江苏省淮安市范集中学高二数学:《导数的几何意义》教学设计

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龚明
如图 3.1-2,当 Pn (xn , f (xn )) (n ? 1, 2,3, 4) 沿着曲线 f (x) 趋近于点 P(x0 , f (x0 )) 时,割线 PPn 的变化趋势是什么?
图 3.1-2 我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PPn 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.
问题:⑴割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系?
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⑵切线 PT 的斜率 k 为多少?

容易知道,割线 PPn 的斜率是 kn

?

f

(

xn ) xn

? ?

f (x0 x0

)

,当点

Pn

沿着曲线无限接近点

P

时,kn

无限趋近于切线 PT 的斜率 k ,即 k

? lim ?x?0

f

( x0

? ?x) ? ?x

f (x0 )

?

f ?(x0 )

说明:(1)设切线的倾斜角为 α,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处

的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数.
(2)曲线在某点处的切线: ①与该点的位置有关; ②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯 一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多 个,甚至可以无穷多个. (二)导数的几何意义:

函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率,



f

?(x0 )

?

lim
?x?0

f

( x0

? ?x) ? ?x

f

(x0 )

?

k

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出 P 点的坐标;②求出函数在点 x0 处的变化率

f ?(x0 )

?

lim
?x?0

f

( x0

? ?x) ? ?x

f

(x0 )

?

k

,得到曲线在点 (x0 , f (x0 )) 的切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程.

(二)导函数:

由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?(x0 ) 是一个确定的数,那么,当 x

变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?(x) 或 y? ,

即: f ?(x) ? y? ? lim f (x ? ?x) ? f (x)

?x?0

?x

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

(三)函数 f (x) 在点 x0 处的导数 f ?(x0 ) 、导函数 f ?(x) 、导数 之间的区别与联系。

①函数在一点处的导数 f ?(x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的

极限,它是一个常数,不是变数。 ②函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f(x)的导函数

③函

数 f (x) 在点 x0 处的导数 f ' (x0 ) 就是导函数 f ?(x) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求函数在

点 x0 处的导数的方法之一。

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三.典例分析: 例 1:(1)求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1, 2)处的切线方程. (2)求函数 y=3x2 在点 (1,3) 处的导数.

解:(1)

y? |x?1 ?

lim [(1? ?x)2
?x?0

?1] ? (12 ?x

? 1)

?

lim
?x?0

2?x ? ?x2 ?x

?

2,

所以,所求切线的斜率为 2,因此,所求的切线方程为 y ? 2 ? 2(x ?1) 即 2x ? y ? 0

(2)因为

y? |x?1 ?

3x2 ? 3?12 lim x?1 x ?1

3(x2 ?12 ) ? lim
x?1 x ?1

? lim 3(x ?1) x?1

?6

所以,所求切线的斜率为 6,因此,所求的切线方程为 y ? 3 ? 6(x ?1) 即 6x ? y ? 3 ? 0

(2)求函数 f(x)= ? x 2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.

解: ?y ? ? (?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? 3 ? ?x

?x

?x

f ?(?1) ? lim ?y ? ?(?1? ?x)2 ? (?1? ?x) ? 2 ? lim (3 ? ?x) ? 3

x?0 ?x

?x

x?0

练习:(1)曲线 y ? x3 ?1在 x ? 1处的切线方程为___________。

(2)曲线 y ? x ln x 在点(1,0)处的切线方程为



例 2.求过点 (1,?2) 与曲线 y ? x 2 ? 3x ? 5 相切的直线方程。

练习:已知曲线 y ? 1 x3 ? 4 ,求曲线过点 (2,4) 的切线方程。 33
设计:通过例 1,与例 2 的讲解,让学生感受曲线在某点处的切线与过某点的切线的 区别。
四.课堂评价:

1.求曲线 y=f(x)=x3 在点 (1,1) 处的切线



2. 已知函数 y ? f (x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ? x ? 2 ,则

f (1) ? f ?(1) ?



3.设函数 f (x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) 若曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相

切,则 ab 的值为



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4.曲线

y

?

1 3

x3

?

x

在点

???1,43

? ??

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为



五.回顾总结: 1.曲线的切线及切线的斜率; 2.导数的几何意义。 六.布置作业:

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