沈阳二中第2次模拟测试数学(理科)试题


沈阳二中第 2 次模拟测试数学(理科)试题
说明:1、测试时间:120 分钟 总分:150 分;

2、客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的对应位置上。

第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确 答案的序号涂在答题卡上.) 1.若复数

a+3i (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1+2i
(B)4 (C)-6 (D)6



(A)-2

2. 已知集合 M ? {0,1} ,则满足 M ? N ? {0,1,2} 的集合 N 的个数是( A.2 B.3 C.4 D.8



3.若函数 y ? f ( x)的图象和y ? sin(x ? ( ) A. cos(x ?

?

)的图象关于点P( ,0)对称, 则f ( x) 的表达式是 4 4
C. ? cos(x ?

?

?
4

)

B. ? cos(x ?

?
4

)

?
4

)

D. cos(x ?

?
4

)


a3 ? 8, a7 ? 20 , 4. 等差数列 {a n } 中, 若数列 {
A、14 B、15 C、16

1 4 } 的前 n 项和为 , 则 n 的值为 ( a n a n ?1 25
D、18

5. 若 ? ? [0,2? ) , OP1 ? (cos? , sin? ), OP2 ? (3 ? cos? ,4 ? sin? ) ,则 P1 P2 的取值范围是 ( ) B.[3,7]
10

A.[4,7]

C.[3,5] ) C.第 8 项 )
2

D.[5,6]

? 2 2 ? ? 6.二项式 ? ?x ? ? 展开式中常数项是( x? ?
A.第 10 项 B.第 9 项 7.下列有关命题的说法正确的是(
2

D.第 7 项

A.命题“若 x ? 1, 则x ? 1”的否命题为: “若 x ? 1, 则x ? 1 ” B. “x=-1”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

C.命题“ ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题

8. 如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1 、 O2 , 这两个球相外切,且球 O1 与正方体共顶点 A 的三个面相切, 球 O2 与正方体共顶点 B1 的三个面相切,则两球在正方体的 面 AA1C1C 上的正投影是( )

A
O1

C

A1

O2
B1

C1

A

B

C

D

9.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A= a4

a1

a2

a3

3 2 的概率为 . 记 ? ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 , 当程序运行一次时,? 的数学期望 E? ? ( 3 8 16 11 65 A. B. C. D. 27 81 3 81

a5 ,其中 A 的各位数中, a ? 1, a (k ? 2,3,4,5) 出现 0 的概率为 1 ,出现 1 1 k )

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 10.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值 ? x ? 0, y ? 0, ?
1,则

1 1 ) ? 的最小值为 ( a b 25 8 A. B. 6 3
2

C.

11 3

D.4

11.点 P 是曲线 x ? y ? 2 ln x ? 0 上任意一点,则点 P 到直线 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 的最小距 离是( A. ) B.

2 (1 ? ln 2) 2

2 (1 ? ln 2) 2

C.

2 1 ( ? ln 2) 2 2

D.

1 (1 ? ln 2) 2

12.定义在 R 上函数 f(x)满足 f(0)= 0,f(x)+ f(1-x)=1,且 f ( ) ? 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( A.

x 5

1 f ( x) 2

1 ) ?( 2011

) D.

1 2

B.

1 16

C.

1 32

1 64

第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.一盒中装有分别标记着 1,2,3,4 的 4 个小球,每次从袋中取出一只球,设每只小球被 取出的可能性相同.若每次取出的球不放回 盒中,现连续取三次球,求恰好第三次取出 ... 的球的标号为最大数字的球的概率是 . 14 . 某 程 序 框 图 如 图 所 示 , 该 程 序 运 行 后 输 出 的 S 的 值 是 。 15、定义运算 a ? b 为: a ? b ? ?

?a ?a ? b ? , 例如,1 ? 2 ? 1 ,则 ?b?a ? b ?

函数 f(x)= sin x ? cos x 的值域为 16.已知 ?ABC 的三个顶点均在球 O 的球面上,且 AB=AC=1, ?BAC ? 120? ,直线 OA 与平面 ABC 所成的角的正弦值 为

6 ,则球面上 B、C 两点间的球面距离为 3


第 14 题图

三、 解答题: (本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c,且 3 (tan A ? tan B) ? 1 ? tan A ? tan B. (I)若 a ? ab ? c ? b ,求 A、B、C 的大小;
2 2 2

(II)已知向量 m ? (sin A, cos A), n ? (cos B, sin B), 求 | 3m ? 2n | 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中点。
?

PA ? PD ? AD ? 2
(1)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC , 试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (2)在(1)的条件下,若平面 PAD ? 平 面 ABCD,求二面角 M ? BQ ? C 的大小。

19. (本小题满分 12 分) 在中国西部博览会期间, 成都吸引了众多中外额商和游人, 各展馆都需要大量的志愿者参加 服务。现将 5 名大学生志愿者(3 男 2 女)随机分配到 A、B、C、D 四个不同的展馆服务, 要求每个展馆至少一名志愿者。 (Ⅰ)求两名女志愿者不在同一展馆服务的概率; (Ⅱ)求在 A 展馆服务的男志援者的人数 ? 的分布列和数学期望。 20. (本小题满分 12 分) 过 x 轴上动点 A(a,0) 引抛物线 y ? x ? 1 的两条切线 AP 、 AQ , P 、 Q 为切点.
2

(1)若切线 AP , AQ 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,求证: k1 ? k2 为定值,并求出定值; (2)求证:直线 PQ 恒过定点,并求出定点坐标;

y

? 最小时,求 AQ ? AP 的值. (3)当 ??? | PQ |

S ?APQ

???? ??? ?

Q A O

P
x

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? ln x . (Ⅰ)若 f ( x) 无极值点,但其导函数 f ?( x) 有零点,求 a 的值;

3 (Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f ( x) 的极小值小于 ? . 2
四、选做题:共 10 分 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于⊙O,且 AB=AC,过点 A 的直线 交⊙O 于点 P,交 BC 的延长线于点 D。 (I)求证: AC ? AP ? AD;
2

AC (II) 若 ?ABC ? 60? , ⊙O 的半径为 1, 且 P 为弧 ?
的中点,求 AD 的长。 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标与参数方程 已知直线
l

经过点 P(1,1) ,且
l

l

的一个方向向量 v ? ( 3,1).

?

(I)写出直线 (II)设
l

的参数方程;
2 2

与圆 x ? y ? 9 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点间的距离之积。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 | x ? a |?

c c ,| y ? b |? , 求证:|2x-3y-2a+3b|<c. 4 6

沈阳二中下学期第 2 次模拟测试数学(理科)试题参考答案 一、 选择题 CCBCBB 二、 填空题 13. 1 .
3

DBCDBC
14. ?

1 2

15. ? ? 1,

? ?

2? ? 2 ?

16.

3 ? 3

解答题 17.解:? 3 (tan A ? tan B) ? 1 ? tan A ? tan B, 又?ABC 为锐角三角形,
? tan A ? tan B 3 3 ? ,? tan(A ? B) ? 1 ? tan A ? tan B 3 3

?0 ? A ?

?
2

,0 ? B ?

?
2

.? ?

?
2

? A? B ?

?
2

.

?A? B ?
2

?
6

. ??????????????????????3 分
2 2

(I)? a ? ab ? c ? b ,

? cos C ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,? C ? . 2ab 2 3

? ?A ? B ? C ? ? , 5? ? ? ?A? , B ? , C ? . ?????6 分 ? ? 5? ? 12 4 3 ? 由? A ? B ? , 解得A ? ,B ? . 6 12 4 ? ? ? C? ? 3 ?
(II)|3m-2n|2=9 m 2+4n2-12 m·n =13-12(sinAcos B +cosAsin B) =13-12sin(A+B)=13-12sin(2 B + ∵△ABC 为锐角三角形,A-B= ∴C=π -A-B<

? ? ? ? 5? ? ? ? ,A= +B< . ? ? B ? , ? 2B ? ? . 6 3 2 6 6 2 6 2 ? 1 ? sin(2 B ? ) ? ( ,1). ∴|3m-2n|2∈(1,7). ??????????12 分 6 2
18.解: (1)当 t ?

? , 6

? ).?????????9 分 6

1 时, PA // 平面 MQB 3 下面证明:若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC , AQ AN 1 ? ? ? BC NC 2 . . . . . . . . .2分

? PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC , 平面 PAC ? 平面 MQB ? MN , ? PA // MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4分 PM AN 1 1 1 即: PM ? PC ?t ? ? ? 3. PC AC 3 3 . .6分
(2)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD。 .7分 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,连 BD, 四边形 ABCD 为菱形, ∵AD=AB, ∠BAD=60°△ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ. . . . . . . . . . . .8分 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为 A(1,0,0) ,B( 0, 3, 0 ) ,Q(0,0,0) ,P(0,0, 3 ) 设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x , y, z ? ,可得

? ??? ? ? ??? ? ? ? ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? ? 3y ? 0 ,? PA // MN ,? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ,? ? ? ?n ? MN ? 0 ? ?n ? PA ? 0 ? ? x ? 3z ? 0
取 z=1,解得 n ? ( 3, 0,1) . . . . . . . . . . .10分

取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 设所求二面角为 ? , 则 cos? ?
.

?

?

| QP ? n | | QP || n |

?

1 2

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°. . . . . . . . . . . . . .12分

20.(1) y ' ? 2 x , l AP : y ? 2 x p ( x ? a) ,

即 y p ? 2 x p ( x p ? a ) ,即 y p ? 2 x p a ? 2 , 同理 yQ ? 2 xQ a ? 2 ,所以 lQP : y ? 2 xa ? 2 。联立 PQ 的直线方程和抛物线方程可得:

x2 ? 2 xa ? 1 ? 0 ,所以 x p xQ ? ?1, x p ? xQ ? 2a ,所以 k1 ? k2 ? 2 x p ? 2 xQ ? ?4 ??6 分
(2)因为 lQP : y ? 2 xa ? 2 ,所以直线 PQ 恒过定点 (0, 2) ????8 分 (3) S?APQ ? PQ ?

S ?APQ d 2a 2 ? 2 a2 ? 1 d 2 ? ? ? ? ,所以 ??? ,设 t ? 4a ? 1 ? 1 , 2 2 2 | PQ | 2 2 4a ? 1 4a ? 1

? ? 所以 ???

S ?APQ

| PQ | ???? ??? ? ? ( x p ? a, y p ) ? ( xQ ? a, yQ ) ? x p xQ ? a( x p ? xQ ) ? a 2 ? y p yQ AQ ? AP 因为
因为 y p yQ ? (2 x p a ? 2)(2 xQ a ? 2) ? 4a x p xQ ? 4 ? 4a( x p ? xQ ) ? 4a ? 4
2 2

t2 ? 3 3 2 ,当且仅当 t ? 3 取等号,即 a ? ? 。 ? 2 4t 2

所以 AQ ? AP ? 3a 2 ? 3 ? 21.解 (Ⅰ)首先, x ? 0

???? ??? ?

9 ????12 分 2

f /( x) ? 2ax ? 2 ?

1 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? x x

---------------2 分

f /( x) 有零点而 f ( x) 无极值点,表明该零点左右 f /( x) 同号,故 a ? 0 ,且

1 2ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 的 ? ? 0. 由此可得 a ? . 2
2

-----------4 分

(Ⅱ)由题意, 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两不同的正根,故 ? ? 0, a ? 0 . 解得: 0 ? a ?
2

1 2

-------------5-分

设 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x2 ,因为在区间 (0, x1 ), ( x2 ,??) 上,

f /( x) ? 0 ,而在区间 ( x1 , x2 ) 上, f /( x) ? 0 ,故 x 2 是 f ( x) 的极小值点.-------10 分
因 f ( x) 在 区 间 ( x1 , x2 ) 上 f ( x) 是 减 函 数 , 如 能 证 明 f (
f ( x2 )? ? 3 . 2 x1 ? x2 3 )?? , 则更有 2 2

---------------8 分

由韦达定理,

x1 ? x2 1 1 2 1 1 1 3 1 1 , f ( ) ? a( ) ? 2( ) ? ln ? ? ln ? ? 2 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2 2 a



1 3 3 ? t , 其中 t ? 1. 设 g (t ) ? ln t ? t ? ,利用导数容易证明 g (t ) 当 t ? 1 时单调递 2 2 2a
-------12 分

减,而 g (1) ? 0 ,因此 g (t ) ? 0 ,即 f ( x) 的极小值 f ( x 2 ) ? 0.
3 (Ⅱ)另证:实际上,我们可以用反代的方式证明 f ( x) 的极值均小于 ? . 2
2 由于两个极值点是方程 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两个正根,所以反过来, a ?

2 x2 ? 1 2 x 22

(用 x1 表示 a 的关系式与此相同) ,这样
2 f ( x2 ) ? ax2 ? 2 x2 ? ln x2 ?

2 x2 ? 1 2 ? x2 ? 2 x2 ? ln x2 2 2 x2

即 f ( x2 ) ? ln x2 ? x2 ?

1 3 ,再证明该式小于 ? 是容易的(注意 x2 ? 1 ,下略). 2 2


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