18-19 第1章 1.1 第2课时 正弦定理(2)_图文

第1章 解三角形 1.1 正弦定理
第2课时 正弦定理(2)

















?

?







学习目标:1.利用正弦定理判断三角形的形状,计算三角形的面积.(重 双





点)2.正弦定理与三角恒等变换的综合应用.(难点)3.利用正弦定理解题时,忽

合 作

略隐含条件而致误.(易错点)











?













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[自 主 预 习·探 新 知]





主 预

1.正弦定理的深化与变形

堂 达





? 探


a (1)sin

A=sinb

B=sinc

C=

2R



sin

a+b+c A+sin B+sin

C

.

? 固






(2)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B,c= 2Rsin C.

合 作 探

(3)ab=

sin sin

A B

,ac=

sin sin

A C

,bc=ssiinn

B C

.



课 时 分

? 攻

(4)a∶b∶c= sin A ∶ sin B ∶ sin C .

层 作







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?

?





新 知

2.三角形面积公式

双 基

合 作 探

1 S△ABC= 2absin C

1 = 2bcsin A

1 =2acsin B

.

课 时





?













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自 主

思考 1:已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数?

当 堂







[提示] 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等,则这两个三角形全 标

?

?

探 新

等.即三角形的两边及其夹角确定时,三角形的六个元素即可完全确定,故

固 双





不必考虑解的个数的问题.

合 作

思考 2:在△ABC 中,已知 acos B=bcos A.你能把其中的边 a,b 化为 课





究 ?

用角表示吗(打算怎么用上述条件)?

分 层







[提示] 可借助正弦定理把边化成角:2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A,移项 业



后就是一个三角恒等变换公式 sin Acos B-cos Asin B=0. 返 首 页

[基础自测]







思考辨析







习 ?

(1)在有些三角形中,a=sin A,b=sin B,c=sin C.( )

标 ?





新 知

(2)在△ABC

中,sina

A=sin

b+c B+sin

C.(

)

双 基

合 作

(3)在△ABC 中,a=2,b=1,C=30°,则 S△ABC=1.( )



探 究 ?

[解析] 由正弦定理sina A=sinb B=sinc C可知(1),(2)正确;又 S△ABC=12

时 分 层





重 难

×2×1×sin 30°=12,故(3)错误.



[答案] (1)√ (2)√ (3)×









[合 作 探 究·攻 重 难]









求三角形的面积







?

?











在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 B=30°, 基

合 c=2 3,b=2,求△ABC 的面积 S.










? 攻

[思路探究] 先求 C,再求 A,最后利用 S△ABC=12bcsin A 求解.



分 层 作 业



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? 探


[解]

由正弦定理得 sin

C=csibn B=2

3sin 2

30°=

23.又∵c>b,∴C=60°

? 固






或 C=120°.当 C=60°时,A=90°,∴S=12bcsin A=2 3;当 C=120°时,A=



作 探 究

30°,∴S=12bcsin A= 3,∴△ABC 的面积 S 为 2 3或 3.

?

课 时 分 层











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? 探

[规律方法]

? 固







求三角形的面积,要充分挖掘题目中的条件,转化为求两边或两边之积 基

合 及其夹角正弦的问题,要注意方程思想在解题中的应用.另外也要注意三个内





探 角的取值范围,以避免由三角函数值求角时出现增根错误.


时 分

?













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预 习

[跟踪训练]

?

探 新 知

1.在△ABC 中,cos A=-153,cos B=53.

(1)求 sin C 的值;



作 探

(2)设 BC=5,求△ABC 的面积.



?







当 堂 达
标 ? 固 双 基







【导学号:57452005】

层 作



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主 预

[解] (1)在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,

堂 达

习 ?

A+B+C=π,

标 ?





新 知

由 cos A=-153,得 sin A=1123,

双 基

合 作 探

由 cos B=35,得 sin B=45,

课 时





? 攻


∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=1123×35+????-153????×45=1665.


作 业



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(2)在△ABC 中,由正弦定理得,



?

?

探 新 知

AC=BCs×insAin B=5× 1245=133,

固 双 基



13





探 究 ?

∴S△ABC=12×BC×AC×sin C=12×5×133×1665=83.

时 分 层











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利用正弦定理判断三角形的形状















? 探

在△ABC 中,已知 a2tan B=b2tan A,试判断△ABC 的形状.

? 固











[思路探究] 根据正弦定理可以把问题转化为角的问题,借助三角恒等变





探 换知识化简得到角与角的等量关系,再进一步判断.


时 分

?













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自 主 预

[解] 由已知得ac2osisnBB=bc2osisnAA.

当 堂 达

习 ? 探 新

由正弦定理得sinc2oAssBin B=sinc2oBssAin A,

标 ? 固 双





即 sin Acos A=sin Bcos B,亦即 sin 2A=sin 2B.

合 作

∴2A=2B 或 2A=π-2B,




究 ? 攻

∴A=B 或 A=π2-B,

时 分 层 作

重 难

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.



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[规律方法] 判断三角形形状的两种途径









(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得 达





? 探

出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

? 固







(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角 基

合 函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A





探 +B+C=π 这个结论.


时 分

? 攻


在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因 作





难 式,以免漏解.

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提醒:用正弦定理进行边角互化的两种方法:











?

?



























?













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[跟踪训练]

自 主

2.在△ABC 中,若 sin A=2sin Bcos C,且 sin2A=sin2B+sin2C,

当 堂





习 ?

试判断△ABC 的形状.

标 ?





新 知

[解] 法一:在△ABC 中,根据正弦定理:sina A=sinb B=sinc C=2R.

双 基



∵sin2A=sin2B+sin2C,






究 ? 攻

∴????2aR????2=????2bR????2+????2cR????2,即 a2=b2+c2.

时 分 层 作

重 难

∴A=90°,∴B+C=90°.



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习 ?

由 sin A=2sin Bcos C,得 sin 90°=2sin Bcos(90°-B),

标 ?





新 知

∴sin2B=12,∵B 是锐角,

双 基

合 作

∴sin B= 22,∴B=45°,C=45°.



课 时

究 ?

∴△ABC 是等腰直角三角形.

分 层











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主 预

法二:在△ABC 中,根据正弦定理:

堂 达





? 探


sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR.

? 固






∵sin2A=sin2B+sin2C,

合 作

∴a2=b2+c2,∴△ABC 是直角三角形且 A=90°.



探 究

∵A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C,

时 分

?



攻 重

∴sin(B+C)=2sin Bcos C,

作 业



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?

?







∴sin Bcos C-cos Bsin C=0,







即 sin(B-C)=0,∴B-C=0,即 B=C,

合 作

∴△ABC 是等腰直角三角形.











?













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正弦定理在生产实际中的应用











[探究问题]







? 探

1.如图 1-1-1,如何测量河两侧 A,B 两点间的距离?

? 固























?







重 难


图 1-1-1

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[提示] 如图,在 B 侧选一条基线 BC,测得 BC=a,∠ABC=α,∠ACB 当





预 =β,







?

?



























?













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? 探

则由正弦定理可知

? 固







sAinBβ=sin?BαC+β?,





作 探 究

即 AB=sBinC?αsi+n ββ?.

课 时 分

?













返 首 页





主 预

2.你能画出下列各角吗?

堂 达





? 探

(1)南偏西 30°;(2)仰角 30°,俯角 45°.

? 固









[提示]















?













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如图 1-1-2,要在山坡上 A,B 两处测量与地面垂直的铁塔 CD





主 预

的高,由 A,B 两处测得塔顶 C 的仰角分别为 60°和 45°,AB 长为 40 m,斜

堂 达





? 探

坡与水平面成 30°角,求铁塔 CD 的高.

? 固























?













图 1-1-2

返 首



















?

?











[思路探究] 构造三角形,通过三角形中的边角关系求得△ACD 中的部 基

合 分边角,利用正弦定理在△ACD 中求 CD 的长.













?













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自 主

[解] 延长 CD 交过 A,B 的水平线于 E,F,因为∠CAE=60°,∠CBF

当 堂

预 习

=45°,∠DBF=30°,

达 标

?

?



























?













返 首 页







所以∠BCF=45°,∠ACE=30°,∠BDF=60°,







习 ?

所以∠BCA=15°,∠ADC=120°,∠CBA=15°,∠CAD=30°.所以 AC

标 ?





新 知

=AB=40,

双 基



在△ACD 中,由正弦定理得,sin∠ACADC=sin∠CDCAD,






究 ? 攻

即 403=C1D,解得

CD=403

3 .

时 分 层 作



22





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母题探究:1.(变条件)本例中的条件“60°”改为“75°”,“45°改为 60°” 当





预 其他条件不变,试求铁塔的高.







? 探

[解析] 延长 CD 交过 A,B 的水平线于点 E,F(如图所示)

? 固























?













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因为∠CAE=75°,∠CBF=60°,∠DBF=30°,







预 习

所以∠BCF=30°,∠ACE=15°,∠BDF=60°,

达 标

?

?

探 新

所以∠BCA=15°,∠ADC=120°,∠CBA=30°,∠CAD=45°,

固 双







在△ABC 中,AC=AsBisni∠n∠BCCABA






究 ? 攻

=4s0isnin1350°°= 460-×122=20( 6+ 2),



时 分 层 作 业



4

返 首 页

















? 探


在△ACD 中,CD=ACsisni∠n∠ADCACD

? 固






合 作 探

=20?

6+ sin

2?sin 120°

45°=20?

6+

2?× 3

2 2 =40?3+3

3?(m).

课 时



2



?













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2.(变结论)本例条件“A,B 两处测得塔顶 C 的仰角分别为 60°和 45°”





主 预 习

改为“AB=AC,CD=403 6 m”其他条件不变,试求 B 处测得塔顶 C 的仰角.

堂 达 标

?

?

探 新

[解析] 设∠ABC=θ,因为 AB=AC,所以∠ACB=∠ABC=θ,

固 双



















?













返 首 页









预 习

所以∠CAD=∠ABC+∠ACB=2θ,

达 标

?

?

探 新

因为斜坡与水平面成 30°角,

固 双





所以∠ADC=180°-(90°-30°)=120°,



在△ ACD 中,由正弦定理得





探 究 ?

sin∠ACADC=sin∠CDCAD,



时 分 层 作







返 首 页





主 预

40 6

堂 达


? 探

所以sin41020°=sin32θ,


? 固







40 6 3





sin 2θ=

3 ×2 40



22,又

0°<2θ<90°,





探 究

所以 2θ=45°,所以 θ=22.5°,

时 分

?



攻 重

所以 B 处测得塔顶 C 的仰角为 52.5°.

作 业



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习 ?

[规律方法]

标 ?







解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意,正确作出图形,把实际 双





问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学

合 作

模型来求解.







究 ?

提醒:实际应用中,要注意三角函数公式的工具性作用.

分 层











返 首 页

[当 堂 达 标·固 双 基]











1.在△ABC 中,AB= 3,BC=1,B=30°,则△ABC 的面积 S△ABC= 达





? 探

________.

? 固









[解析]

S△ABC=21×AB×BC×sin B=21×

3×1×12=

3 4.







探 究 ?

[答案]

3 4

时 分 层











返 首 页

自 主

2.在△ABC 中,若coas A=cobs B=cocs C,则△ABC 是________三角形.

当 堂






? 探

[解析] 由正弦定理sina A=sinb B=sinc C=2R 可知 a=2Rsin A,b=2Rsin


? 固





知 B,c=2Rsin C.



合 作

由coas A=cobs B=cocs C可知 tan A=tan B=tan C,







究 ?

即 A=B=C,

分 层







∴△ABC 为等边三角形.





[答案] 等边







3.如图 1-1-3 所示,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,





主 预

在 A 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB

堂 达





? 探

=105°,则 A,B 两点的距离为________ m.

? 固







【导学号:57452006】 基















?



攻 重

图 1-1-3

作 业



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主 预

[解析] 由题意可知∠ABC=180°-105°-45°=30°,由正弦定理,得 AB

堂 达

习 ? 探 新 知

=ACsi·ns∠in∠ABACCB=50×1

2 2 =50

2(m).

标 ? 固 双 基

2







探 究

[答案] 50 2

时 分

?













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4.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C 当





预 习

+ccos A,则 B=________.

达 标

?

?

探 新

[解析] 法一:由 2bcos B=acos C+ccos A 及正弦定理,

固 双





得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A.

合 作

∴2sin Bcos B=sin(A+C).









又 A+B+C=π,∴A+C=π-B.

?

分 层

攻 重

∴2sin Bcos B=sin(π-B)=sin B.

作 业



又 sin B≠0,∴cos B=12.∴B=π3.

返 首



自 主

法二:∵在△ABC 中,acos C+ccos A=b,

当 堂


习 ? 探

∴条件等式变为 2bcos B=b,∴cos B=12.


标 ? 固

新 知

又 0<B<π,∴B=π3.

双 基



作 探 究

[答案]

π 3

?

课 时 分 层











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5.如图 1-1-4 所示,A、B 是水平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得 当





预 山顶 C 的仰角为 45°,∠BAD=120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其中 D 点 达





? 探

是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD.

? 固























?



攻 重

图 1-1-4

作 业



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[解] 由于 CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°,所以 CD=AD.







因此只需在△ABD 中求出 AD 即可.







习 ?

在△ABD 中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,

标 ?

探 新 知

由sinAB15°=sinAD45°,得

固 双 基

合 作 探

AD=ABsi·nsi1n54°5°=8060-×

2 2 2



课 时 分

?

4









=800( 3+1)(m).





即山的高度为 800( 3+1)m.







课时分层作业(二)

















?

?



























?













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