物理奥赛——天体运动 万有引力

1.万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性. (1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地 球质量为 M,自转周期为 T,万有引力常量为 G.将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体,不考虑空气的影 响.设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是 F0. a.若在北极上空高出地面 h 处称量,弹簧秤读数为 F1,求比值 F1/F0 的表达式,并就 h=1.0%R 的情形算出 具体数值(计算结果保留两位有效数字); b.若在赤道地面称量,弹簧秤读数为 F2,求比值 F2/F0 的表达式. (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 r、太阳的半径 Rs 和地球的半径 R 三者均减小为现在的 1.0%,而 太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳和地球之间的相互作用,以现实地球的 1 年为标准,计算“设想地 球”的一年将变为多长? 【试题分析】 (1)设物体的质量 m.

a.物体处于北极以及北极上方时,万有引力等于重力,



在北极上空 h 处

可得



时,

b.在赤道上弹簧秤的读数表示重力的大小,即



可以求得 (2)地球绕太阳做匀速圆周运动,受到太阳的万有引力. 设太阳的质量为 M
S

,地球的质量为 M,地球公转的周期为 T

E

.

根据太阳的引力提供地球的向心力,

太阳的质量

,其中 ρ 为太阳的密度.

所以有 从上式可以看出当 r、R、R 年相同.
S

均变为现在的百分之一时,周期不变,即“设想地球”的一年与现实地球的 1

2.宇航员从空间站(绕地球运行)上释放了一颗质量 m=500kg 的探测卫星.该卫星通过一条柔软的细轻绳 与空间站连接,稳定时卫星始终在空间站的正下方,到空间站的距离 l=20km.已知空间站的轨道为圆形,周期

T=92 min.
i.忽略卫星拉力对空间站轨道的影响,求卫星所受轻绳拉力的大小; ii. 假设某一时刻卫星突然脱离轻绳.试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、 远地点到地面的高度和 卫星运行周期. 取地球半径 R=6.400×10 km,地球同步卫星到地面的高度为 H0=3.6000×10 km,地球自转周期 T0=24h. 【参考解答】 i.设空间站离地面的高度为 H, 因为同步卫星的周期和地球自转周期相同, 根据开普勒第三定律以及题意有
3 4

(R ? H )3 T 2 ? ( R ? H 0 )3 T02
(2) (3) (4)

(1)



H ? ( R ? H 0 )(

T 2/ 3 ) ?R T0

代人数据得

H= 376km

卫星的高度 h =H - l =356km

卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动,有

G

Mm 2? ? F ? m( )2 ( R ? h) 2 ( R ? h) T

(5)

式中 G 为万有引力常量, M 为地球质量.空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆周运动,故有

G

Mm? 2? ? m?( )2 ( R ? h) 2 ( R ? h) T

(6)

式中 m’为空间站的质量.由(5) 、 (6)两式得 F

? m(

2? 2 ( R ? H )2 ) ( R ? h)[ ? 1] T ( R ? h) 2
(8)

(7)

将(3) 、 (4)式及其他有关数据代人(7)式得 F=38.2N

ii.细绳脱落后,卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆.在脱落的瞬间,卫星的速度垂直于卫星 与地心的连线,所以脱落点必是远地点(或近地点) ,由 ( 4)式可知,此点到地面的高度 h =356km (9) 设卫星在近地点(或远地点)的高度为 h',速度为 v',根据开普勒第二定律,有

2? ( R ? h) 2 (10) T 1 Mm 1 2? Mm mv?2 ? G ? m( ) 2 ( R ? h ) 2 ? G 根据机械能守恒,有 2 R ? h? 2 T R?h ( R ? h?)v? ?
联立(10) 、 (11)两式并利用(6)式得 代人有关数据有 h' = 238km

(11)

( R ? h)4 h? ? 2( R ? H )3 ? ( R ? h)3

(12)

(13 )

由(9) 、 (13)两式可知,远地点到地面的高度为 356km,近地点到地面的高度为 238km . 设卫星的周期为 T',根据开普勒第三定律,卫星的周期

T? ? (

2 R ? h ? h? 3/ 2 ) T 2R ? 2H
(15)

(14)

代人数据得 T'= 90.4min


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