2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第9课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 2 章《基本初等 函数、导数及其应用》 (第 9 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1.(2011·高考湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其 含量不断减少, 这种现象称为衰变. 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中, 其含量 M(单 位:太贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02


t

30

,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的 )

含量.已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则 M(60)=( A.5 太贝克 B.75ln 2 太贝克 C.150ln 2 太贝克 D.150 太贝克 1 t 解析:选 D.∵M′(t)=- M02- ·ln 2, 30 30 1 1 ∴M′(30)=- × M0ln 2=-10ln 2, 30 2 ∴M0=600.

∴M(t)=600×2- , 30 -2 ∴M(60)=600×2 =150(太贝克). 2.国家规定某行业收入税如下:年收入在 280 万元及以下的税率为 p%,超过 280 万元 的部分按(p+2)%征税, 有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%, 则该公司的年收入是( ) A.560 万元 B.420 万元 C.350 万元 D.320 万元 解析:选 D.设该公司的年收入为 a 万元, 则 280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%. 280×2 解之得 a= =320. 2-0.25 3.(2013·武汉调研)某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离 成反比,而每月车存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1,y2 分别是 2 万元,8 万元,那么要使这两项费用之和最小, 则仓库应建在离车站( ) A.5 km 处 B.4 km 处 C.3 km 处 D.2 km 处 解析:选 A.设仓库建在离车站 x km 处, 则 y1= ,y2=k2x,根据已知数据可得 k1 =20,

t

k1 x

k2=0.8,两项费用之和 y= +0.8x≥2 x

20

20 ×0.8x=8,当且仅当 x=5 时,等号成立,

x

故仓库应建在离车站 5 km 处. 4.已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地, 在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,则汽车离开 A 地的距离 x(千米)与 时间 t(小时)之间的函数表达式是( ) A.x=60t B.x=110t

1

?60t 0≤t≤2.5 ? C.x=? ?150-5t t>3.5 ?

60t ? ? D.x=? ? ?150-

t t≤3 t- t

150 解析:选 D.到达 B 地需要 =2.5(小时), 60 所以当 0≤t≤2.5 时,x=60t; 当 2.5<t≤3.5 时,x=150; 当 3.5<t≤6.5 时,x=150-50(t-3.5). 5.

某汽车 运输公司购买了 一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少 年时,其营运的年平均利润最大( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2 解析:选 C.由题图可知营运总利润 y=-(x-6) +11, y 25 则营运的年平均利润 =-x- +12,

x

x

∵x∈N ,∴ ≤-2

*

y x

x· +12=2, x

25

25 当且仅当 x= ,即 x=5 时取“=”.

x

∴x=5 时营运的年平均利润最大. 二、填空题 6.将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,已知这种商品每涨 价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了赚得最大利润,每个售价应定为________元. 2 解析: 设每个售价定为 x 元, 则利润 y=(x-80)·[400-(x-90)·20]=-20[(x-95) -225], ∴当 x=9 5 时,y 最大. 答案:95 7.司机酒后驾驶危害他人的安全,一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升 到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通 安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL, 那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过________小时,才能开车.(精确到 1 小时) 3 x 解析:设 x 小时后,血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL,则有 0.3·( ) ≤0.09,即 4 3 x ( ) ≤0.3,估算或取对数计算得 5 小时后,可以开车. 4 答案:5 8.某种商品降价 10%后,欲恢复原价,则应提价________. 解析:设商品原价为 a,应提价为 x, 则有 a(1-10%)(1+x)=a,

2

1 10 1 ∴x= -1= -1= ≈11.11%. 1-10% 9 9 答案:11.11% 三、解答题 9.

(2013·济宁质检)如图所示,将一矩 形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要 求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什 么范围内? (2)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值. 解:(1)设 DN 的长为 x(x>0)米, 则 AN=(x+2)米. DN DC x+ ∵ = ,∴AM= ,

AN AM

∴SAMPN=AN·AM= 由 SAMPN>32,得
2

x x+ x

2

.
2

x+ x

>32,又 x>0,

得 3x -20x+12>0, 2 解得:0<x< 或 x>6, 3 即 DN 的长的取值范围是 ?0,2?∪(6,+∞). ? 3? ? ? (2)矩形花坛 AMPN 的面积为 x+ 2 3x2+12x+12 y= =

x

x

12 =3x+ +12≥2

x

12 3x· +12=24,

x

12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时,矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24.

x

故 DN 的长为 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米. 10. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的 隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每 年的能源消耗费用 C( 单位:万元 ) 与隔热层厚度 x( 单位: cm) 满足关系: C(x) =

k

3x+5 (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小?并求最小值. 解:(1)设隔热层厚度为 x cm, 由题设,每年能 源消耗费用为 C(x)= (0≤x≤10), 3x+5 再由 C(0)=8,得 k=40, 40 因此 C(x)= (0≤x≤10). 3x+5
3

k

而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x) 40 800 =20× +6x= +6x(0≤x≤10). 3x+5 3x+5 2400 (2)法一:f′(x)=6- . x+ 2 2400 令 f′(x)=0,即 =6, x+ 2 25 解得 x=5 或 x=- (舍去). 3 当 0≤x<5 时,f′(x)<0; 当 5<x≤10 时,f′(x)>0. 故 x=5 是 f(x)的最小值点, 800 对应的最小值为 f(5)=6×5+ =70. 15+5 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 800 法二:f(x)= +2(3x+5)-10 3x+5 800 x+ -10=70, 3x+5 800 当且仅当 =2(3x+5),即 x=5 时,等号成立. 3x+5 ∴当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. ≥2

一、选择题 1.(2013·青岛质检)牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同 ,假定保鲜时间与储藏温 度是一种指数函数型关系.若牛奶放在 0 ℃的冰箱中,保鲜时间约是 192 h,而在 22 ℃的 厨房中则约是 42 h,则保鲜时间 y(h)关于储藏温度 x(℃)的函数解析式是( ) 32 32 x ? ?22x ? ? A.y=192·? ? B.y=192·? ? ?7? ? 7 ?22 7 ? ?22x ?7?x C.y=192·? ? D.y=192·? ? ?32? ?32?22 x 解析:选 D.设 y=a·b .
?192=a·b ? 则由已知得:? 22 ?42=a·b ?
0

a=192 ? ? ,解得? ? 7 ? 1 b=? ? ? ? ?32?22



? 7 ?x ∴y=192·? ?22. ?32?
2.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代 表人数 y 与该班人数 x 之间的函数 关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( ) x x+3 A.y=[ ] B.y=[ ] 10 10 x+ 4 x+5 C.y=[ ] D.y=[ ] 10 10

4

解析:选 B.由题意,当 x=17 时,A 选项错误,当 x =16 时,[

x+4
10

]=2 ,[

x+5
10

]=2,

所以 C、D 选项错误,故选 B. 二、填空题 3.某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为 168 元/套,以成本计算一套盈利 20%,而 另一套亏损 20%,则此商贩________(赚或赔多少钱). 解析:设盈利的那套服装成本价为 x,则 x+20%x=168,x=140 元,设亏损的那套服 装成本价为 y, 则 y-20%y=168, y=210 元, 所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元). 答案:赔 14 元 4.(2013·惠州调研)将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水 nt 量符合指数衰减曲线 y=ae .假设过 5 分钟后甲桶与乙桶的水量相等, 若再过 m 分钟甲桶中 的水只有 升,则 m=________. 8 1 1 1 1 5n 1 15n 5n nt nt 解析:根据题意 =e ,令 a=ae ,即 =e ,因为 =e ,故 =e ,解得 t=15,故 2 8 8 2 8 m=15-5=10. 答案:10 三、解答题 5.(2011·高考湖南卷)

a

如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为 v(v>0), 雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P 或 1 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为 ;(2) 10 1 其他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 d=100,面 2 3 积 S= 时, 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最 少. 3 1 100 解 : (1) 由 题 意 知 , E 移 动 时 单 位 时 间 内 的 淋 雨 量 为 |v - c| + , 故 y = 20 2 v 3 1 5 ? |v-c|+ ?= (3|v-c|+10). ?20 ? 2? v ? (2)由(1)知: 5 c+ 当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)= -15;

v

v

5 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)=

-3c

v

v

+15.

? ? 故 y=? ? ?

c+ v
-3c

-15,0<v≤c, +15,c<v≤10.

v

10 3c ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数,故当 v=10 时,ymin=20- . 3 2
5

10 ②当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数; 3 50 在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数,故当 v=c 时,ymin= .

c

6


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