高中数学 3.4 基本不等式(第2课时)练习


【成才之路】 版高中数学 3.4 基本不等式(第 2 课时)练习

一、选择题 1.已知正数 a、b 满足 ab=10,则 a+b 的最小值是( A.10 B.25 C.5 D.2 10 [答案] D

)

[解析] a+b≥2 ab=2 10,等号在 a=b= 10时成立,∴选 D. 2.已知 m、n∈R,m2+n2=100,则 mn 的最大值是( ) A.100 B.50 C.20 D.10 [答案] B m2+n2 [解析] 由 m2+n2≥2mn 得,mn≤ 2 =50,等号在 m=n=5 2时成立,故选 B. 3.若 a>0,b>0 且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( 1 1 A.ab>2 C. ab≥2 [答案] D a+b [解析] ∵a>0,b>0,a+b=4,∴ ab≤ 2 =2, 1 1 ∴ab≤4,∴ab≥4, 1 1 a+b 4 ∴a+b= ab =ab≥1,故 A、B、C 均错,选 D. 1 4 4.已知正数 x、y 满足x +y =1,则 xy 有( 1 A.最小值16 C.最小值 16 [答案] C 1 4 [解析] ∵x>0,y>0,∴x +y ≥2 ∴4 1 xy≤1, 4 xy=4 1 1 4 ,又∵ xy x +y=1, B.最大值 16 1 D.最大值16 ) 1 1 B.a+b≤1 1 1 D. ≤ a2+b2 8 )

1 1 ∴xy≤16, ∴xy≥16,故选 C. 5.设 a、b 是实数,且 a+b=3,则 2a+2b 的最小值是( A.6 B.4 2
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)

C.2 6 D.8 [答案] B [解析] ∵2a>0,2b>0,a+b=3, ∴2a+2b≥2 2a· 2b=2 2a+b=2 23=4 2, 3 等号成立时,2a=2b,∴a=b=2. 6.实数 x、y 满足 x+2y=4,则 3x+9y 的最小值为( A.18 B.12 C.2 3 4 D. 3 )

[答案] A [解析] ∵x+2y=4,∴3x+9y=3x+32y ≥2 3x· 32y=2 3x+2y=2 34=18, 等号在 3x=32y 即 x=2y 时成立. ∵x+2y=4,∴x=2,y=1 时取到最小值 18. 二、填空题 5 3 7.已知x +y=2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是________. [答案] 5 5 3 [解析] ∵x>0,y>0,x +y=2, ∴2≥2 15 xy ,∴xy≥15,

5 3 5 3 当且仅当x =y,且x +y=2,即 x=5,y=3 时,取等号. 8.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方 米 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为__________元. [答案] 1 760 4 [解析] 设水池池底的一边长为 x m,则另一边长为x m,则总造价为: 4? ? ? 4? y=480+80× 2x+2×x ×2=480+320 x+ x

?

?

?

?

≥480+320×2

4 x×x =1 760.

4 当且仅当 x=x 即 x=2 时,y 取最小值 1 760. 所以水池的最低总造价为 1 760 元. 三、解答题 a2 b2 c2 9.已知 a、b、c∈R+,求证: b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 [证明] ∵a、b、c∈R+, b , c , a 均大于 0, a2 又 b +b≥2 a2 b=2a, b·

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b2 c +c≥2 c2 a +a≥2

b2 c=2b, c· c2 a=2c, a·

a2 b2 c2 三式相加得 b +b+ c +c+ a +a≥2a+2b+2c, a2 b2 c2 ∴ b + c + a ≥a+b+c. 10.已知 a、b、c∈R,求证: a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c). a+b [证明] ∵ 2 ≤ a2+b2 a+b 2 ,∴ a2+b2≥ 2

2 = 2 (a+b)(a,b∈R 等号在 a=b 时成立). 2 同理 b2+c2≥ 2 (b+c)(等号在 b=c 时成立). 2 a2+c2≥ 2 (a+c)(等号在 a=c 时成立). 三式相加得 a2+b2+ b2+c2+ a2+c2 2 2 2 ≥ 2 (a+b)+ 2 (b+c)+ 2 (a+c) = 2(a+b+c)(等号在 a=b=c 时成立).

一、选择题 1.设 x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为( A.7 3 B.3 9

)

C.1+2 2 D.5 [答案] A [解析] 由已知得 x+3y=2, 3x>0,27y>0, ∴3x+27y+1≥2 3x+3y+1=6+1=7, 当且仅当 3x=27y, 1 即 x=1,y=3时等号成立.

?1 ?? 1 ? 2.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则 a2-1 b2-1 的最小值为( ? ?? ?
A.6 B.7 C.8 D.9 [答案] D [解析] ∵a+b=1,a>0,b>0,

)

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1 1 ∴ab≤4,等号在 a=b=2时成立.

?1 ?? 1 ? 1-a2 1-b2 ∴ a2-1 b2-1 = a2 · b2 ? ?? ?
= + a2 · + b2 = + ab +

2+ab 2 2 = ab =ab+1≥1+1=9,故选 D. 4 1 1 3.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则a+b的最 小值为( 1 A.4 ) 1 B.2

C.2 D.4 [答案] D [解析] 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆的直径为 4,而直线被圆截得的弦长为 4, 则直线应过圆心(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即 a+b=1, 1 1 ?1 1? b a ∴a+b= a+b (a+b)=1+1+a+b

?

?

≥2+2

b a 1 a×b=4 (等号在 a=b=2时成立).

故所求最小值为 4,选 D. a b 4.设 a、b 是两个实数,且 a≠b,①a5+b5>a3b2+a2b3,②a2+b2≥2(a-b-1),③b+a>2. 上述三个式子恒成立的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 [答案] B [解析] ①a5+b5-(a3b2+a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+ b)(a2+ab+b2)>0 不恒成立; (a2+b2)-2(a-b-1)=a2-2a+b2+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0 a b a b 恒成立;b+a>2 或b+a<-2,故选 B. 二、填空题 1 a 5.已知不等式(x+y)(x +y)≥9 对任意正实数 x、y 恒成立,则正实数 a 的最小值为________. [答案] 4 1 a [解析] ∵a>0,∴(x+y)(x +y) y xa =1+a+x+ y ≥1+a+2 a, 由条件知 a+2 a+1=9,∴a=4. 6.若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________.

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[答案]

2 3 3

[解析] ∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2=xy+1. x+y 又∵xy≤( 2 )2, x+y ∴(x+y)2≤( 2 )2+1, 3 即4(x+y)2≤1. 4 ∴(x+y)2≤3. 2 3 2 3 ∴- 3 ≤x+y≤ 3 . 2 3 ∴x+y 的最大值为 3 . 三、解答题 7.已知 a、b 均为正实数,且 2a+8b-ab=0,求 a+b 的最小值. 8 2 [解析] ∵2a+8b-ab=0,∴a+b=1,又 a>0,b>0, 8 2 8b 2a ∴a+b=(a+b)(a+b)=10+ a + b ≥10+2 8b 2a 8b 2a a ·b =18,当且仅当 a = b ,即 a=2b 时,等号成立.

a=2b ? ?a=12 ? ? 由?8 2 ,得? . ?b=6 + = 1 ? ? ?a b ∴当 a=12,b=6 时,a+b 取最小值 18. 8.某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面 用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元.试求: (1)仓库面积 S 的取值范围是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长? [解析] (1)设正面铁栅长 x m,侧面长为 y m,总造价为 z 元,则 z=40x+2×45y+20xy=40x +90y+20xy,仓库面积 S=xy. 由条件知 z≤3 200,即 4x+9y+2xy≤320. ∵x>0,y>0, ∴4x+9y≥2 4x· 9y=12 xy. ∴6 S+S≤160,即( S)2+6 S-160≤0. ∴0< S≤10,∴0<S≤100. 故 S 的取值范围是(0,100]. (2)当 S=100 m2 时,4x=9y,且 xy=100. 20 解之得 x=15(m),y= 3 (m). 答:仓库面积 S 的取值范围是(0,100],当 S 取到最大允许值 100 m2 时,正面铁栅长 15 m.
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