2.3.1抛物线及其标准方程(1)_图文

一、图片感知

生活中的抛物线

美丽的赵州桥

一、图片感知

生活中的抛物线

一、图片感知

生活中的抛物线

一、图片感知

抛球运动

动手实验
请同学们准备以下工具,两个同学分工协作, 按下列方法画出动点轨迹.
1.在纸一侧固定直尺
2.将直角三角板的一条直角边 紧贴直尺

3.取长等于另一直角边长的绳子
4.固定绳子一端在直尺外一点

5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出轨迹

动画 演示

A

抛物线的画法

数学这门学科不仅需要观察,还需要实验

二、探究新知
请同学们回忆作图过程,给抛物线下定义

在平面内,与一个定点F和一 H 条定直线l(l不经过点F)的距离相 等的点的轨迹叫抛物线.
点F 叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线. 准线

d为 M到 l 的距离 d M

·

·
F

焦 点

l MF ? 1 ,则点M的轨迹是抛物线. 即:若 d 1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么? 2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如 何选择坐标系,建立的抛物线的方程才能更简单?

二、抛物线标准方程的推导
H
建系 列式 化简 设点 K O

解:以过F且垂直于直线 l 的直

yd

M (x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中 点O为坐标原点建立直角坐标系

·

·F ·

求曲线方程 xoy. 的基本步骤 是怎样的? x 设M(x,y)是抛物线上任意一点, 思考后举手 点M到l的距离为d. 设 FK ? p( p回答 >0),

l

p p 则焦点F的坐标为( , 0),准线的方程为x ? ? . 2 2

由抛物线的定义,抛物线就是点的集合 P ? ?M MF ? d ?,
p? p ? 所以 ? x ? ? ? y ? x ? 2? 2 ?
2 2

两边平方,整理得

y ? 2 px( p> 0)
2

二、探究新知

抛物线的标准方程

y2

= 2px(p>0)
K O

H

yd

M

·
x

其中p 为正常数,它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离.

·F ·

探 究

l

若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下,你能根 据上述办法求出它的标准方程吗? 各组讨论并分别求解开口不同时抛物线的标准 方程。

二、探究新知

抛物线的标准方程的其他形式
l
N M

· · F

l

N
H

y M

· · F
y F

x

· ·

F

M

M

· ·
N
O H x

l

l
N

图形
y H M x

标准方程

焦点坐标
?p ? ? ,0 ? ?2 ?

准线方程
x?? p 2

y 2 ? 2 px

O F l M y H

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F O x l y F O

如何确定抛物线焦 ? p ? p ? ? ,0 ? x? 2 ? 点位置及开口方向? ? 2
? p? 一次变量定焦点? p y? ? 0, ? ? 2?
2

M
x H H M

x2 ? 2 py

? p ? 0?

l
l y O F

开口方向看正负
x

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

三、知识迁移

请同学独立完成,然后同桌订正,有问题 举手问老师或小组讨论解决,3分钟

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. 2 (1) y ? 20 x (1) (5,),x ? ?5. 0

1 (2) x ? ? y 2 (3) 2 y ? 5 x ? 0
2 2

1 (4) y ? x 4
注意

2

1 1 (2) (0, ),y ? . ? 8 8 5 5 (3)( ? , 0),x ? . 8 8 (4)(0, 1 ),y ? ?1.

求抛物线的焦点或准线时,一定要先把方 程化为标准方程;

三、知识迁移
逐一独立完成,老师点名回答

根据下列条件求抛物线的标准方程?
1.抛物线的焦点坐标是 F(0,-2); 2.抛物线的准线方程是 y=-4;

x ? ?8 y
2

x ? 16 y
2

3.焦点在x轴负半轴,且焦点到准线距离 2 ; 3.焦点到准线的距离为 2. 2 y ? ?2 2x或y ? 2 2x或x ? ?2 y 2?或x 2x 2 2 y. y ?2 ?
2 2 2 2

4.M是抛物线y2 = 4x上一点,若点M到焦点F的 距离等于6,求点M坐标.
M (5,?2 5 )

三、知识迁移

独立思考,然后举手展示思路

例1、如果抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛 物线上一点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物 线方程.

例2、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x y1) 、B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么,|AB|等 于( )

例3、已知抛物线 y ? 8 x 的焦点为F,准线l 与x轴的交点为K, C为抛物线上一点.若CA⊥l 于点A ,且直线AF的斜率为 3 , 则 |CF|=_______
2

? 3
A

y

C

K

O

F

三、知识迁移
独立思考,然后举手展示思路

y l N
M

例2、动圆M经过点A(8,0) 且与直线l:x=-8相切,求动 圆圆心M的轨迹方程。 变式、点M与点F(4,0)的距离比 它到直线l:x+5=0的距离小1,求 点M的轨迹方程 y
x+5= 0 M

o

· · F

x

o

F(4, 0)

x

x+4=0

三、知识迁移

独立思考,然后举手展示思路

例3、已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M( 2,?2 2 ),求它的 标准方程。 变式、已知抛物线的顶点在坐标原点,对 称轴为坐标轴,并且经过点M( 2,?2 2 ),求它 y 的标准方程。
x

O


M

小结

圆锥曲线统一定义:
平面上动点到定点的距离与到定直线 距离之比是一个常数e, ( )当0 ? e ? 1时,动点轨迹为椭圆。 1 (2)当e ? 1时,动点轨迹为双曲线。 (3)当e ? 1时,动点轨迹为抛物线。

小结

课堂小结
1.抛物线定义及标准方程的推导. ? 2.标准方程的四种形式及其特征. ? 3.已知标准方程求焦点和准线. ? 4.根据已知条件求抛物线标准方程. ? 5.能运用抛物线定义解决有关问题。


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