2019年人教版高考数学一轮复习10.2空间几何体的表面积与体积优质课教案

10.2 空间几何体的表面积与体积 典例精析 题型一 表面积问题 【例 1】 圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱 底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 【解析】设圆锥的半径为 R,母线长为 l,圆柱的半径为 r,轴截面 如图, S 圆锥=π(R+l)R =π(R+ 2R)R=( 2π +π)R2, S 圆柱=2πr( r+r)=4πr 2, r R-r r 1 又 = ,所以 = , R R R 2 S圆柱 2-1 所以 = .[] S圆锥 1 【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法. 【变式训练 1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m). (1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. [] 【解析】(1)直观图如图所示. 3 (2)该几何体的表面积为(7+ 2) m2,体积为 2 m3. 题型二 体积问题[] 【例 2】 某人有一容积为 V ,高为 a 且装满了油的直三棱柱形容器, 不小心将该容器掉在地上,有两处破损并发生渗漏,其位置分别在两 条棱上且距下底面高度分别为 b、 c 的地 方, 且容器盖也被摔开了(盖 为上底面),为减少油的损失,该人采用破口朝上,倾斜容器的方式 拿回家,估计容器内的油最想的剩余量是多少? 【解析】 如图,破损处为 D、E,且 AD=b,EC =c,BB1=a, 则容器内所剩油的最大值为几何 体 ABC-DB1E 的体积. VD ? BCEB 1 因为 VD ? BCEB 1 = VA ? BCEB 1 1 ,而 VA ? BCC B = 1 1 a+c , 2a VA ? ABC 1 2 由三棱柱几何性质知 VA ? BCC B = V, 3 1 1 1 V = , 3 所以 VD ? BCEB = 1 a+c V, 3a 又因为 VD ? ABC VA ? ABC 1 b b V bV = ,所以 VD-ABC= · = , a a 3 3a 1 所以 VABC ? DB E = VD ? BCEB +VD-ABC= 1 a+b+c V. 3a 故油最想的剩余量为 a+b+c V. 3a 【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体,然后求出这 些规则几何体的体积,这是求几何体体积的一种常用的思想方法. 【变式训练 2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器,里面装 满水,一铁球沉入水内,有水溢出,容器盖上一平板,恰与球相切, 问容器内剩下的水是原的几分之几? 【解析】设球的半径为 R,则圆锥的高 h=3R,底面半径 r= 3R, V 圆锥= π 4 · ( 3R)2· 3R=3πR3; V 球= πR3. 3 3 4 πR3 3 V球 4 所以 = = , V圆锥 3πR3 9 4 5 所以剩下的水量是原的 1- = .[] 9 9 【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比,作出轴截面,找出球半 径和圆锥高、底面半径的关系即可. 题型三 组合体的面积、体积的关系 【例 3】底面直径为 2,高为 1 的圆柱截成横截面为长方形的棱柱, 设这个长方形截面的一条边长为 x,对角线长为 2,截面的面积为 A, 如图所示: (1)求面积 A 以 x 为自变量的函式; (2)求 截得棱柱的体积的最大值. 【解析】 (1)A=x· 4-x2(0<x<2). (2)V=x· 4-x2·1= x2(4-x2) = -(x2-2)2+4. 因为 0<x<2,所以当 x= 2时,Vmax=2. 【点拨】关键是解截面,并 且注意 x 的范围从而求体积,在求第(2) 求体积时还可利用不等式. 【变式训练 3】(2010 山东检测)把一个周长为 12 cm 的长方形围成一 个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为( A.1∶2 π 【解析】设长方形的一条边长为 x cm,则另一条边长为(6-x) cm, 且 0<x<6,以长为(6-x) cm 的边作为围成的圆柱的高 h,若设圆 x 柱的底面半径为 r,则有 2πr=x,所以 r= ,因此圆柱的体积 V 2π x 1 1 =π·( )2(6-x)= (6x2-x3),由于 V′= ·(12x-3x2), 2π 4π 4π 令 V′=0,得 x=4,容易推出当 x=4 时圆柱的体积取得最大值,此时圆柱的底面 周长是 4 cm,圆柱的高是 2 cm,所以圆柱的底面周长与高的比为 2∶ 1,选 C. 总结提高[] 表面积包含侧面积和底面积; 直棱柱的侧棱 长即侧面展开图矩形的一 边;对于正棱柱、正棱锥、正棱台,其所有侧面多边形均全等,故可 B.1∶π C.2∶1 ) D.2 ∶ 先求一个的侧面积,再乘以侧面多边形的个. 求体积时,常常需要“转变”底面,使底面面积和高易求;另外,对 于三棱锥的几何体选择不同的底面时,利用同一个几何体体积相等, 再求出几何体的高,即等体积法.

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