高中数学必修2知识点总结:第二章-直线与平面的位置关系

第二章 直线与平面的位置关系
1. 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2. 空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 3.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 5.注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 ? a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; 2 ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 6.直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 7.直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。 8.两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 9.定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 简记为:线面平行则线线平行。 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 10.定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 11.判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。 12.二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 13.两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 14.定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 15.性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 例题精析 1.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( A. C. ) β

? 内所有的直线都与 a 异面; ? 内所有的直线都与 a 相交;

B.

? 内不存在与 a 平行的直线;

D.直线 a 与平面 ? 有公共点.

2.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( A.3 ) B.2 C.1 D.0

3. 空间四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ? AC ? CB ? CD ? BD ,则 AC 与 BD 所成角为 ( ) B. 450 C. 60 0

A. 30 0 D. 90 0 4. 给出下列命题:

(1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为( A.0 B. 1 ) C.2 )条 C. 6 ) B.若 b ? α , a//b 则 a//α D.若 a⊥α , b⊥α 则 a//b ) B.直线 a// ? ,a// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行 D. 8 D.3

5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A. 3 B. 4

6.直线 a,b,c 及平面α ,β ,γ ,下列命题正确的是( A.若 a ? α ,b ? α ,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α C.若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b 7.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? 8. a, b 是异面直线,下面四个命题:

①过 a 至少有一个平面平行于 b; ②过 a 至少有一个平面垂直于 b; ③至多有一条直线与 a,b 都垂直;④至少有一个平面与 a,b 都平行。 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C. 2 D. 3 .

9.已知直线 a//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系为

10.已知直线 a⊥直线 b, a//平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系为 11. 已知 E 、 F 、 G 、 H 为空间四边形 ABCD 的边

.
?

12. 已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 ,

AD ? SC ,
AB、BC、CD、DA 上的点,且EH∥FG. 求证:EH∥BD.
A E B H D F G

S

SA ? 面 ABC ,
求证: AD ? 面 SBC .

D A C B

13. 已 点.

D1 C 知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , O 是底 ABCD 对角线的交 A1
(2 ) AC ? 面 AB1D1 . 1

C1 B1

求证: (1) C1O ∥面 AB1D1 ;

D O A B

C

14.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ) 当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时, 求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

15. 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? AC ,PA ? 平面 ABCD , 且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的大小.


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