一道2013年全国高中数学联赛试题的探究_图文

2 4  

数 学 通讯 — — 2 O l 4年 第 3期 ( 上半月)  

?辅 教 导 学 ?  

s i n x在 [ O , 丌 ]上 都 成立 , 那 么这 个 问题 就 解决 了.  
这 样就 将求解 问题 变 为 了 证 明 问题 . 当然, 这 有一 
点偶然 性.  


从而有三( z 一要) < s i n ( x 一詈) 一 一C O S X , 所以  
- 厂 ( z )= = =衄 + C O S X  _ 竺 一 z+ C O S S C  

般地 , 在 证 明之 前 要 有一 个 确认 过程 , 本 题 

可 以通 过 函数 Y — a x一1 ,  — s i n x— C O S X = 

一 1 +  ( 兰 7 r   ( z 一  ) 号 厶   ) +   C O S X  


s i n ( x一旱) 的图象予以确认.  
那么 , 又怎 么证 明 呢?  

≤ 1一 C O S X+ C O S X = 1≤ 1+ s i n x.  

从 而 问题得 到 圆满解决 .  
注 意到 C O S X ≤ 1 , 因此 只要 证 明 a g c < _ s i n x, 又a . T  
0  0 

这是 一种 先猜 想 再 证 明 的 思维 策 略 , 也 是 一 

种从 部分 到整体 、 各个 击 破 的解 题 策略 , 是 分 类讨  论思 想 的体现 . 当我们 不 能从 整 体 上解 决 问 题 时 ,  

三 z , 从 而 只要 证三 z < s i n x, 这 个不等 式显 然不成 
7 c   7 c  

立.  

可 以先解 决其 中一个 我 们熟 悉 的易 于解 决 的一 部 
怎 么办 ? 此时, 我 们 换 一个 角 度 思 考 : 这 个 不  分, 然后 采用 分类讨论 的方法 对 其进 行 分类 , 再 解  决其 它 的类 . 高 考试 题 中有 关 求 参 数 的范 围 和证 
明不 等式 的 问题 , 经 常需 要运 用 这种 方 法 , 有 时 还 

等式虽 然对 z∈ E o , 兀 ] 不 是恒成 立 , 但 可能 对其 中 
的一部 分是 成立 的 , 我 们 可 以 先解 决 其 中 的一 部 
分, 然后 再解 决余 下 的部分 .  

需 要利 用 已知 的不 等式  三 三 = z+1 , l n x   一1 等 进 
行 放缩 后才 能加 以解决 .  
1   \ 

本 题 自然 会 想 到 分 锐 角 
和钝 角 讨 论 , 作 出图 3 , 图 3   中直 线 O P 的方程为 3 ,一 
7 c  

从 上面 的分 析看 到 , 当我 们 的思 维 受阻 时 , 不 

:  
0  耽  

一  

能 一条 道走 到黑 , 要及 时转换 思 维 的角 度. 换 一 个 

z, 直线 P A 的 方 程 为 
一  

角 度看 问题 , 推开一扇窗, 透 进一 股 清新 的 空 气 ;  
换 一个 角度看 问题 , 打 开一个 门 , 照进 一 镂灿 烂 的 



+2 , 从 图中看 出 , 当 

图。  

阳光. 根据试 题 的实际 变换 思维 的 角度 , 换一 个 角 
度 看 问题 , 能 迅速 找到解 题 的切 入 点 , 找 到解 题 的 

是 我们取 得高 考成功 的法 宝.   ∈E o , 罢] 时, 三 ≤ s i n z 成立, 这个不等式容易用  最 佳路 径 ,
‘ 

导 数 证 明 . 又 当  ∈( 号 ,   ] 时 , z 一 号∈( o ,  ,  

( 收 稿 日期 : 2 0 1 3 —1 0 ~2 6 )  



道 2 0 1 3年全国高中数 学联赛试题的探究 
范花妹   秦庆雄  
( 云 南 省 大理 州漾 濞 县 第一 中 学 , 6 7 2 5 0 0 )  

2 0 1 3 年全 国高 中数学联赛 B卷第 1 O 题: 假设 n ,  
b , c >0 , 且 a b c一 1 , 求证 : 口 。 +b 。 +   ≥ Ⅱ +b + 

简证 1   由 2元均 值 不等式 和 3元均 值 不等 
式, 可 得 
n 。 + b 。 + c  一 口 。+ 1+ b   + 1十 c  + 1— 3  

笔者 经过 思 考 , 给 出该 联赛 试 题 的简 证 、 加强 
和 推广 探究 , 行之 成 文 , 和 大家 一起分 享.  


≥ 2 a十 2 b+ 2 c一 3  
一 &+ b+ c + ( n+ b+ c~ 3 )  



简 证 

命题 组 利 用柯 西 不 等式 、 3元 均值 不 等式 和 6   元 均值 不等 式给 出两 种证 法 , 下面我 们利 用 2 元 均  值 不 等式和 3元 均值 不 等式给 出两 种简 证.  

≥ n+ b+ f + ( 3?  

c~ 3 )  

一 n+ b+ f+ ( 3?   l一 3 )  
一 d+ b+ c,  

?

辅教 导学 ?  

数 学通 讯 —— 2 O l 4年 第 3期 ( 上 半 月)  

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即Ⅱ 。+ b 2 +c 2≥ 2 ( a+ 6 +c ) 一 3≥ “+ 6 十C .  

评 注  由式 ① 、 简证 1和简证 2 , 可得如 下有  趣 的不等 式链 .  
推论 2   假设 a , b , C > 0 , 且 a b c一 1 , 则 有 
&  + 6  + c 。≥ 1( a+ b t -c ) 。 一  3  


所 以, a 。 +b   +C 。 ≥ a+ b +C .  

简证 2   由 2元 均值 不 等式 和 3元 均 值不 等 
式, 可得 

1( Ⅱ+ 

口 。 +b 。 +c 。 = = : 妻[ 口 。 +b 。 +c 。 十( 口   +b 。 +b  
+c  + C   +a   ) ]  
≥  1( n 。+ b z +C 2+ 2 a b+ 2 b c+ 2 c a)  
1( 口+ 6+ f )  

b+ c ) 。≥ 2 ( n+ b +f )一 3≥ a+ b+ c .  

简证  由 口 +6 十c ≥ 3?  
口+ b+ C≥ 3 .  
1(

和a b c一 1 , 得 



 

n + 6 + c )   一   3 ≥ ÷ ( a + 6 + c )  

㈢( n+ b+ c ) 。≥ 9,  
一  

± 

×( 口 +6 +   )  

÷( 口 +6 +f ) 。 ≥2 ( 口 +6 +f ) 一3  
≥  3   ×( 口+ b+ c )   ∞ ( 口+ b+ c )  一 6 ( n+ b+ c )一 9≥ 0  

一 口 十 b十 C,  

甘[ ( n+ b +c )一 3 ] 。 ≥0 .  
三、 推 广 

即口 。 +b 。 +f   ≥ ÷( 日 +b +f ) 。 ≥口 +b +f .  
所 以, a  + b 。 +c 。 ≥ a +b +C .  

假设 a , b , C> 0 , 则 有 
n  + 6 。+ c  ≥   1( 口+ 6+ c )  


评 注  ( 1 ) 因为 待证 不等式 的左边 含平 方 项 ,  
右边 含一 次项 , 所以 , 简证 1是最 简单 的.  

丢 一 a b c ②  

简证  要 证 口  +b   +c 。 ≥  ( 口 +b +f ) 。 一  

( 2 )由上 述 证 明过程 可知 , 把不 等式 中 的条 件  a b c一 1 改成 a b c≥ 1 或a +b +f ≥3 , 不等 式仍 成 
立.  

÷ 一a b c , 只需证 口 。 +b 。 +c 。 +2 a b c +1 —2 (  +  
十c a )≥ 0 .  

推论 1   假设 口 , b , c >0 , 且a b c≥ 1 , 则有 口 。  
+b 。+ C  ≥ a+ b+ C .  

由抽屉 原理 知 , 三个 正 实数 n , b , C中必 有两个  不大 于或 不小 于 1 , 不妨 设 成非 负实 数 a和 b , 因此  有( n一 1 )? ( 6 —1 )≥ 0 . 故 
a 。 +b 。 +C 。+ 2 a b c+ 1— 2 ( a b+ b c十 c a)  


推论 2   假设 a , b , C >0 , 且 a+b +c ≥3 , 则  有 口   +b   +C 。 ≥ n+b +C .  
二、 加 强 

( 口  一 2 a b+ b   )+ ( c 。 一2 c +1 ) +[ 2 a b c~ 

命题 1   假设 口, b , C > 0 , 且a b c= = = 1 , 则 有 
n  +  + c  ≥ 1( &+ 6十 c )  
一  

2 ( b c +c a ) +2 c ]  


3  

① 

( 口一 6 )  + ( c 一 1 )  + 2 c ( a b— n— b+ 1 )  

: ==

( 口一 6 ) 。十 ( c 一 1 ) 。+ 2 c ( a一 1 ) ( 6— 1 )  

简证  要证 口 。 +b 。 +c   ≥ 妻( 口 +b +c )   一  
_ 昙 _ , 只需证 Ⅱ   +b 。 +c 。 一2 (   +b c +C a ) +3 ≥0 .  
由抽 屉 原理 知 , 三个 正实数 a , b , C中必有 两个  不 大于 或不 小 于 l , 不妨 设成正 实数 a和 6 , 则( n 一  1 )? ( 6 —1 ) ≥ 0 . 故 
口 。+ b  + f 。一 2 ( a b+ b c   4 -   )+ 3  


≥ 2 c ( a一 1 ) ( 6— 1 )≥ 0,   即a 。 +b 。 +f   +2 a b c +1 —2 ( a b+ b c十 C a)≥ 

0 , 所 以a 2 + 6   + c 。 ≥   1 ( 口 + 6 + c ) z 一 丢 一 a b c .  
评 注  因为在 ② 式 中 , 取a b c一 1 时, 即得 ①  式, 所 以, ② 式是 ① 式 的一个 推 广.  
参考 文献 :  

( 口一 6 ) 。 + ( c 一1 )  + 2 c ( a b— a— b+ 1 )  
( a一 6 )  + ( c 一 1 ) 。+ 2 c ( a~ 1 ) ( b~ 1 )  

E l - 1   范花妹 , 秦 庆雄 .抽 屉 原理 与 不等 式 的证 明  [ J ] .数学通讯 ( 下半 月) , 2 0 1 2 ( 8 ) .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 3 —1 0— 1 8 )  



≥ 2 c ( a一 1 ) ( 6~ 1 )≥ 0,   即口 。+ b 。 +C 。 ~2 ( a b+b c+ c a )+ 3≥ 0,  

所以 , 口  + 6 z +c 。 ≥  1( d+ b - t - c ) z 一  3
.  


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