2014年高考一轮复习数学教案:2.12 函数的综合问题


2.12

函数的综合问题

●知识梳理 函数的综合应用主要体现在以下几方面: 1.函数内容本身的相互综合,如函数概念、性质、图象等方面知识的综合. 2.函数与其他数学知识点的综合,如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函 数的综合.这是高考主要考查的内容. 3.函数与实际应用问题的综合. ●点击双基 1.已知函数 f(x)=lg(2x-b) 为常数) (b ,若 x∈[1,+∞)时,f(x)≥0 恒成立, 则 A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1 x x 解析:当 x∈[1,+∞)时,f(x)≥0,从而 2 -b≥1,即 b≤2 -1.而 x∈[1,+∞) 时,2x-1 单调增加, ∴b≤2-1=1. 答案:A 2.(2003 年郑州市质检题)若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象经过点 A(0,3) 和 B(3,-1) ,则不等式|f(x+1)-1|<2 的解集是___________________. 解析:由|f(x+1)-1|<2 得-2<f(x+1)-1<2,即-1<f(x+1)<3. 又 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象过点 A(0,3) ,B(3,-1) , ∴f(3)<f(x+1)<f(0). ∴0<x+1<3,-1<x<2. 答案: (-1,2) ●典例剖析 【例 1】 取第一象限内的点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P ,使 1,x1,x2,2 依次成等差数 列,1,y1,y2,2 依次成等比数列,则点 P1、P2 与射线 l:y=x(x>0)的关系为 A.点 P1、P2 都在 l 的上方 B.点 P1、P2 都在 l 上 C.点 P1 在 l 的下方,P2 在 l 的上方 D.点 P1、P2 都在 l 的下方 剖析:x1=

1 4 2 5 +1= ,x2=1+ = ,y1=1× 3 2 = 3 2 ,y2= 3 4 ,∵y1<x1,y2<x2, 3 3 3 3

∴P1、P2 都在 l 的下方. 答案:D 【例 2】 已知 f(x)是 R 上的偶函数,且 f(2)=0,g(x)是 R 上的奇函数,且对 于 x∈R,都有 g(x)=f(x-1) ,求 f(2002)的值. 解:由 g(x)=f(x-1) ,x∈R,得 f(x)=g(x+1).又 f(-x)=f(x) ,g(-x)=-g(x) , 故有 f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x) = g(x-3)=f(x-4) ,也即 f(x+4)=f(x) ,x∈R. ∴f(x)为周期函数,其周期 T=4. ∴f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=0. 评述:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.

【例 3】 函数 f(x)= (1)求 m 的值;

1 1 (m>0) 1、x2∈R,当 x1+x2=1 时,f(x1)+f(x2)= . ,x 4 ?m 2
x

1 2 n ?1 )+f( )+…+f( )+f(1) ,求 an. n n n 1 1 1 1 解: (1)由 f(x1)+f(x2)= ,得 x + x = , 2 1 4 ?m 4 ?m 2 2 1 ∴4 x1 +4 x 2 +2m= [4 x1 ? x2 +m(4 x1 +4 x 2 )+m2]. 2
(2)数列{an},已知 an=f(0)+f( ∵x1+x2=1,∴(2-m) x1 +4 x 2 )=(m-2)2. (4 ∴4 x1 +4 x 2 =2-m 或 2-m=0. ∵4 x1 +4 x 2 ≥2 4 x1 ? 4 x2 =2 4 x1 ? x2 =4, 而 m>0 时 2-m<2,∴4 x1 +4 x 2 ≠2-m. ∴m=2. (2)∵an=f(0)+f( + f(

1 2 n ?1 n ?1 )+f( )+…+f( )+f(1) ,∴an=f(1)+f( ) n n n n

1 n?2 )+…+f( )+f(0). n n 1 n ?1 1 1 1 n ?1 ∴2an= (0) (1) + ( ) ( [f +f ] [f +f ) +…+ (1) (0) = + +…+ = ] [f +f ] . n n 2 2 2 2 n ?1 ∴an= . 4 深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.

【例 4】 函数 f(x)的定义域为 R,且对任意 x、y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y) , 且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)证明 f(x)是奇函数; (2)证明 f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明:由 f(x+y)=f(x)+f(y) ,得 f[x+(-x) ]=f(x)+f(-x) ,∴f(x) + f(-x)=f(0).又 f(0+0)=f(0)+f(0) ,∴f(0)=0.从而有 f(x)+f(-x)=0. ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)证明:任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1) ] =f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1) ]=-f(x2-x1).由 x1<x2,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0. ∴-f(x2-x1)>0,即 f(x1)>f(x2) ,从而 f(x)在 R 上是减函数. (3)解:由于 f(x)在 R 上是减函数,故 f(x)在[-3,3]上的最大值是 f(-3) , 最小值是 f(3).由 f(1)=-2,得 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f (1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是 6, 最小值是-6.

深化拓展

对于任意实数 x、y,定义运算 x*y=ax+by+cxy,其中 a、b、c 是常数,等式右边的运算 是通常的加法和乘法运算.现已知 1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数 m,使得对于任意实 数 x,都有 x*m=x,试求 m 的值. 提示:由 1*2=3,2*3=4,得

?a ? 2b ? 2c ? 3, ? ?2a ? 3b ? 6c ? 4.
∴b=2+2c,a=-1-6c. 又由 x*m=ax+bm+cmx=x 对于任意实数 x 恒成立,

?a ? cm ? 1, ∴? ∴b=0=2+2c. ?bm ? 0.
∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1. ∴-1+6-m=1.∴m=4. 答案:4. ●闯关训练 夯实基础 1.已知 y=f(x)在定义域[1,3]上为单调减函数,值域为[4,7] ,若它存在反函数, 则反函数在其定义域上 A.单调递减且最大值为 7 B.单调递增且最大值为 7 C.单调递减且最大值为 3 D.单调递增且最大值为 3 - 解析:互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性,f 1(x) 的值域是 [1, . 3] 答案:C 2.(2003 年郑州市质检题)关于 x 的方程|x2-4x+3|-a=0 有三个不相等的实数根,则实 数 a 的值是___________________. 解析:作函数 y=|x2-4x+3|的图象,如下图.
y 3 2 1 O -1 1 2 3 x

由图象知直线 y=1 与 y=|x2-4x+3|的图象有三个交点,即方程|x2-4x+3|=1 也就是方 程|x2-4x+3|-1=0 有三个不相等的实数根,因此 a=1. 答案:1 3.(2003 年春季北京)若存在常数 p>0,使得函数 f(x)满足 f(px)=f(px- (x∈R) ,则 f(x)的一个正周期为__________. 解析:由 f(px)=f(px- 令 px=u,f(u)=f(u- 答案:

p ) 2

p ) , 2

p p p p p )=f[ (u+ )- ] ,∴T= 或 的整数倍. 2 2 2 2 2

p p (或 的整数倍) 2 2

4.已知关于 x 的方程 sin2x-2sinx-a=0 有实数解,求 a 的取值范围. 解:a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1. ∵-1≤sinx≤1,∴0≤(sinx-1)2≤4. ∴a 的范围是[-1,3]. 5.(2004 年上海,19)记函数 f(x)= 2 ? (2a-x)(a<1)的定义域为 B. ] (1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由 2-

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[ (x-a-1) x ?1

x ?1 x?3 ≥0,得 ≥0, x ?1 x ?1

∴x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞). (2)由(x-a-1) (2a-x)>0,得(x-a-1) (x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1). ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 而 a<1,∴

1 或 a≤-2. 2

1 ≤a<1 或 a≤-2. 2 1 ,1). 2

故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[

培养能力 6.(理)已知二次函数 f(x)=x2+bx+c(b≥0,c∈R). 若 f(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0] ,符合上述条件的函数 f(x) 是否存在?若存在,求出 f(x)的表达式;若不存在,请说明理由. 解:设符合条件的 f(x)存在, ∵函数图象的对称轴是 x=- 又 b≥0,∴-

b , 2

b ≤0. 2 1 b ①当- <- ≤0,即 0≤b<1 时, 2 2 b 函数 x=- 有最小值-1,则 2
?b 2 b 2 b ? ?b ? 4, ? c ? ?1 ?b ? 0, ? f (? ) ? ?1 ? ? ?? 4 ?? 或? (舍去). 2 ? 2 ?c ? ?1 ?c ? 3 ? f (?1) ? 0 ?1 ? b ? c ? 0 ? ?
②当-1<-

b 1 ≤- ,即 1≤b<2 时,则 2 2

b ? ?b ? ?2, ? f (? ) ? ?1 ?b ? 2, ?? (舍去)或 ? (舍去). 2 ? ?c ? 0 ?c ? 0 ? f ( 0) ? 0 ?

③当-

? f (?1) ? ?1, ?b ? 2, b ≤-1, b≥2 时, 即 函数在 [-1, 上单调递增, ? 0] 则 解得 ? 2 ? f (0) ? 0, ?c ? 0.

综上所述,符合条件的函数有两个, f(x)=x2-1 或 f(x)=x2+2x. (文)已知二次函数 f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0,c∈R). 若 f(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0] ,符合上述条件的函数 f(x) 是否存在?若存在,求出 f(x)的表达式;若不存在,请说明理由. 解:∵函数图象的对称轴是 x=-

b ?1 b ?1 1 ,又 b≥0,∴- ≤- . 2 2 2 b ?1 ≤-1 时,即 b≥1 时,函数 f(x)在[-1,0]上单调递增,则 2

设符合条件的 f(x)存在, ①当-

? f (?1) ? ?1 ?1 ? (b ? 1) ? c ? ?1 ?b ? 1, ?? ?? ? ? f (0) ? 0 ?c ? 0 ?c ? 0.
b ?1 ? ) ? ?1 b ?1 1 ? f (? ≤- ,即 0≤b<1 时,则 ? 2 2 2 ? f ( 0) ? 0 ?

②当-1<-

? b ? 1 2 (b ? 1) 2 ) ? ? c ? ?1 ?b ? 1, ?( ?? (舍去). ?? 2 2 ?c ? 0 ?c ? 0 ?
综上所述,符合条件的函数为 f(x)=x2+2x. 7. 2005 年春季上海, 已知函数 f x) ( 21) ( =x+

2 a 的定义域为 (0, +∞) 且 f 2) , ( =2+ . 2 x

设点 P 是函数图象上的任意一点,过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M、 N.
y 7 6 5 4 N 2 1 O y=x

P M 1234 567 x

(1)求 a 的值. (2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由. (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 解: (1)∵f(2)=2+

2 a =2+ ,∴a= 2 . 2 2

(2)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,则有 y0=x0+

2 x0

,x0>0,由点到直线的距离公式可知,

|PM|=

| x0 ? y 0 | 2

=

1 ,|PN|=x0,∴有|PM|·|PN|=1,即|PM|·|PN|为定值,这个值为 1. x0

(3)由题意可设 M(t,t) ,可知 N(0,y0). ∵PM 与直线 y=x 垂直,∴kPM·1=-1,即

y0 ? t 1 =-1.解得 t= (x0+y0). x0 ? t 2

又 y0=x0+

2 x0
1 2 x0

,∴t=x0+

2 . 2 x0

∴S△OPM=

2

+

2 2 1 ,S△OPN= x02+ . 2 2 2

∴S 四边形 OMPN=S△OPM+S△OPN=

1 1 (x02+ 2 )+ 2 ≥1+ 2 . 2 x0

当且仅当 x0=1 时,等号成立. 此时四边形 OMPN 的面积有最小值 1+ 2 . 探究创新 8.有一块边长为 4 的正方形钢板, 现对其进行切割、 焊接成一个长方体形无盖容器 (切、 焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计:如图(a) ,在钢板的四个角处各切去 一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图(b). (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积 V1; (2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费) ,请你重新设计切、焊方法,使材料浪费 减少,而且所得长方体容器的容积 V2>V1.
x x

() a

() b

解: (1)设切去正方形边长为 x,则焊接成的长方体的底面边长为 4-2x,高为 x, ∴V1=(4-2x)2·x=4(x3-4x2+4x) (0<x<2). 2 ∴V1′=4(3x -8x+4). 令 V1′=0,得 x1= 而 V1′=12(x-

2 ,x2=2(舍去). 3

2 ) (x-2) , 3 2 2 又当 x< 时,V1′>0;当 <x<2 时,V1′<0, 3 3 2 128 ∴当 x= 时,V1 取最大值 . 3 27
(2)重新设计方案如下: 如图①,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图②,将切下的小正 方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器.

新焊长方体容器底面是一长方形,长为 3,宽为 2,此长方体容积 V2=3×2×1=6,显然 V2>V1. 故第二种方案符合要求.
31 1 4 2 3 1 1 2 2 1 3 2

①  

②  



●思悟小结 1.函数知识可深可浅,复习时应掌握好分寸,如二次函数问题应高度重视,其他如分类 讨论、探索性问题属热点内容,应适当加强. 2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中,掌握了这一点,将会体会到 函数问题既千姿百态,又有章可循. ●教师下载中心 教学点睛 数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法, 应要求学生熟练掌握用函数的图 象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题. 拓展题例 【例 1】 设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a、b∈[-1,1] ,当 a+b≠0 时,都有

f (a) ? f (b) >0. a?b 1 1 )<f(x- ) ; 2 4

(1)若 a>b,比较 f(a)与 f(b)的大小; (2)解不等式 f(x-

(3)记 P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且 P∩Q= ? ,求 c 的取值范围. 解:设-1≤x1<x2≤1,则 x1-x2≠0, ∴

f ( x1 ) ? f (? x 2 ) >0. x1 ? (? x 2 )

∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0. ∴f(x1)<-f(-x2). 又 f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2). ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)是增函数. (1)∵a>b,∴f(a)>f(b). (2)由 f(x-

1 1 )<f(x- ) ,得 2 4

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1, ? 1 ? ?? 1 ? x ? ? 1, 4 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 4 , ?

∴-

1 5 ≤x≤ . 2 4

∴不等式的解集为{x|-

1 5 ≤x≤ }. 2 4

(3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c,

∴P={x|-1+c≤x≤1+c}. 由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2, ∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}. ∵P∩Q= ? , ∴1+c<-1+c2 或-1+c>1+c2, 解得 c>2 或 c<-1. 【例 2】 (2003 年南昌市高三第一次质量调研测试题)已知函数 f(x)的图象与函 数 h(x)=x+

1 +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x

(1)求 f(x)的解析式; (2) (文)若 g(x)=f(x) ·x+ax,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. (理)若 g(x)=f(x)+

a ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取 x

值范围. 解: (1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x,y) ,点(x,y)关于点 A(0,1)的对称 点(-x,2-y)在 h(x)的图象上. ∴2-y=-x+ ∴y=x+

1 +2. ?x

1 1 ,即 f(x)=x+ . x x 1 (2) (文)g(x)=(x+ ) ·x+ax, x
即 g(x)=x2+ax+1. g(x)在(0,2]上递减 ? - ∴a≤-4.

a ≥2, 2

a ?1 . x a ?1 ∵g′(x)=1- 2 ,g(x)在(0,2]上递减, x a ?1 ∴1- 2 ≤0 在 x∈(0,2]时恒成立, x
(理)g(x)=x+ 即 a≥x2-1 在 x∈(0,2]时恒成立. ∵x∈(0,2]时, 2-1)max=3, (x ∴a≥3. 【例 3】 (2003 年山东潍坊市第二次模拟考试题)在 4 月份(共 30 天) ,有一新款服 装投放某专卖店销售,日销售量(单位:件)f(n)关于时间 n(1≤n≤30,n∈N*)的函 数关系如下图所示,其中函数 f(n)图象中的点位于斜率为 5 和-3 的两条直线上,两直线 的交点的横坐标为 m,且第 m 天日销售量最大.
fn) ( 57 2 O 1 2 m 30 n

(1)求 f(n)的表达式,及前 m 天的销售总数; (2)按规律,当该专卖店销售总数超过 400 件时,社会上流行该服装,而日销售量连 续下降并低于 30 件时, 该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过 10 天?并说明理由. 解: (1)由图形知,当 1≤n≤m 且 n∈N*时,f(n)=5n-3. 由 f(m)=57,得 m=12.

?5n ? 3 ∴f(n)= ? ?? 3n ? 93

1 ? n ? 12, 且n ? N * , 12 ? n ? 30, 且n ? N * .

前 12 天的销售总量为 5(1+2+3+…+12)-3×12=354 件. (2)第 13 天的销售量为 f(13)=-3×13+93=54 件,而 354+54>400, ∴从第 14 天开始销售总量超过 400 件,即开始流行. 设第 n 天的日销售量开始低于 30 件(12<n≤30) ,即 f(n)=-3n+93<30,解得 n> 21. ∴从第 22 天开始日销售量低于 30 件, 即流行时间为 14 号至 21 号. ∴该服装流行时间不超过 10 天.


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