 2x 上的 点(-x, y )
1 与y =( )x上点(-x, y )关于y轴对称. 2 1 讨论: y ? 2 x 与y ? ( ) x 的图象关于 y 轴 2

对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ②利用电脑软件画出
1 1 y ? 5 x , y ? 3x , y ? ( ) x , y ? ( ) x 的 函 数 3 5

0

图象.
8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

问题:从画出的图象中,你能发现函数 的图象与底数间有什么样的规律. 从图上看 y ? a x ( a >1)与 y ? a ? x 两函数 图象的特征——关于 y 轴对称.

学生思考、 解答、 交流, 教师巡视,注意个别指导, 发现带有普遍性的问题,应 及时提到全体学生面前供 大家讨论. 例 1 分析:要求 例 1: (P66 例 6) 已知指数函数 f ( x) ? a
x

巩固所学

f (0), f (1), f (?3)的值, 知 识 , 培
养 1 学生的 只需求出a, 得出f(x)=(? 3 )x , 数形结合 再把 0,1,3 分别代入 x , 思想和创 即可求得 f (0), f (1), f (?3). 新能力. 解:将点(3,π ) ,代 入 f ( x) ? a x 得到 f (3) ? ? , 即 a3 ? ? ,

应用 ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) ,求 举例 f (0), f (1), f (?3)的值.

解得: a ??3 ,于是

1

f ( x) ? ? ,
所以 f (0) ? ? 0 ? 1 ,

x 3

f (0) ? ? 3 ? 3 ? ,
f (?3) ? ? ?1 ? 1

1

?

. 通 过

1、理解指数函数 y ? a x (a ? 0),
注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况

师 生 的 合 作 总 结,使学 生 对 本

归纳 总结 2、解题利用指数函数的图象,可有利 于清晰地分析题目, 培养数型结合与分类讨 论的数学思想 .

学生先自回顾反思,教 师点评完善.

节 课 所 学 知 识 的 结 构 有 一 个 明 晰 的 认识,形 成 知 识 体系.

课后 作业 备选例题 例 1 指出下列函数哪些是指数函数: (1) y ? 4 x ; (2) y ? x 4 ;

学生独立完成

巩固新知 提升能力

(3) y ? ?4 x ; (4) y ? (?4) x ; (5) y ? ? x ; (7) y ? x x ; (6) y ? 4x 2 ; (8) y ? (2a ? 1) x (a ?
1 , 且 a ? 1) . 2

【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 (1) 、 (5) 、 (8)为指数函数; (2)是幂函数(后面 2.3 节中将会学习) ; (3)是 ? 1 与指数函数 4 x 的乘积; (4)底数 ? 4 ? 0 ,? 不是指数函数; (6)指数不是自变量 x ,而底数是 x 的函数; (7)底数 x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义. 【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键. 例 2 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指 出它们与指数函数 y= 2 x 的图象的关系, ⑴y= 2 x ?1 与 y= 2 x ? 2 . ⑵y= 2 x ?1 与 y= 2 x ?2 . 解:⑴作出图像,显示出函数数据表

x
2x 2 x ?1 2 x?2

-3 0.125 0.25 0.5

-2 0.25 0.5 1
9

-1 0.5 1 2

0 1 2 4

1 2 4 8

2 4 8 16

3 8 16 32

8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0

1 2 3
2

4

6

8

比较函数 y= 2 x ?1 、y= 2 x ? 2 与 y= 2 x 的关系:将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行 移动 1 个单位长度,就得到函数 y= 2 x ?1 的图象,将指数函数 y= 2 x 的图象向左平 行移动 2 个单位长度,就得到函数 y= 2 x ? 2 的图象 ⑵作出图像,显示出函数数据表

?1? y?? ? ?3?

x

x
2x 2 x ?1 2 x ?2

-3 0.125 0.625 0.312 5
9

-2 0.25 0.125 0.625

-1 0.5 0.25 0.125

0 1 0.5 0.25

1 2 1 0.5

2 4 2 1

3 8 4 2

8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0

1 2 3 4 5
2 4

6

8

比较函数 y= 2 x ?1 、y= 2 x ?2 与 y= 2 x 的关系:将指数函数 y= 2 x 的图象向右平行 移动 1 个单位长度,就得到函数 y= 2 x ?1 的图象,将指数函数 y= 2 x 的图象向右平 行移动 2 个单位长度,就得到函数 y= 2 x ?2 的图象 小结:⑴当 m>0 时,将指数函数 y= 2 x 的图象向右平行移动 m 个单位长度, 就得到函数 y= 2 x ? m 的图象;当 m>0 时,将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动 m 个单位长度,就得到函数 y= 2 x ? m 的图象


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