(正式稿)新余市2010-2011学年度上学期高一年级期末质量检测数学试题参考答案

2010新余市 2010-2011 学年度上学期高一年级期末质量检测数学试题

参 考 答 案
一、选择题(5 分 × 10=50 分) 选择题( : 10、 1、C; 2、B; 3、D; 4、A; 5、C; 6、A; 7、D; 8、B; 9、B; 10、A。 填空题( 二、填空题(5 分 × 10=50 分) : 11、 11、

2 ; 15

12、 12、 0 或 ? 1 ;

13、 (?∞,? ] ; 、

5 4

14、 14、

3 3 a ; 12

15、 (1 ? 2 2 ,?1] 。 、

16、解: (1) A ∪ B = {x | 2 < x < 10} ,……………………2 分 、 ……………………2

三、解答题(12 分 × 4+13 分+14 分) 解答题( :

∵ C R A = {x | x < 3或x ≥ 7} , ∴ (C R A) ∩ B = {x | 2 < x < 3或7 ≤ x < 10}。………………6 分 ………………6 (2)由(1)知 A ∪ B = {x | 2 < x < 10} , ) ) 5 ………………8 ①当 C = φ 时,满足 C ? ( A ∪ B ) ,此时 5 ? a ≥ a ,∴ a ≤ ;………………8 分 2 ?5 ? a < a 5 ? ………………10 ②当 C ≠ φ 时,要 C ? ( A ∪ B ) ,则 ?5 ? a ≥ 2 ,解得 < a ≤ 3 ;………………10 分 2 ?a ≤ 10 ? ………………12 由①②得: a ≤ 3 。………………12 分 x ? 2y + 4 = 0 ? 17、解:由 ? ……………………4 、 可得交点坐标为 (0,2) 。……………………4 分 ? x+ y?2=0 3 平行, 的斜率为 (1)∵直线 l 与 3 x ? 4 y + 1 = 0 平行,∴ l 的斜率为 k = , ) 4 3 ∴ l 的方程 y = x + 2 ,即 l : 3 x ? 4 y + 8 = 0 。……………………………8 分 ……………………………8 4 3 垂直, (2)∵直线 l 与 5 x + 3 y ? 6 = 0 垂直,∴ l 的斜率 k = , ) 5 3 ∴ l 的方程 y = x + 2 ,即 l : 3 x ? 5 y + 10 = 0 。…………………12 分 …………………12 5 2 …………………2 18、解: )由 m ? m ? 1 = 1 知 m = 2 或 m = ?1 。…………………2 分 (1) 、 ( 2 符合题意;…………………3 ①当 m = 2 时, g ( x) = x ,符合题意;…………………3 分 ?1 不符合题意,舍去。…………………4 ②当 m = 1 时, g ( x) = x ,不符合题意,舍去。…………………4 分 2 ∴ g ( x) = x 。…………………5 分 …………………5 2 2 2 (2) f ( x) = x ? 2ax + 1 = ( x ? a ) + 1 ? a 。 …………………7 ①当 a < ?1 时, f ( x) min = f ( ?1) = 2 + 2a = ?2, ∴ a = ?2 ;…………………7 分 ②当 a > 2 时, f ( x) min = f ( 2) = 5 ? 4a = ?2 , 7 ∴ a = ,与 a > 2 矛盾,舍去;…………………9 分 矛盾,舍去;…………………9 4 2 ③当 ? 1 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) min = f ( a ) = 1 ? a = ?2 ,
∴ a = 3 或 a = ? 3 ,又 ? 1 ≤ a ≤ 2 ,∴ a = 3 。…………………11 分 …………………11

综上, …………………12 综上, a = ?2 或 3 。…………………12 分 19、解(1)∵ f (x ) 为奇函数,∴ f ( ? x) = ? f ( x) , 、 为奇函数, )

m( ? x ) + n mx + n =? , ∴ n = 0 。…………………3 分 ………………… 2 1 + (? x) 1+ x2 1 2 ∵ f ( ) = ,∴ m = 1 。………………………4 分 ………………………4 2 5 x (2)由(1)得 f ( x ) = ) ) ,设 ? 1 < x1 < x 2 < 1 , 1+ x2 2 x1 x2 x1 (1 + x 2 ) ? x 2 (1 + x12 ) ? = 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = 2 2 1 + x12 1 + x 2 (1 + x12 )(1 + x 2 ) ( x ? x 2 )(1 ? x1 x 2 ) = 1 …………………7 ,…………………7 分 2 (1 + x12 )(1 + x 2 )

2 2 ∵ ? 1 < x1 < x 2 < 1 ,∴ x1 ? x 2 < 0 , 1 ? x1 x 2 > 0 , 1 + x1 > 0 , 1 + x 2 > 0 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x 2 ) , 上为增函数。………………………9 ∴ f (x ) 在 (?1, 1) 上为增函数。………………………9 分 上的奇函数, (3)∵ f (x ) 是定义在 (?1, 1) 上的奇函数, ) 学科网] 故由 f (t ? 1) + f (t ) < 0 得: f (t ) < ? f (t ? 1) = f (1 ? t ) ,[来 000 源:学科网 来 学科网

?? 1 < t < 1 ? 上为增函数, ………………………11 又 f (x ) 在 ( ?1, 1) 上为增函数,∴ ?? 1 < 1 ? t < 1 ,………………………11 分 ?t < 1 ? t ?
解得 0 < t <

1 ……………………12 。……………………12 分[ 2

20、解: )当截距不为零时,设切线方程为 、 (1)当截距不为零时, (

x y + = 1 ,即 x + y ? a = 0 ( a ≠ 0 ) 。 a a 2 2 与切线相切, 设圆 C 为: ( x + 1) + ( y ? 2) = 2 ,∵ 圆 C 与切线相切,
?1+ 2 ? a 2 = 2 ,解得 a = ?1 或 3 。……………………3 分 ……………………3



当截距等于零时, 当截距等于零时,设切线方程为 y = kx ,即 kx ? y = 0 ,且 k ≠ 0 。

∵ 圆 C 与切线相切,∴ 与切线相切,

= 2, 1+ k 2 2 …………5 即 k ? 4k ? 2 = 0 ,解得 k = 2 ± 6 。…………5 分
故所求的切线方程为: 所求的切线方程为:

?k ?2

x + y + 1 = 0 或 x + y ? 3 = 0 或 y = (2 + 6) x 或 y = (2 ? 6) x 。…………………6 分 …………………6
2 2 2 (2)∵ PM ⊥ CM ,∴ | PM | =| PC | ? | CM | ,又 | PM |=| PO | , )

整理得: …………… ……9 ∴ ( x0 + 1) + ( y0 ? 2) ? 2 = x0 + y0 , 整理得: 2 x0 ? 4 y0 + 3 = 0 ,……………9 分
2 2 2 2

的最小值即为 的最小值, 即动点 P 在直线 2 x ? 4 y + 3 = 0 上,∴ | PM | 的最小值即为 | PO | 的最小值, 的垂线, 过点 O 作直线 2 x ? 4 y + 3 = 0 的垂线,垂足为 P ,则 kOP = ?2 ,

3 ? ? x0 = ? 10 y = ?2 x ? ? 联立方程组 联立方程组 ? ,解得 ? , ?2 x ? 4 y + 3 = 0 ?y = 3 ? 0 5 ? 3 3 ∴ 点 P 坐标为 (? , ) 。……………………13 分 ……………………13 10 5 21、 )证明:∵ PA ⊥ 平面ABCD ,∴ PA ⊥ BC , (1)证明: 、 ( ∵ CB ⊥ AB,∴ CB ⊥ 平面PAB , ………………4 又 CB ? 平面PCB ,∴ 平面PAB ⊥ 平面PCB 。………………4 分 ………………5 (2)点 E 在 PE = 2 EB 处。………………5 分 ) 解法一: 解法一:假设存在点 E ∈ PB ,使得 PD // 平面EAC 。 连接 BD 交 AC 于点 O ,连接 EO 。 ∵ PD // 平面EAC , PD ? 平面PDB , 平面PDB ∩ 平面EAC = EO , BE BO AB ∴ PD // EO ,∴ = = 。 EP OD DC 设PA = AB = BC = 1,∵ AB ⊥ BC , AB // CD ,
∴ ∠BAC = ∠BCA = ∠ACD = 45 0 , 又 DA ⊥ PA, DA ⊥ PC , ∴ DA ⊥ 面PAC ,

2 ,即 DC = 2 。 AB 1 BE AB 1 ∴ = ,∴ = = , DC 2 EP DC 2 ………………9 即 PE = 2 EB 时, PD // 平面EAC 。………………9 分 解法二: 解法二:假设存在点 E ∈ PB ,使得 PD // 平面EAC 。 连接 BD 交 AC 于 O ,连接 EO , ∵ PD // 平面EAC , PD ? 平面PDB , 平面PDB ∩ 平面EAC = EO , BE BO AB ∴ PD // EO ,∴ = = 。 EP OD DC ∵ AD ⊥ PA, AD ⊥ PC , ∴ AD ⊥ 平面PAC , 即 AD ⊥ AC 。设 PA = AB = BC = 1 , AD = x ,
则 DC =

即 DA ⊥ AC ,∴ AD = AC =

2 + x 2 , PD = 1 + x 2 , 作AF ⊥ DC , 连接 PF ,则 DC ⊥ 平面PAF ,即 DC ⊥ PF ,

∴ PF = 2 , CF = 1 , 即DF = x 2 ? 1 ,
2 又 DF + CF = DC ,∴ x ? 1 + 1 =

2 + x 2 , ∴ x = 2 ,∴ DC = 2,

BE AB 1 = = ,即 PE = 2 EB 时, PD // 平面EAC 。………………9 分 ………………9 EP DC 2 如图, (3)如图,作 EM ⊥ AB, MN ⊥ AC ,连接 EN , EM 的平面角, ……………10 则 ∠ENM 为二面角 E ? AC ? B 的平面角,且 tan ∠ENM = 。……………10 分 MN MN AM 解法一: = 解法一:∵ ?AMN ∽ ?ABC ,∴ , BC AC 2 ∵ AM = , BC = 1 , AC = 2 , 3 ∴

2 ×1 AM × BC 3 2 ∴ MN = = = ……………12 。……………12 分 AC 3 2 2 2 2 = 法二: 解法二: MN = AM × sin ∠BAC = × 。 3 2 3 1 1 2 。 又 EM = ,∴ tan ∠ENM = 3 = 3 2 2
3
即二面角 E ? AC ? B 平面角的正切值为

2 ………………14 。………………14 分 2


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