极限与连续(习题课)(总)_图文

第2章 极限与连续 习 题 课

1

一、教学要求 1. 理解极限的概念. 2. 掌握极限四则运算法则. 3.了解两个极限存在准则, 会用两个重要极 限求极限. 4.了解无穷小、无穷大, 以及无穷小的阶的 概念. 会用等价无穷小求极限. 5. 理解函数在一点连续的概念. 6.了解间断点的概念,并会判定间断点的类型. 7.了解初等函数的连续性和闭区间上连续 函数的性质.
2

二、典型例题
极限求法 对某些不能直接利用四则运算法则的极限, 有时可采用下述方法: (1) 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系;

(2) 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的 性质;
(3) 消去零因子法; (4) 无穷小因子分出法;

3

(5) 根式转移法;

(6) 直接利用无穷大的概念判断;
(7) 利用左右极限求分段函数极限. 为了对求极限的方法有全面的了解,指出 还有下述方法:

(8) 利用夹逼定理;
(9) 利用连续函数的性质; (10) 利用等价无穷小代换; (11) 利用未定式求极限法.
4

(一)求极限
例 求 lim ( x ?
x???

x?
x? x?

x ?
x? x?

x ).
x ?x x ? x

(( ? ? ) ? ( ? ? ))

解 原 式 ? lim

x???

? lim

x? x? x?

x x ? x

x???

?

1 2

.

5

例 解

求 lim ( 2 ?
n? ?

4

2?
1 ? 1 2
2

2

n

2 ).
1 2
n

1 2

( 1? 1?

1 2 1 2
n

)

原 式 ? lim 2
n? ?
x

? ??

2

? lim 2
n? ?

? 2.

例 解

求 lim

a ?a x?b

b

x?b

( a ? 0, a ? 1).
b x?b

( ) 0

0

原 式 ? lim ? lim

a (a
b

? 1)

x?b

x?b a ( x ? b ) ln a x?b

x?b

? a ln a .
b

6

例 lim n ( n a ? n ? 1 a )( a ? 0 )
2 n? ?

(? ? 0)
x ? 0 , a ? 1 ~ x ln a
x

1 2 n? ?

1

? lim n a n ?1 ( a n
1

?

1 n ?1

? 1)

? lim n ( a
2 n? ?

n ( n ?1 )

? 1)
ln a ? ln a .

? lim n ?
2 n? ?

1 n( n ? 1)

7



求 lim

1? x ? 3 1? x e ?1
x

x?0

( ) 0

0

? lim

( 1 ? x ? 1) ? ( 3 1 ? x ? 1) x 1? x ?1 x
3

x?0

? lim

x?0

? lim

1? x ?1 x

x?0

?

1 2

?

1 3

?

1 6

.
2 3

类题

求 lim

1? x ?

1 ? 2 sin x
2 2

x?0

??

1 6

.

tan x

8

例 求 lim

(e

3x

?e

2x

)( 1 ? x ? 1)

x?0

ln( a ? x ) ? ln( a ? x ) ? 2 ln a
e
2x

( a ? 0 ).

( ) 0

0

解 原式 ? lim

( e ? 1)( 1 ? x ? 1)
x

x?0

ln( 1 ?
x

x a

2 2

)

当 x ? 0时 , e

2x

? 1,e ? 1 ~ x , 1 ? x ? 1 ~
x a
2 2

1 2

x,

ln( 1 ?

) ~ (?
1 x

x a

2 2

),

1? x ? 原式 ? lim
x?0

?

2 2 x a
2

??

a

2

.
9

2



求 lim

ln( 1 ? 3 )
x x

x???

ln( 1 ? 2 )
x

.
1 3 1 2
x

(
) )

? ?

)



ln 3 (1 ? 原式 ? lim
x???

ln 2 (1 ?
x

x

x ln 3 ? ln( 1 ? ? lim
x???

1 3 1 2
x

)

?

ln 3 ln 2

.

x ln 2 ? ln( 1 ?

) x

10

x ? 0 , ln( 1 ? x ) ~ x ,

m

1? x ?1 ~

1 m

x

例 lim

( 1 ? 2 x ? 1 )e ln( 1 ? 3 x )
2x

2x

x? 0

? lim e
x? 0

lim

1? 2x ?1 ln( 1 ? 3 x )

x? 0

? 1 ? lim

1? 2x ?1 ln( 1 ? 3 x )

x? 0

1 ? lim 2
x? 0

? (?2 x ) 3x

? ?

1 3

11



求 lim (sin
x???

x ? 1 ? sin

x ).

? lim 2 cos
x???

x?1? 2 x?1?
2
1 x

x
x

sin

x?1? 2 1

x

? lim 2 cos
x???

sin

2( x ? 1 ?

x)

? 0.



求 lim? x .
x?0
?

(0 )
1

?

1

解 原 式 ? lim e
x?0

ln x x

? e x?0

lim

?

x

ln x

? 0.

12



求 lim sin( ?
n? ?

n ? 1 ).
2

? lim sin( ?
n? ?
n

n ? 1 ? n? ? n? )
2

? lim ( ? 1) sin( ?
n? ?
2

n ? 1 ? n? )
2
2 2 2

? lim ( ? 1) sin(
n n? ?

? ( n ? 1) ? n ? ? n ? 1 ? n?
2

)

? lim ( ? 1) sin
n n? ?

?
2

2

? n ? 1 ? n?

? 0.

13

例 求 lim
? lim

sin( a ? 2 x ) ? 2 sin( a ? x ) ? sin a x
x
2

x?0

2

. ( ) 0

0

2 sin( a ? x ) cos x ? 2 sin( a ? x )

x?0

? lim 2 sin( a ? x )
x?0

cos x ? 1 x
2

? 2 sin a ?

?1 2

? ? sin a .

14

例 当 x ? 1时 ,
求 lim (1 ? x )(1 ? x )(1 ? x ) ? (1 ? x
2 4 n? ? 2
n

).



将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x ) ? (1 ? x
2 4 2
n

原 式 ? lim
? lim
n? ?

)

n? ?
2 2

1? x
(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x ) ? (1 ? x
4 2
n

)

1? x
2
n

? lim
n? ?

(1 ? x

)(1 ? x

2

n

)

1? x
.

? lim
n? ?

1? x

2

n?1

1? x
2
n?1

?

1 1? x

(? 当 x ? 1时 , lim x
n? ?

? 0 .)
15



求 lim (
x?0

1 ? tan x 1 ? sin x

1

)

x

3

.

(1 )
1

?

解 原 式 ? lim [1 ? (
x?0

1 ? tan x 1 ? sin x
1 ? sin x

? 1)]
1

x

3

? lim[1 ?
x?0

tan x ? sin x

]

x

3

? lim
x?0

tan x ? sin x 1 ? sin x

?

1 x
3

? lim
x?0

sin x (1 ? cos x )

(1 ? sin x ) cos x x

?

1
3

sin x 1 ? cos x 1 1 ? lim ? ? ? ? 2 x?0 x x (1 ? sin x ) cos x 2
1

? 原式 ? e 2 .

16

1 3 5 2n ? 1 例 设xn ? ? ? ? ? ? , 求 lim x n . n? ? 2 4 6 2n

( P38 1( 3 ))

2 4 8 2n , 则0 ? x ? y , 解 设yn ? ? ? ? ? ? n n 3 5 7 2n ? 1

? 0 ? xn ? xn yn ?
? 0 ? xn ? 1 2n ? 1

2

1 2n ? 1



?0

? lim x n ? 0 .
n? ?

17

例 设x n?1 ?

1 2

( xn ?

a xn
a

), 其 中x1 ? 0, a ? 0, 证 明 lim x n
n? ?

存在,并求其值 .

证 ? x n?1 ?
1 x n?1 xn ? 2

xn ?

?

a,

xn

? x n 有 下 界.

( xn ? xn

a xn

) ?
1 2 (1 ? a xn
2

) ?

1 2

(1 ?

a
2

)?1

a

(或 x n ? 1 ? x n ?

1

(

a

2 xn

? xn ) ?

1 2

(

a a

?
?

a ) ? 0)

? x n 单 调 下 降 且 有 界 ,? lim x n ? A.
n? ?
18

? x n?1 ?

1 2

( xn ?

a xn

),

两边取极限
A? 1 2
n? ?

(A?

a A

),

? A ? ? a (舍 去 负 值)
a.

? lim x n ?

19

思考题
设 0 ? x1 ? 3, x n?1 ? x n ( 3 ? x n ) ( n ? 1 , 2 , ? ),

证明数列 { x n }的极限存在 , 并求此极限 .



3 ? x 1 均为正数,

3? ? ? 答案 : ? 2? ?
3 2

故 0 ? x2 ?
3 2

x1 ( 3 ? x1 ) ?

1 2

( x1 ? 3 ? x1 ) ?

设 0 ? x k ? ( k ? 1 ), 则
0 ? x k ?1 ? xk (3 ? xk ) ?

1 2

( xk ? 3 ? xk ) ?

3 2

,

由数学归纳法知, 对任意正整数 n ? 1 均有
0 ? xn ? 3 2 .

因而数列{ x n } 有界.
20

又当
?

n ? 1时 , x n ? 1 ? x n ?

xn (3 ? xn ) ? xn

xn ( 3 ? xn ?

xn ) ?

xn (3 ? 2 xn ) 3 ? xn ? xn

? 0,

(? 0 ? x n ?

3 2

)

因而有 x n ? 1 ? x n ( n ? 1 ), 即数列{ x n }单调增加. 由单调有界数列必有极限知 lim xn存在. n? ?
设 lim x n ? a ,
n? ?

在 x n?1 ?

xn (3 ? xn )

两边取极限,得 解之得 a ?
3 2

a?

a(3 ? a ),
故 lim x n ?
n? ?

, a ? 0 (舍去).

3 2

.
21



证 明 :y ?

1 x

sin

1 x
?

在( 0,1]是 一 个 无 界

( P30 6 )

变 量, 但 当x ? 0 时, f ( x )不 是 无 穷 大 .

22



证 明 :y ?

1 x

sin

1 x
?

在( 0,1]是 一 个 无 界

变 量, 但 当x ? 0 时, f ( x )不 是 无 穷 大 .

证 (1) 取 x k ?

1 2 k? ?

?
2

? ( 0,1]( k ? 0,1,2,3, ?)
?
2

k ? ??

lim y ( x k ) ? lim 2 k ? ?
k ? ??

? ?? ,

无界.

( 2) 取 x ? ? k

1 2 k?

( k ? 0,1,2, 3, ?)

? ? 当 k ? ?? 时 , x ? ? 0 , y ( x ? )为 y ( x )当 x ? 0 时的子列 , k k

但 y ( x ? ) ? 2 k ? sin 2 k ? k
?

?0??
23

当 x ? 0 时 , f ( x )不 是 无 穷 大.

2 x ? x 是 x 的几阶无穷小? 解1 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则 3
3

例 当 x ? 0时 ,

lim

x ?
2

x

x?0 3

x

k
2

? C ? 0, k ? 0

0 ? C ? lim

x ? x
k

x

x?0

? lim


3

x?0

? ?3k ? 2? 3 k ? ? 1, x ? x2 ? ? ?, 1 k? . 6
1

0,

当k ?

1 6

当k ?
当k ?

1 6
1 6
24

例 当 x ? 0时 ,

3

x ?
2

x 是 x 的几阶无穷小?

解2 设其为 x 的 k 阶无穷小,则
3

lim

x ?
2

x

x?0

x

k

? C ? 0, k ? 0

? ? o (? ) ~ ?

?x ?
2

x ~
2

x ( x ? 0)
1 3

?

3

x ?
k? 1 6

x ~
.

x ? x 6 ( x ? 0)



25

(二)已知极限, 求参数 例 已 知 lim ( 5 x ? ax 2 ? bx ? c ) ? 2, 求 a , b .
x???

解 左 边 ? lim

25 x ? ( ax ? bx ? c )
2 2

x???

5x ?

ax ? bx ? c
2

? lim

( 25 ? a ) x ? bx ? c
2

x???

5x ?

ax ? bx ? c
2

? 25 ? a ? 0 ? b ? a ? 25 . 要 使 上 式 ? 2, 必 须 ? ?2 ?? ? b ? 20 ? a ?5 ?
26

已 知 lim (
x??

x ?1
2

x?1

? ax ? b ) ? 3, 求 常 数a、 b .
2

解 原极限= lim x??
? ? ?

(1 ? a ) x ? ( b ? a ) x ? 1 ? b x?1
?
? a ? ? ?b ?

?3

1? a ? 0

1

b?a ? 3

4.
? 0 , 则 lim f ( x ) ? 0 .

注意:

若 lim g ( x ) ? 0 , 且 lim

f (x) g( x)

因为

lim f ( x ) ? lim

f (x) g( x)

? g ( x ) ? 0.
27




试确定常数 a , 使 lim ? 3 1 ? x 3 ? ax ? ? 0 .
x? ?

令t?

1 x

,则 当 x ? ? 时 , t ? 0.
3

0 ? lim
t? 0

?
3

1?

1 t
3

?

a t

3

? ? lim
t? 0
3 3

t ?1?a
3

t

? lim ( t ? 1 ? a ) ? lim
3 t?0 t?0

( t ? 1 ? a) t

?t ? 0

即 ? 1 ? a ? 0 ? a ? ?1
可 验 证 当 a ? ? 1时 , 原 极 限 式 成 立.
28

试确定常数 a , 使
x? ??

lim [ x ? 1 ? ax ] ? 0
2



0 ? lim [ x ? 1 ? ax ]
2 x?? ?

(a ? 0)

? lim
2

x ?1 ? a x
2 2 2

2

x? ??

x ? 1 ? ax

? a ?1

?a ? 1

29

1

例 已知当 x ? 0时 , ( 1 ? ? x 2 ) 3 ? 1与 cos x ? 1是
等价无穷小 , 求常数 ? .
1

1



lim

(1 ? ? x ) ? 1
2 3

x? 0

cos x ? 1
1

?1

(1 ? x )

m

?1 ~

1 m

x

( x ? 0)

? (1 ? ? x ) ? 1 ~
2 3

1 3

?x ,
2

cos x ? 1 ~ ?

1 2

x

2

1

?x
1 2 x

2

? 原极限= lim

3 ?
2

x? 0

??

2 3

? ?1 ? ? ??

3 2

.

30

例 设 p( x )是 多 项 式, 且 lim
lim p( x ) x 3 p( x ) ? x ? 2, 解 ? lim 2 x?? x
x?0

p( x ) ? x x
2

3

x??

? 2,

? 1, 求 p( x ).

? 可 设 p ( x ) ? x ? 2 x ? ax ? b ( 其 中 a , b 为 待 定 系 数)
3 2

又 ? lim

p( x ) x
3

x?0

? 1,
2

? p( x ) ? x ? 2 x ? ax ? b ~ x
从而得 b ? 0, a ? 1.
3 2

( x ? 0)

故 p( x ) ? x ? 2 x ? x .
31

(四) 连续与间断
例 解
? x ?1, x ? 1 ? 讨 论f ( x ) ? ? 的 连 续 性. ?x , x ?1 ?cos 2 ?

将 f ( x )改写成

x ? ?1 ?1 ? x , ? ?x ? f ( x ) ? ? cos ,?1? x ?1 2 ? x ?1 ? x ? 1, ?
显然 f ( x ) 在 ( ?? , ? 1 ), ( ? 1 ,1 ), ( 1 , ?? )内连续 .
32

当 x ? ? 1时 ,
x ? ?1

lim ? f ( x ) ? lim ? ( 1 ? x ) ? 2 .
x ? ?1

x ? ?1 ?1 ? x , ? ?x ? f ( x ) ? ? cos ,?1? x ?1 2 ? x ?1 ? x ? 1, ?

? lim ? f ( x ) ? lim ? f ( x )
x ? ?1 x ? ?1

x ? ?1

lim ? f ( x ) ? lim ? cos
x ? ?1

?x 2 ?x 2

? 0.

故 f ( x )在 x ? ? 1间 断 .

当 x ? 1时 ,
lim ? f ( x ) ? lim ? cos
x?1

x?1

? 0.

? lim ? f ( x ) ? lim? f ( x )
x?1 x?1

lim? f ( x ) ? lim ? ( x ? 1 ) ? 0 .
x?1 x?1

故 f ( x )在 x ? 1连 续 .

? f ( x )在 ( ? ?, ? 1) ? ( ? 1, ? ? )连 续 .
33

例 求下列函数的间断点,并分类.
(1) f ( x ) ? x ?x
2

x ( x ? 1)
2

,

解 令 x ( x 2 ? 1 ) ? 0, 得 x ? 0 , x ? ? 1 为 间 断 点.
x ? 0点 ,
?

f ( 0 ) ? lim?
x?0 2

?

x ?x
2

x ( x ? 1)
2

? lim?
x?0

x ?x
2

? x ( x ? 1)
2

? ? 1,

f ( 0 ) ? lim?
x?0

x ?x x ( x ? 1)
2

? lim?
x?0

x ?x
2

x ( x ? 1)
2

? 1,

? f ( 0 ) ? f ( 0 ),

?

?

x ? 0点 为 第 一 类 跳 跃 间 断 点 .
34

x ? 1点, lim

x ?x
2

x ?1

x ( x ? 1)
2

? lim

x x ( x ? 1)

x ?1

?

1 2

x ? 1点 为 第 一 类 可 去 间 断 点 .
x ? ? 1点 ,

x ? ?1

lim

x ?x
2

x ( x ? 1)
2

? lim

x x ( x ? 1)

x ? ?1

??

x ? ? 1点 为 第 二 类 无 穷 间 断 点 .

35

1

( 2) f ( x ) ?

2x ?1
1

,

2x ?1



x ? 0点 为 间 断 点,
1

f ( 0 ) ? lim?
x?0

?

2x ?1
1

? 1,
x ? 0点 为 第 一 类 跳跃间断点 .

2x ?1
1 x

f ( 0 ) ? lim? 2 ? 1 ? ? 1,
? x?0
1

2x ?1

36

例 求

0? 1

并判别其类型. 的间断点,
1

解 x ? ? 1 , x ? 1 , x ? 0 是间断点,
x ? ? 1, lim

(1 ? x ) sin x x ( x ? 1)( x ? 1)

x ? ?1

?

1 2

sin 1 ,

x = –1为第一类可去间断点.
x ? 1, lim f ( x ) ? ? ,
x? 1

x = 1为第二类无穷间断点.
x ? 0 lim? f ( x ) ? ? 1 ,
x? 0
x? 0

lim? f ( x ) ? 1 ,
37

x = 0为第一类跳跃间断点.

例 讨论函数

x arctan f (x) ? sin ? 2

1 x ? 1 的连续性, 并判断其间 x

断点的类型 .


x?1

x ? 1,
?

0 , ? 2, 4, , 2 n , ? ? ? ?
,
lim ? f ( x ) ?
x?1

是间断点.
x ? 1 是第一类

lim ? f ( x ) ? ?

?
2

,

2

跳跃间断点.
x?0 是

lim f ( x ) ? lim x?0

x arctan

1 x ?1 ? x

?

?

x? 0

?
2

4 ? ? 1, ? 2 2

第一类可 去间断点.

? 2, 4, ,n, ? 是第二类无穷间断点. ? ?2

例 设函数

有无穷间断点

x ? 0 及可去间断点 x ? 1 , 试确定常数a 及 b.


x

为无穷间断点, 所以
e ?b ( x ? a )( x ? 1) ? ? ? lim
( x ? a )( x ? 1) e ?b
x x?0

lim

x?0

?

a 1? b

?0

? a ?0,b?1

为可去间断点, ? lim x ?1
? lim ( e ? b ) ? 0 ?
x x ?1

e ?b
x

x ( x ? 1)
x

极限存在

b ? lim e ? e
x ?1
39

例 设 f ( x ) ? lim
求 a、 b .

x

2 n ?1

? ax ? b
2n

n? ?

x

?1
| x |? 1 | x |? 1

为 连 续 函 数,



? ? f (x) ? ? ? ?

ax ? b
1 x

1 2
1 2

? f ( x )连续 ,
(1 ? a ? b )
(?1 ? a ? b)

x ?1
x ? ?1

? ? ? x ? ? 1时 , f ( ? 1 ) ? f ( ? 1 ) ? f (? 1 ) 即

? 1? ?a ? b ?

1 2

( ?1 ? a ? b )
40

?1 ?x f (x) ? ? 1 (1 ? a ? b ) ?2 ? 1 (?1 ? a ? b)
2

ax ? b

| x |? 1 | x |? 1

? 1? ?a ? b ?

1 2

( ?1 ? a ? b )

? f ( x )连续 ,

x ?1
x ? ?1

? x ? 1时 ,

f ( 1 ) ? f ( 1 ? ) ? f (1 )
a?b?1?
1 2 (1 ? a ? b )

?



得 b ? 0, a ? 1
41

例 设函数 f ( x ) 在 ( ?? , ?? )内有定义 , 对任意实数 x, y 满足关系式 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y )
且 f ( x ) 在 x ? 0 点连续 . 试证 f ( x ) 在 ( ?? , ?? )内

处处连续. 证
x ? x0

任取 x 0 ? ( ?? , ?? ),
?x ? 0

lim f ( x ) 令 ? x ? x ? x 0 lim f ( x 0 ? ? x )

= lim [ f ( x 0 )+ f ( ? x )] ? lim f ( x 0 ) ? lim f ( ? x )
?x ? 0

?x? 0

?x? 0

? f ( x 0 ) ? f ( 0 ) ? f ( x 0 ? 0 ) ? f ( x0 )

?x? 0

lim f ( ? x ) ? f ( 0 )

所以,

f ( x ) 在 ( ?? , ?? )连续 .
42

[ 例 设 f ( x )在 闭 区 间 0,1]上 连 续, 且 f ( 0) ? f (1), 证 明 必 有 一 点 ? [0,1], 使 得 f (? ? ? 1 2 ) ? f (? ).

证 令 F ( x ) ? f ( x ? ) ? f ( x ),
则 F ( x )在 [ 0 ,
1

1

1 2

2

]上连续 .
F ( ) ? f ( 1 ) ? f ( ), 2 2 f (0 ? 1 1 2 1 ) ? f ( 0 ); 1 1 1

? F ( 0 ) ? f ( ) ? f ( 0 ), 2

讨论:

若 F ( 0 ) ? 0 , 则 ? ? 0,
若 F ( ) ? 0, 2 1

则? ?

1 2

, f ( 2 ? 2 ) ? f ( 2 );
43

若 F (0) ? 0, F ( ) ? 0, 则 2
F ( 0 ) ? F ( ) ? ? [ f ( ) ? f ( 0 )] 2 2 1 1
2

1

? 0.

由零点定理知, ? ? ? ( 0 , ), 使 F ( ? ) ? 0 .
2

1

即 f (? ?

1 2

) ? f (? )成 立.
1

综上, 必有一点 ? ? [ 0 , ] ? [ 0 ,1 ],
2

使 f (? ?

1 2

) ? f (? ) 成 立.
44

求 lim (1 ? 2 ? 3 ) .
x x x???

1 x

(类 题 P38 2( 4 ))
x
1 x

解 令 f ( x ) ? (1 ? 2 ? 3 ) ? 3 ? ( ) ? ( ) ? 1 ?
x

1 3

x

2 3

x

1 x



3?

f ( x)

? 3?3

1 x

利用夹逼准则可知
x???

lim f ( x ) ? 3 .

45





均在

上连续, 证明函数

( P48 2 )

也在 证

上连续.
f ( x ) ? g( x )
? f ( x ) ? g( x )

根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 .
46

P50 5

证明: 若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内连续, lim f ( x )
x??

存在, 则 f ( x ) 必在 ( ? ? , ? ? ) 内有界. 证 令 lim f ( x ) ? A , 则给定 ? ? 0 , ? X ? 0 , 当 x ? X
x??

时, 有

A ? ? ? f ( x) ? A ? ?

又 f ( x ) ? C [ ? X , X ] , 根据有界性定理, ? M 1 ? 0 , 使
f ( x) ? M1 , x ? [? X , X ]

取 则

y M 1 f ( x)
A
?X
O

M ? max ? A ? ? , A ? ? , M 1 f ( x ) ? M , x ? (? ? , ? )

?

X
47

x

( P50 6 ) 设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内连续, lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? B
x?a x?b

又存在 x 1 ? ( a , b ), 使 得 f ( x 1 ) ? B,
证 明 f ( x )在 (a, b) 上 有 最 大 值.
? B, x ? a, b 证 令 F ( x) ? ? ? f ( x ), x ? ( a , b )

则 lim? F ( x ) ? lim? f ( x ) ? B ? F (a )
x?a x?a

F ( x )在 x ? a 点 右 连 续 F ( x )在 x ? b 点 右 连 续
48

x?b

lim? F ( x ) ? lim? f ( x ) ? B ? F (b )
x?b

? F ( x )在[ a , b ]上 连 续.

( P50 6 ) 设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内连续, lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? B
x?a x?b

又存在 x 1 ? ( a , b ), 使 得 f ( x 1 ) ? B,
证 明 f ( x )在 (a, b) 上 有 最 大 值.
? B, x ? a, b 令 F ( x) ? ? F ( x )在[ a , b ]上 连 续. ? f ( x ), x ? ( a , b )

? F ( x )在[ a , b ]上 存 在 最 大 值. 又 ? x 1 ? ( a , b ), 使 得 f ( x 1 ) ? B ? F ( a ) ? F ( b ) ? F ( x )在[ a , b ]上 的 最 大 值 一 定 在 a , b )内 部 取 得, ( 即 ? x 2 ? ( a , b ), 使 得 ? x ? [ a , b ], F ( x ) ? F ( x 2 ) ? f ( x 2 ) ? ? x ? ( a , b ), f ( x ) ? f ( x 2 ),即 f ( x )在 (a, b) 上 有 最 大 49 . 值

( P50 7 ) 设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内连续, lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? ? ?
x?a x?b

证 明 f ( x )在 (a, b)内 有 最 小 值.



? lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? ? ?
x?a x?b

? 对 于 f ( x 1 ) ( x 1 ? ( a , b )), ? ? 1 ? 0, 使 得 当 x ? ( a , a ? ? 1 )时 , f ( x ) ? f ( x 1 ); ? ? 2 ? 0, 使 得 当 x ? ( b , b ? ? 2 )时 , f ( x ) ? f ( x 1 );

又 f ( x ) ? C (a , b )

? f ( x ) ? C [a ? ? 1 , b ? ? 2 ] x 2 ? [a ? ? 1 , b ? ? 2 ]

? f ( x )在[ a ? ? 1 , b ? ? 2 ]上 有 最 小 值, 设 为 f ( x 2 )
50

( P50 7 ) 设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内连续, lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? ? ?
x?a x?b

证 明 f ( x )在 (a, b)内 有 最 小 值. 令 m ? min( f ( x 1 ), f ( x 2 )), 有 ? x ? ( a , b ), f ( x ) ? m 成 立 即 f ( x )在 (a, b)内 有 最 小 值m .

51

?1 ? x ? 0 0 ? x ? 1 的反函数及其定义域. 例 求 y? x ?1 y 2e , 1? x ? 2 2e 2 解 当 ? 1 ? x ? 0 时, y ? x ? ( 0 , 1 ] , x , ln x ,

2

则 x ? ? y , y ? ( 0 , 1]

当 0 ? x ? 1 时, y ? ln x ? ( ? ? , 0 ] , 则 x ? ey , y ?(? ?, 0] 当 1 ? x ? 2 时, y ? 2 e x ?1? ( 2 , 2 e ] , y 则 x ? 1 ? ln 2 , y ? ( 2 , 2 e ]
反函数 y ?

2
1 ? 1O 1 2 x

定义域为
( ? ? , 1] ? ( 2 , 2 e ]
52

例 证明方程

2

x

? 1? x

2

至少有三个根

.

证 原方程变形为 2 x ? 1 ? x 2 ? 0 令 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x 2 ? C ( ?? , ?? )
x ? ?? x 2 lim( 2 ? 1 ? x )? ?? ,

x ? ??

lim( 2 ? 1 ? x ) ? ??
x 2

f ( 0 ) ? f (1 ) ? 0 ,

f ( 2 ) ? ? 1, f ( 5 ) ? 6 ,

在 [2,5]之间用零点定理.

53

求极限
1

1. lim [( 3 ? 2 x )e x ? 2 x ]
x?? 1 x ?? x ?? 1

? lim 3e x ? lim 2 x (e x ? 1)

? 3 ? lim 2 x ?
x ??

1 x

?1

54

1

2.

lim (
x?0

2?ex
4

?

sin x x

)

1? e x
1

? lim? (
x ?0

2?ex
4

?

sin x x

)

1? e
?

x
?

4 x

3 x

? lim? (
x ?0

2e e

?e

?

4 x

?

sin x x

)?1

?1

55

1

lim (
1 x ?0

2?ex
4

?

sin x x

)?1

x ?0

lim? (

2?e 1? e

x 4 x
1

?

sin x x

1? e

x

) ?1
1

又 lim? (
x ?0

2?ex
4

?

sin x x

) ? lim (
x ?0
?

2?ex
4

?

sin x x

)

1? e

x

1? e

x

? 2?1 ? 1
56

1

而 lim (
x ??

2?ex
4

?

sin x x

)?

2?1 1?1

?0 ?

3 2

1? e x

57

4.

lim (
x? 0

a

x

?b ?c
x

x

1

)x
x x

3
a
x

1

?



原式 ? lim ( 1 ?
x? 0

?b ?c 3

1

? 1) x
1

? lim ( 1 ?
x? 0

a

x

?b ?c ?3
x x

)x
a ?b ?c ?3 1 ? 3 x
x x x

3

3 x x x ? a ? b ? c ? 3 ax ?bx ?cx ?3 ? ? lim ? ( 1 ? ) ? x? 0 3 ? ? ? ?

3 x x x ? a ? b ? c ? 3 ax ?bx ?cx ?3 ? ? lim ? ( 1 ? ) ? x? 0 3 ? ? ? ?

a ?b ?c ?3 1 ? 3 x
x x x

1

? ( abc ) 3

? lim

a

x

?b ?c ?3
x x

x? 0

?

1 x

3

?

1 3

[ lim

a

x

?1 x

x? 0

? lim

b

x

?1 x
1

x? 0

? lim

c

x

?1 x

x? 0

]

?

1 3

(ln a ? ln b ? ln c ) ? ln( abc ) 3


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