【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版必修3教学案:第一章 §8 最小二乘估计 -含解析

统计活动:结婚年龄的变化?略? 相关性 预习课本 P46~51,思考并完成以下问题 (1)什么是散点图? (2)曲线拟合的定义是什么? (3)具备什么特征的两个变量是线性相关的? (4)具备什么特征的两个变量是非线性相关的? (5)具备什么特征的两个变量是不相关的? [新知初探] 1.散点图 在考虑两个变量的关系时, 为了对变量之间的关系有一个大致的了解, 通常将变量所对 应的点描出来, 这些点就组成了两个变量之间的一个图, 通常称这种图为变量之间的散点图. 2.相关关系 (1)曲线拟合: 从散点图上可以看出, 如果变量之间存在着某种关系, 这些点会有一个集中的大致趋势, 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样的近似过程称为曲线拟合. (2)线性相关和非线性相关: 若两个变量 x 和 y 的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,则称这两个变量 是线性相关的,而若所有点看上去在某条曲线(不是一条直线)附近波动,则称此相关为非线 性相关. (3)不相关: 如果所有点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间是不相关的. [点睛] 两个变量具有相关关系和两个变量之间是函数关系是不同的. [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)变量之间只有函数关系,不存在相关关系.( ) ) (2)两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响.( (3)需要通过样本来判断变量之间是否存在不同关系.( (4)相关关系是一种因果关系,具有确定性.( 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× ) ) 2.观察下列各图形: 其中两个变量 x,y 具有相关关系的是( A.①② C.③④ ) B.①④ D.②③ 解析: 选 C 由图可知, ③中各点分布在某条直线周围, ④中各点分布在某条曲线周围, 因此③④中的两个变量具有相关关系. 3.命题:①路程与时间、速度的关系是相关关系; ②同一物体的加速度与作用力是函数关系; ③产品的成本与产量之间的关系是函数关系; ④圆的周长与面积的关系是相关关系; ⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系. 其中,正确的命题序号是________. 答案:②⑤ 相关关系的概念 [典例] 在下列各个量与量的关系中: ①正方体的表面积与棱长之间的关系; ②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系; ③家庭的收入与支出之间的关系; ④某户家庭用电量与水费之间的关系. 其中是相关关系的为( A.①② C.②④ ) B.③④ D.②③ [解析] ①正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系;④某户家庭用电量与 水费之间无任何关系.②③中,都是非确定的关系,但自变量取值一定时,因变量的取值带 有一定的随机性. [答案] D 利用变量间相关关系的概念判断量与量之间的关系时,一般是看当一个变量的值一定 时,另一个变量是否带有确定性,两个变量之间的关系具有确定关系——函数关系;两个变 量之间的关系具有随机性、不确定性——相关关系. [活学活用] 1.下列变量之间的关系不是相关关系的是( ) A.已知二次函数 y=ax2+bx+c,其中 a,c 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这 个函数的判别式 Δ=b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.某种农作物的亩产量与施肥量 D.父母身高和子女身高的关系 解析:选 A B、C、D 均为相关关系,A 为函数关系. 2.有下列关系:①人的寿命与他(她)每天坐着的时间之间的关系;②曲线上的点与该 点关于原点的对称点的坐标之间的关系; ③苹果的产量与气候之间的关系; ④森林中的同一 种树木,其断面直径与高度之间的关系.其中,具有相关关系的是________. 解析:利用相关关系的概念进行判断,②中两变量的关系是一种确定性关系. 答案:①③④ 散点图 [典例] 某公司近年来科研费用 x(单位:万元)与公司所获的利润 y(单位:万元)之间有 如下的统计数据: x y 2 18 3 27 4 32 5 35 (1)请画出上表数据的散点图; (2)观察散点图,判断 y 与 x 是否具有线性相关关系. [解] (1)散点图如下: (2)由图知,所有数据点接近直线排列,因此认为 y 与 x 有线性相关关系. 判断两个变量具有相关关系的方法 (1)根据直观感觉判断,这时要用到已有的知识或生活、学习中的经验等. (2)根据散点图判断,这时要由两个变量相应值的对应关系,作出散点图,通过观察散 点图中变量的对应点是否分布在某条曲线的周围判定这两个变量是否具有相关关系. [活学活用] 两对变量 A 和 B,C 和 D 的取值分别对应如表 1 和表 2,画出散点图,判断它们是否 有相关关系;若具有相关关系,说出它们相关关系的区别. 表1 A B 表2 C D 0 541.67 5 602.66 10 672.09 15 704.99 20 806.71 25 908.59 30 975.42 35 1 034.75 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 解:散点图分别如图(1),(2). 从图中可以看出两图中的点都分布在一条曲线附近,因此两图中的变量都具有相关关 系. 图(1)中 A 的值由大变小时,B 的值却是由小变大. 图(2)中 C 的值由小变大时,D 的值也是由小变大. 曲线拟合与应用 [典例] 某种产品的广告费支出与销售额(单位:百万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)根据表中的数据制成散点图,你能从散点图中发现广告费支出与销售额之间的近似 关系吗? (2)如果近似成线性关系,请画出一条直线来表示这种线性关系. (3)如果广告费支出为 7 百万元,请估计此时的销售额为多少. [解] (1)散点图如图所示.从散点图中,可以看出广告费支出与销售额之间的总体趋势 成一条直线,它们之间是线性相关的. (2

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