排列组合中的分配分组问题

排列组合中的分配分组问题
排列、组合以其独特的研究对象和研究方法,在高中数学教学中占有特殊的地位,是高 考必考内容之一,它既是学习概率的预备知识,又是进一步学习数理统计、组合数学等高等 数学的基础, 因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。 本文就笔者自己解决排列组 合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享,不值一飧,还望批评与指正。

一、基本定义: 1、排列:从 n 个不同的元素中取出 m(m ? n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列。 2、组合:从 n 个不同的元素中取出 m(m ? n) 个元素合成一组,叫做从 n 个不同 的元素中取出 m 个元素的一个组合。 3、排列数与组合数公式: A m n ? m ? 1) n ? n(n ? 1)......(
m An n(n ? 1) . . . . (.n. ? .. m . ? 1) C ? m ? m! Cn m n

二、解题思路总析: 从排列与组合的定义来看,这两个数学名词的相同之处在于“选”— 从 n 个不同的元素中取出 m(m ? n) 个元素;不同之处在于:排列有“序”——取 出的 m 各元素之间有顺序,组合无“序”——取出的 m 各元素之间无顺序。所 以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是 用组合数公式的关键。 另外,在分配分组问题中,还存在分成的各组元素个数相等或不相等 的问题,各组元素个数相等的分配分组称为“均匀” ,各组元素个数全不相等的 分配分组称为“不均匀” 。 综合以上两点,笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类: 1、均匀有序:各组元素个数相等,各组之间有顺序; 2、均匀无序:各组元素个数相等,各组之间没有顺序; 3、不均匀无序:各组元素个数全不相等,各组之间没有顺序; 4、不均匀有序:各组元素个数全不相等,各组之间有顺序。 其中均匀有序又称“双肯定”分法,不均匀无序又称“双否定” ,均匀 无序和不均匀有序称为“单肯定” 下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法: 例 1:有 6 本不同的书, (1)甲、乙、丙 3 人每人 2 本,有多少种不同的分法? (2)分成 3 堆,每堆 2 本,有多少种不同的分法? (3)分成 3 堆,一堆 1 本,一堆 2 本,一堆 3 本,有多少种不同的分法? (4)分给甲、乙、丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本,有多少种不同的 分法? 解析:对于问题(1) ,首先从 6 本不同的书中选出 2 本来给甲,选出的 2 本书之
2 间无顺序,为 C 6 ;其次,从剩下的 4 本书中选出 2 本来给乙,为 C 2 4 ;最后剩下

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的 2 本给丙,为 C 2 2 ;整个解题过程应用的是分步计数原理,所以最终的分法数
2 2 为 N1 ? C6 * C2 4 * C2 ? 90 ;

对于问题(2) ,与问题(1)的相同在于都是均匀分组,差别仅仅在于,一 个是分给 3 人,一个是分成 3 堆,即就是分成的 3 组之间一个是有顺序的,一个 是没有顺序的,所以问题(2)的解决可以在问题(1)解决的基础上对 3 组进行 “消序” ,即 N 2 ?
2 2 C6 * C2 4 * C2 ? 15 ; A3 3

对于问题(3) ,解决方法与问题(1)一样,用分步计数原理,先从 6 本不 同的书中选出 1 本来, 再从剩下的 5 本书中选出 2 本来,最后剩下的 3 本作为一
2 3 堆,最终的分法数为 N3 ? C1 6 * C5 * C3 ? 60 ;

对于问题(4) ,分析题目,可见问题(4)与问题(3)的相同在于都是不均 匀分组,差别在于问题(3)是分成 3 堆,即分成的 3 组无序,问题(4)是分给 3 人,即分成的 3 组有序,所以问题(4)的解决可以在问题(3)解决的基础上
2 3 3 对 3 组进行“排序” ,即 N 4 ? C1 6 * C5 * C3 * A 3 ? 360 。

方法小结:通过分析上题可以发现,问题(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别为均匀 有序、均匀无序、不均匀无序、不均匀有序问题,即:双肯定、单肯定、双否定、 单肯定分法。 可以得出结论:双肯定分法采取的方法是:直分法(按照分步计 数原理依次将物品分开即可) 均匀无序分法是在均匀有序的基础上对各组进行“消序” :即直分,再消序。 不均匀有序的分法是在不均匀无序的基础上进行“排序” :即直分,再排序。 另外: 对于局部均匀无序的分组分配问题,需要在对局部均匀的组进行消序 即可,消序之后各组之间按无序对待。 例 2:有 6 本不同的书,分成 3 堆,有两堆各 1 本,另外一堆 4 本,有多少种不 同的分法? 解析:这属于局部均匀无序的分法,所以在直分的基础上,再对均匀的两组进行 消序即可,具体解法: N ?
1 4 C1 6 * C5 * C 4 ? 15 A2 2

方法应用:将 9 个学生分配到 3 个不同的三个宿舍,每宿舍至多 4 人(床铺不分 次序) ,则不同的分配方法有多少种?
4 4 C9 * C5 * C1 1 参考答案: N ? C * C * C ? C * C * C * A ? * A3 3 ? 11130. 2 A2 3 9 3 6 3 3 4 9 3 5 2 2 3 3

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