专题六 第五讲 大题考法——函数与导数_图文

第五讲 大题考法——函数与导数 主要考查导数的几何意义,利用 导数研究函数的单调性、极值与 最值问题. [典例1] [典例感悟] (2018届高三·湖南五市十校联考)已知函数f(x) 1 2 =ln x- ax +x,a∈R. 2 (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值. [解] 为(1,1), (1)当a=0时,f(x)=ln x+x,则f(1)=1,∴切点 1 又f′(x)=x+1,∴切线斜率k=f′(1)=2, 故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 1 2 (2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x- ax +(1-a)x+1, 2 -ax2+?1-a?x+1 1 则g′(x)=x-ax+(1-a)= , x ①当a≤0时,∵x>0,∴g′(x)>0. ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,函数g(x)无极值点. -ax2+?1-a?x+1 ②当a>0时,g′(x)= x ? 1? a?x-a??x+1? ? ? =- x , 1 令g′(x)=0得x=a. ? ?1 ? 1? ∴当x∈?0,a?时,g′(x)>0;当x∈?a,+∞?时,g′(x)<0. ? ? ? ? ? ?1 ? 1? 因此g(x)在?0,a?上是增函数,在?a,+∞?上是减函数. ? ? ? ? ?1? 1 1 a 1 1 ? ? ∴x= a 时,g(x)取极大值g a =ln a - × 2 +(1-a)× a +1 2 a ? ? 1 = -ln a. 2a 由①②得,当a≤0时,函数g(x)无极值; 1 当a>0时,函数g(x)有极大值 -ln a,无极小值. 2a [方法技巧] 求函数y=f(x)在某个区间上极值的步骤 [演练冲关] 1.(2017· 福州模拟)已知函数f(x)=aln x+x2-ax(a∈R). (1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间; (2)求g(x)=f(x)-2x在区间[1,e]上的最小值h(a). 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 2x2-ax+a a f′(x)=x+2x-a= , x 18-3a+a 因为x=3是f(x)的极值点,所以f′(3)= =0, 3 2x2-9x+9 ?2x-3??x-3? 解得a=9,所以f′(x)= = , x x 3 所以当0<x< 或x>3时,f′(x)>0, 2 3 当 <x<3时, f′(x)<0,即x=3是f(x)的极小值点, 2 ? 3? 所以f(x)的单调递增区间为 ?0,2? ,(3,+∞),单调递减区间 ? ? ?3 ? 为?2,3?. ? ? 2x2-ax+a ?2x-a??x-1? (2)g′(x)= -2= ,令g′(x)=0得, x x a x1= ,x2=1. 2 a ①当 ≤1,即a≤2时,g(x)在[1,e]上为增函数,h(a)=g(1)= 2 -a-1; ? ?a ? a? a ②当1< <e,即2<a<2e时,g(x)在 ?1,2? 上为减函数,在 ?2,e? 2 ? ? ? ? ?a? a 1 2 上为增函数,h(a)=g?2?=aln - a -a; 2 4 ? ? a ③当 ≥e,即a≥2e时,g(x)在[1,e]上为减函数,h(a)=g(e) 2 =(1-e)a+e2-2e. ? ?-a-1,a≤2, ? a 1 2 综上,h(a)=?aln2-4a -a,2<a<2e, ? 2 ? ??1-e?a+e -2e,a≥2e. 主要考查利用导数来判断函数的 零点或方程根的个数,或者依 据函数的零点、方程根的存在 情况求参数的值?或取值范围?. [典例2] [典例感悟] 已知函数f(x)=ex,x∈R. (1)若直线y=kx与f(x)的反函数的图象相切,求实数k的值; (2)若m<0,讨论函数g(x)=f(x)+mx2零点的个数. 1 [解] (1)f(x)的反函数为y=ln x,x>0,则y′=x. 1 ln x0 设切点为(x0,ln x0),则切线斜率为k= = , x0 x0 1 故x0=e,k= . e (2)函数g(x)=f(x)+mx2的零点的个数即是方程f(x)+mx2 =0的实根的个数(当x=0时,方程无解), ex 等价于函数h(x)= 2(x≠0)与函数y=-m图象交点的个数. x ex?x-2? h′(x)= . x3 当x∈(-∞,0)时,h′(x)>0,h(x)在(-∞,0)上单调递增; 当x∈(0,2)时,h′(x)<0,h(x)在(0,2)上单调递减; 当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在 (2,+∞)上单调递增. ∴h(x)的大致图象如图: e2 ∴h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(2)= . 4 ? e2? ∴当-m∈?0, 4 ?,即 ? ? ? e2 ? m∈?- 4 ,0?时,函数 ? ? ex h(x)= 2与函 x 数 y=-m 图象交点的个数为 1; e2 e2 ex 当-m= ,即 m=- 时,函数 h(x)= 2与函数 y=-m 图 4 4 x 象交点的个数为 2; ?e2 ? ? e2? ex 当-m∈? 4 ,+∞?, 即 m∈?-∞,- 4 ?时, 函数 h(x)= 2与 x ? ? ? ? 函数 y=-m 图象交点的个数为 3. ? e2? 综上所述,当 m∈?-∞,- 4 ?时,函数 g(x)有三个零点; ? ? ? e2 ? e2 当 m=- 时,函数 g(x)有两个零点;当 m∈?- 4 ,0?时,函数 4 ? ? g(x)有一个零点. [方法技巧] 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数 零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题. (2)分离出参数,转化为a=g(x),根

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