高中数学苏教版必修5 3.4.1 基本不等式的证明 作业

[学业水平训练] 一、填空题 1.(2014· 镇江调研)已知 a>0,b>0,a+b=4,则下列各式中正确的是________. 1 1 1 1 1 ① + ≤ ;② + ≥1; a b 4 a b 1 ③ ab≥2; ④ ≥1. ab a+b 解析:由 a>0,b>0,知 ≥ ab, 2 1 1 又 a+b=4,∴ ab≤2,∴ab≤4,∴ ≥ , ab 4 1 1 a+b 4 1 1 ∴ + = = ≥1,即 + ≥1. a b ab ab a b 答案:② 2. 已知数列{an}的通项公式为 an=n+1, n∈N*, 则 a2 n+1________anan+2.(用不等号填空). 2 2 2 解析:法一:an+1=(n+2) =n +4n+4,anan+2=(n+1)(n+3)=n2+4n+3,a2 n+1-anan 2 +2=1>0,∴an+1>anan+2. 法二:∵an>0,且{an}为等差数列,公差大于 0, an+an+2 2 2 ∴an+an+2=2an+1,∴anan+2<( ) =an+1. 2 答案:> a-c 3.已知 a>b>c,则 (a-b)(b-c)与 的大小关系是________. 2 解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0, a-c (a-b)+(b-c) ∴ = ≥ (a-b)(b-c)(当且仅当 a+c=2b 时, 取“=”). 2 2 a-c 答案: (a-b)(b-c)≤ 2 a+b 1 4.若 a>b>1,P= lg a·lg b,Q= (lg a+lg b),R=lg( ),则 P、Q、R 的大小关 2 2 系为________. 解析:∵lg a>lg b>0, 1 ∴ (lg a+lg b)> lg a·lg b,即 Q>P. 2 a+b 又∵a>b>1,∴ > ab. 2 a+b 1 ∴lg( )>lg ab= (lg a+lg b),即 R>Q. 2 2 故有 P<Q<R. 答案:P<Q<R a+b? 1 5.已知函数 f(x)=2x,若 a≠b,记 P=f? ? 2 ?,Q=2[f(a)+f(b)],则 P,Q 的大小关系 是________. a+b? a b 1 a b 解析:P=f? ? 2 ?= 2 ·2 <2(2 +2 )=Q . 答案:P<Q 1?x -2 1 6.已知 m=a+ (a>2),n=? ?2? (x≠0),则 m 与 n 之间的大小关系为________. a-2 2 1 1 1 1 = a-2+ +2≥2 (a-2)· +2=4,当且仅当 a-2= a-2 a-2 a-2 1?x -2 ?1?-2 1 ,即 a=3 时取等号,而 n=? ?2? <?2? =4.∴m>n. a-2 答案:m>n f(x) 7.设 f(x)=x2+x+1,g(x)=x2+1,则 的取值范围是________. g(x) f(x) x2+x+1 f(x) f(x) x 解析: = 2 =1+ 2 ,当 x=0 时, =1;当 x>0 时, =1+ g(x) x +1 x +1 g(x) g(x) f(x) 1 1 3 1 1 1 ? 1?? ≤1+ = ;当 x<0 时,x+ =-? ?(-x)+?-x??≤-2,则g(x)=1+ 1≥1-2= 1 2 2 x x+ x+ x x 1 f(x) ?1 3? .∴ ∈ , . 2 g(x) ?2 2? 1 3? 答案:? ?2,2? 二、解答题 1 ??1 ??1 ? + 8.已知 a,b,c∈R ,且 a+b+c=1,求证? ?a-1??b-1??c-1?≥8. + 证明:∵a,b,c∈R ,a+b+c=1, 1-a b+c 2 bc 1 ∴ -1= = ≥ , a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理, -1≥ , -1≥ . b b c c ∵上述三个不等式两边均为正, 1 ??1 ??1 ? ∴? ?a-1??b-1??c-1? 2 bc 2 ac 2 ab ≥ · · =8, a b c 1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3 9.已知 a,b,c 为不全相等的正实数. 求证:a+b+c> ab+ bc+ ca. 证明:∵a>0,b>0,c>0,∴a+b≥2 ab>0, b+c≥2 bc>0,c+a≥2 ca>0. ∴2(a+b+c)≥2( ab+ bc+ ca), 即 a+b+c≥ ab+ bc+ ca. 由于 a,b,c 为不全相等的正实数,故等号不成立. ∴a+b+c> ab+ bc+ ca. [高考水平训练] 一、填空题 1. 若 a>0, b>0, a+b=2, 则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立的是________. (写 出所有正确命题的编号) ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3; 1 1 ⑤ + ≥2. a b a+b?2 解析:①ab≤? ? 2 ? =1,成立. ②欲证 a+ b≤ 2,即证 a+b+2 ab≤2,即 2 ab≤0,显然不成立. ③欲证 a2+b2=(a+b)2-2ab≥2,即证 4-2ab≥2, 即 ab≤1,由①知成立. 解析:m=a+ 2 2 3 ④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3?a2-ab+b2≥ 2 3 3 5 ?(a+b)2-3ab≥ ?4- ≥3ab?ab≤ , 2 2 6 5 由①知,ab≤ 不恒成立. 6 a+b 1 1 ⑤欲证 + ≥2,即证 ≥2,即 ab≤1,由①知成立. a b ab 答案:①③⑤ 2.某民营企业的一种电子产品,2013 年的年产量在 2012 年基础上增长率为 a;2014 a+b 年计划在 2013 年的基础上增长率为 b(a, b>0), 若这两年的平均增长率为 q, 则q与 的 2 大小关系是________. 解析: 设 2012 年的年产量为 1, 则 2014 年的年产量为(1+a)(1+b), ∴(1

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