高中数学 4.2-4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 栏 目 链 接 1.理解和掌握直线与圆的位置关系. 2.会用代数和几何方法判断直线和圆的位置关系. 3.利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 基 础 梳 理 直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断如下 表所示: 位置关系 公共点个数 几何法:设圆心到直线的距离 d= 判 定 方 法 消元得到一元二次方程的判别式 Δ |Aa+Bb+C| A2+B2 代数法:由 Δ_> __0 相交 相切 相离 2个 __ <r d___ 1个 __ d_= ___r 0个 __ > r d___ 栏 目 链 接 = Δ__ _0 Δ_< __0 基 础 梳 理 练习 1: 直线 x+y=0 与圆 x2+y2=1 的位置关系是______. 答案:相交 练习 2:(1)直线 x+y=0 与圆 x2+y2=2 联立求解知其解 为________,故直线与圆的位置关系为________. (2) 直 线 x + y = 2 与圆 x2 + y2 = 2 联 立求 解知其 解为 ________.故直线与圆的位置关系为________. 栏 目 链 接 答案:(1)(1,-1)或(-1,1) 相交 (2)(1,1) 相切 思 考 应 用 如何求直线被圆所截得的弦长? 解析:①应用圆中直角三角形:半径 r,圆心到直 ? l ?2 线的距离 d,弦长 l 具有的关系:r =d +?2? . ? ? 2 2 ②利用弦长公式:设直线 l:y=kx+b,与圆两交点 (x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利 用根与系数的关系得弦长 l= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. 1+k2 |x1 - x2| = 栏 目 链 接 自 测 自 评 1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( A.相切 C.直线过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离 栏 目 链 接 ) |1| 1 解析:圆心(0,0)到直线的距离为 2 <1, 2= 2 1 +1 且(0,0)不在直线 y=x+1 上,故选 B. 答案:B 自 测 自 评 2.下列说法中正确的是( ) A.若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切 B.与半径垂直的直线与圆相切 C.过半径外端的直线与圆相切 D.过圆心且与切线垂直的直线过切点 栏 目 链 接 解析:A 为相交,B、C 中的直线有无数条. 答案:D 自 测 自 评 3. 直线 y=x-1 上的点到圆 x2+y2+4x-2y+4=0 的最近距离为( A.2 2 C.2 2-1 ) B. 2-1 D.1 栏 目 链 接 答案:C 自 测 自 评 4.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么 a 的值是( A.5 ) B.4 C.3 D.2 栏 目 链 接 解析:∵|a-1|=2,又 a>0,∴a=3. 答案:C 自 测 自 评 5.点 A(3,5)是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条弦的中点, 则这条弦所在直线的方程为 ______________________________________________. 解析:圆为(x-2)2+(y-4)2=102,圆心为 B(2,4),r=10. 弦所在直线为 l,则 AB⊥l, 1 ∴kAB= =1,k=-1. 1 ∴所求直线为 y-5=-(x-3),即 x+y-8=0. 答案:x+y-8=0 栏 目 链 接 栏 目 链 接 题型一 判断直线与圆的位置关系 例1 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为 何值时, (1)圆与直线有两个公共点; (2)只有一个公共点; 栏 目 链 接 (3)没有公共点. 解析:本题可用代数法和几何法两种方法解,我们选用几 何法. |b | 圆心 O(0,0)到直线 y=x+b 的距离为 d= ,圆的半径 r 2 = 2. (1)当 d<r,即-2<b<2 时,直线与圆相交,有两个公共点. (2)当 d=r,即 b=2 或 b=-2 时,直线与圆相切,有一个 公共点. (3)当 d>r,即 b>2 或 b<-2 时,直线与圆相离,无公共点. 栏 目 链 接 点评: 几何法判断直线与圆的位置关系的主要步骤 是: ①把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径 r. ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 d. ③判断:当 d>r 时,直线与圆相离;当 d=r 时,直线 与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交. 栏 目 链 接 跟 踪 训 练 1.直线 3x-4y+6=0 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 的位 置关系是( A.相离 C.相交且过圆心 ) B.相切 D.相交但不过圆心 栏 目 链 接 解析:圆心(2,3)在直线 3x-4y+6=0 上,即直线与 圆相交且过圆心,故选 C. 答案:C 跟 踪 训 练 2.若直线 y=kx-2k 与圆(x-3)2+y2=1 恒有两个交点,则 实数 k 的取值范围为( A.R ? 6 6? C.?- , ? ? 12 12 ? ) B.(-∞,0)∪(0,+∞) ? 1 1? D.?-5,5? ? ? 栏 目 链 接 |3k-2k| 解析:由题意可知 2 <1,即此不等式恒成立,故选 A. 1+k 或直线 y=k(x-2)过定点(2,0),定点(2,0)在圆(x-3)2+y2=1 上.由于斜率 k 存在,故总有两个交点. 答案:A 跟 踪 训 练 3.直线 y=kx 被圆 x2+y2=2 截得的弦 AB 长等于( A.4 B.2 C.2 2 D. 2 ) 栏 目 链 接 解析:直线 y=kx 过圆心,被圆 x2+y2=2 所截得的弦 长恰为圆的直径 2 2

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