[精品]新高中高考数学第一轮复习精编同步讲义第3篇第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲 正弦定理和余弦定理 [最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 知 识 梳 理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 = = =2 R sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a b c a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C 内容 b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c a2+c2-b2 常见变形 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos B= ; 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C (1)已知两角和任一边,求其他两边和一 解决的问 题 角; (2)已知两边和其中一边的对角, 求另一边 和其他两角 a2+b2-c2 cos C= 2ab (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边 和其他两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 3.三角形中常用的面积公式 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= absin C= acsin B. 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2 辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断 (1) 在 △ ABC 中 , sin A > sin B 的 充 分 不 必 要 条 件 是 A > B. (×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中, a= 3, b= 2, B=45°, 则 A=60° 或 120°. (√) 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B= . 3 9 (√) 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A= ,则 b=6. 16 (√) 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三 角形. (√) (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. (×) [感悟·提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦 值也较大, 正弦值较大的角也较大, 即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2.判断三角形形状的两种途径 一是化边为角;二是化角为边,并 常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 学生用书 第 63 页 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分 别为 a,b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A. 3 π B. 4 π C. 6 ( ). π D. 12 (2)(2014·杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,若 a=1,c=4 2,B=45°,则 sin C=______. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A·sin B= 3sin B, ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. ∴sin A= 3 .又∵△ABC 为锐角三角形, 2 ? π? π ∴A∈?0, ?,∴A= . 2? 3 ? (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 即 b=5. 2 =25, 2 所以 sin C= c·sin B = b 4 2× 2 2 4 = . 5 5 4 答案 (1)A (2) 5 规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已 知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值 的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60°,则 C= ( A.30° B.45° C.45°或 135° ). D.60° (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3 bc,sin C=2 3sin B,则 A= ( A.30° B ). . 60° C.120° D.150° 解析 2 3 2 2 (1)由正弦定理,得 = , sin 60° sin C 2 ,又 c<a,所以 C<60°,所以 C=45°. 2 解得:sin C= (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= = = = , 2bc 2bc 2bc 2 又 A 为三角形的内角,∴A=30°. 答案 (1)B (2)A 考点二 判断三角形的形状 【例 2】 (2014·临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B, C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= = ,∴A=60°. 2bc 2 (2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°. 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120°-B)= 3

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