高二数学人教A必修5练习:2.4.1 等比数列 Word版含解析

课时训练 11 等比数列
一、等比数列中基本量的运算 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于

()

A.-

B.-2

C.2

D.

答案:D

解析:

=q3=

,∴q= .

2.已知等比数列{an}中,a1=32,公比 q=- ,则 a6 等于( )

A.1

B.-1

C.2

D.

答案:B

解析:由题知 a6=a1q5=32× - =-1,故选 B.

3.(2015 福建宁德五校联考,7)已知等比数列{an}中, =2,a4=8,则 a6=( )

A.31

B.32

C.63

D.64

答案:B

解析:设等比数列{an}的公比为 q,

由 =2,a4=8,得

解得

所以 a6=a1q5=25=32.故选 B.

4.(2015 山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( )

A.-4

B.-6

C.-8

D.-10

答案:B

解析:∵等差数列{an}的公差为 2,a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6), ∴a1=-8, ∴a2=-6.故选 B.

5.(2015 江西吉安联考,2)已知等比数列{an}的公比 q=- ,则

等于( )

A.-3

B.-

C.3

D.

答案:A

解析:∵等比数列{an}的公比 q=- ,



=-3.故选 A.

二、等比中项及应用

6.2+ 和 2- 的等比中项是

.

答案:±1

解析:设 A 为等比中项,则 A2=(2+ )(2- )=1, ∴A=±1.

7.已知等比数列{an}的各项均为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式

an=

.

答案:3n-1

解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4.

∵{an}的各项均为正数,∴a+1>0 且 2a+5>0.

∴a=2.∴a+1=3.∴q= =3.∴an=3n-1.

三、等比数列的判定 8.给出下列数列: ①2,2,4,8,16,32,…;

②在数列{an}中, =2, =2;

③常数列 c,c,c,c,….

其中等比数列的个数为

.

答案:0

解析:①不是等比数列,因为

;

②不一定是等比数列,因为不知道 的值,即使 =2,数列{an}也未必是等比数列;
③不一定是等比数列,当 c=0 时,数列不是等比数列.故填 0. 9.设{an}是公比为 q 的等比数列,设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), +2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 因为 a1≠0,所以 2qk=qk-1+qk+1. 因为 q≠0,所以 q2-2q+1=0,解得 q=1,这与已知矛盾. 所以假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

(建议用时:30 分钟)
1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则该等比数列的公比为( )

A.

B.

C.2

D.8

答案:B 解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6,

所以 q3=

,即 q= ,选 B.

2.若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

答案:B

解析:∵a1= ,an= ,q= ,∴

-
,则 n=4.

3.已知等比数列{an}中,a1=3,8 =an+1·an+2,则 a3=

A.48

B.12

C.6

D.2

答案:B

解析:设数列{an}的公比为 q,

则由 8 =an+1an+2,得 8 =a2a3,即 8

q3,

∴q=2.∴a3=a1q2=3×4=12.

4.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( )

A.b=3,ac=9

B.b=-3,ac=9

C.b=3,ac=-9

D.b=-3,ac=-9

答案:B 解析:∵-1,a,b,c,-9 成等比数列,
∴b2=(-1)×(-9)=9. 又∵a2=-1×b=-b,∴b=-3. 又 b2=ac,∴a 与 c 同号.∴ac=9.

5.已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项,又是 与 的等差中项,则 的值是( )

A.1 或

B.1 或-

C.1 或 答案:D

D.1 或-

()

解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1, =2,





-

-



,∴其值为 1 或- .

-

6.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6 等于

.

答案:79.5

解析:∵1+2an=(1+2a1)×2n-1,

∴1+2a6=5×25,∴a6= - =79.5.

7.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1,5,17 项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比



.

答案:3

解析:由已知 =a1·a17, ∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d.

∴公比 q=

=3.

8.某林场的树木每年以 25%的增长率增长,则第 10 年末的树木总量是今年的

倍.

答案:1.259

解析:设这个林场今年的树木总量是 m,第 n 年末的树木总量为 an,则 an+1=an+an×25%=1.25an.

则 =1.25.

则数列{an}是公比 q=1.25 的等比数列. 则 a10=a1q9=1.259m.所以 =1.259.

9.等比数列的前三项和为 168,a2-a5=42,求 a5,a7 的等比中项.

解:由题意知 -

① ②

②÷①得 q(1-q)= ,

∴q= .

∴a1=

=96.

又∵a6=a1q5,

∴a6=96× =3,

∴a5,a7 的等比中项 a6=3. 10.已知数列{an}满足 a1= ,且 an+1= an+ ,n∈N*.

(1)求证: - 是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:∵an+1= an+ ,

∴an+1-

an+

-.

∴-

.

-

∴ - 是首项为 ,公比为 的等比数列.

(2)解:∵an∴an=

-
,
-
.


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