2014年冬季理科数学高二两个计数原理分类讲解1

个性化教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 天津 分类加法计数原理 分步乘法计数原理

适用年级

高中二年级

课时时长 (分钟) 60

教学目标

1、通过实例总结出分类加法计数原理,理解分类加法计数原理; 2、通过实例总结出分步乘法计数原理,理解分步乘法计数原理; 3、会利用两个计数原理解决一些简单问题.

教学重点 教学难点

1、归纳得出两个计数原理,能运用它们解决简单的实际问题. 1、正确理解“完成一件事情”的含义,正确区分“分类”与“分步” .

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教学过程
一、复习预习
王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有 30 张英语单词卡片,右边口袋 装有 20 张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单 词卡片,有多少种不同的取法?

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二、知识讲解
考点/易错点 1 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中 有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法.

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考点/易错点 2 分类加法计数原理的推广 完成一件事有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中 有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+m2+?+mn 种不同的方法.

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考点/易错点 3 分步乘计数原理 完成一件事需要两个步骤, 做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.

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考点/易错点 4 分类计数乘法原理的推广 完成一件事需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的 方法,?,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn 种不同 的方法.

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考点/易错点 4 两个原理的联系与区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理, 回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问 题.区别在于:分类加法计数原理针对的是分类问题,其中各种方法相互独立,其中任何一 种方法都可以完成这件事; 分步乘法计数原理针对的是分步问题, 各个步骤中的方法互相依 存,只有各个步骤都完成才算完成这件事.

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三、例题精析
【例题 1】 【题干】在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

【答案】36(个) 【解析】按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分为 8 类,在每一类中满足题目 条件的两位数分别是 8 个,7 个,6 个,5 个,4 个,3 个,2 个,1 个. 由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).

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【例题 2】 【题干】已知 a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不 同的圆的个数有多少个?

【答案】24(个) 【解析】圆方程由三个量 a,b,r 确定,a,b,r 分别有 3 种,4 种,2 种选法,由分步乘 法计数原理,表示不同的圆的个数为 3×4×2=24(个).

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【例题 3】 【题干】一个三层书架的上层放有 5 本不同的数学书,中层放有 3 本不同的语文书,下层 放有 2 本不同的英语书 (1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法? (2)从书架上任取三本书,其中数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同 的取法?

【答案】(1) 10;(2)30 【解析】(1)从书架上任取一本书,有三类方法: 第一类方法:从书架上层任取一本数学书,有 5 种不同的方法; 第二类方法:从书架中层任取一本语文书,有 3 种不同的方法; 第三类方法:从书架下层任取一本英语书,有 2 种不同的方法. 只要在书架上任意取出一本书,任务即完成,由分类加法计数原理知,不同的取 法共有 N=5+3+2=10(种). (2)从书架上任取三本书,其中数学书、语文书、英语书各一本,可以分成三个 步骤完成: 第一步:从书架上层取一本数学书,有 5 种不同的方法; 第二步:从书架中层取一本语文书,有 3 种不同的方法; 第三步:从书架下层取一本英语书,有 2 种不同的方法. 由分步乘法计数原理知,不同的取法共有 N=5×3×2=30(种). 所以从书架上任取三本书,其中数学书、语文书、英语书各一本,共有 30 种不 同的取法.

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【例题 4】 【题干】现有 5 幅不同的国画,2 幅不同的油画,7 幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?

【答案】(1)14;(2)70;(3)59 【解析】(1)分为三类:从国画中选,有 5 种不同的选法;从油画中选,有 2 种不同的选 法;从水彩画中选,有 7 种不同的选法.根据分类加法计数原理共有 5+2+7= 14 种不同的选法. (2)分为三步:国画、油画、水彩画各有 5 种、2 种、7 种不同的选法,根据分步 乘法计数原理,共有 5×2×7=70 种不同的选法. (3)分为三类: 第一类是一幅选自国画, 一幅选自油画, 由分步乘法计数原理知, 有 5×2=10 种不同的选法. 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有 5×7=35 种不同的选法. 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有 2×7=14 种不同的选法,所以有 10+35+14=59 种不同的选法.

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四、课堂运用
【基础】 1.已知 x∈{2,3,7},y∈{-31,-24,4},则 xy 可表示不同的值的个数是( A.1+1=2 B.1+1+1=3 C.2×3=6 D.3×3=9 )

【答案】D 【解析】x,y 在各自的取值集合中各选一个值相乘求积这件事,可分为两步完成:第一 步,x 在集合{2,3,7}中任取一个值有 3 种方法;第二步,y 在集合{-31,-24,4}中任取一 个值有 3 种方法.根据分步乘法计数原理知,有 3×3=9 个不同值.

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2. 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择其中的一个讲 座,不同选法的种数是( A.56 B.65 5× 6× 5× 4× 3× 2 C. 2 D.6× 5× 4× 3× 2 )

【答案】A 【解析】1 名同学有 5 种选择,则 6 名同学共有 56 种选择.

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【巩固】 1.从 6 人中选 4 人分别到巴黎,伦敦,悉尼,莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一 人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲,乙 2 个不去巴黎游览,则不同的选择 方案共有( A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 )

【答案】B 【解析】 能去巴黎的有 4 个人, 依次去伦敦, 悉尼, 莫斯科的有 5 个人, 4 个人, 3 个人, 故不同的选择方案为 4×5×4×3=240(种).故选 B.

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2.从数字 1,2,3,4,5,6 中取两个数相加,其和是偶数,共得________个偶数.

【答案】4 【解析】分两类:3 个奇数两两相加,3 个偶数两两相加,都得偶数, 又 1+5=2+4,3+5=2+6,所以可得不同的偶数有 3+3-2=4(个).

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【拔高】 1.三年级一班有学生 56 人,其中男生 38 人,从中选取 1 名男生和 1 名女生作代表,参 加学校组织的社会调查团,选取代表的方法有多少种?

【答案】684 【解析】男生为 38 人,女生为 18 人, 根据本题题意要完成一件事情需分 2 个步骤: 第一步从男生 38 人中任选 1 人,有 38 种不同的选法; 第二步从女生 18 人中任选 1 人,有 18 种不同的选法. 只有上述两步都完成后,才能完成从男生中和女生中各选 1 名这件事,根据分 步乘法计数原理共有 38×18=684(种)选取代表的方法.

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课程小结
(1)用分类加法记述原理要分类讨论,要做到不重不漏,尽量做到一题多解,从不同 的角度考虑问题. (2)在用分步乘法计数原理处理问题时,要正确“设计”分步的步骤,即共分几步才 能完成该件事,每一步的具体内容是什么,各步的方法数又是多少,最后用分步乘法计数原 理求解.

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课后作业
【基础】 1.一个袋子里放有 6 个球,另一个袋子里放有 8 个球,每个球各不相同,从两袋子 里各取一个球,不同取法的种数为( A.182 C.48 B.14 D.91 )

【答案】C 【解析】由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6× 8=48,故选 C.

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2.从甲地到乙地一天有汽车 8 班,火车 3 班,轮船 2 班,某人从甲地到乙地,他共有 不同的走法数为( A.13 种 C.24 种 ) B.16 种 D.48 种

【答案】A 【解析】应用分类加法计数原理,不同走法数为 8+3+2=13(种).故选 A

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【巩固】 1.5 本不同的书,全部送给 6 位学生,有多少种不同的送书方法( A.720 种 C.360 种 B.7776 种 D.3888 种 )

【答案】B 【解析】每本书有 6 种不同去向,5 本书全部送完,这件事情才算完成.由乘法原理知 不同送书方法有 65=7776 种.

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2. 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数, 则其中数字 1,2 相邻的偶数有________ 个(用数字作答).

【答案】24 【解析】另两边长用 x,y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11.要构成三角形,需 x+y≥12.当 y=11 时,x∈{1,2,…,11},有 11 个三角形;当 y=10 时,x∈{2,3,…,10},有 9 个三角形……当 y=6 时,x=6,有 1 个三角形.所以满足条件的三角形有 11 +9+7+5+3+1=36(个).

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【拔高】 1.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个. (1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法?

【答案】(1)15;(2)56 【解析】(1)由分类加法计数原理得 从中任取一个球共有 8+7=15 种; (2)由分步乘法计数原理得 从中任取两个球共有 8× 7=56 种.


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