与名师对话二轮理科数学3-9-2_图文

与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

第 三 篇

题型方法篇

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第三篇

题型方法篇

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专 题 九

题型解题方法与技巧

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第三篇

题型方法篇

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重 难 点 透 析

第二讲

填空题的解法

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专题九

第二讲

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重 难 点 透 析

填空题是高考中客观性题型之一, 填空题主要考查学生的基 础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力,具有小巧灵 活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而 只需要写出结论等特点.从填写内容看,主要有两类:一类是定 量填写,一类是定性填写.
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专题九

第二讲

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填空题就是不要求写出计算或推理过程, 只需要将结论直接 写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的区别:第一,表现
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为填空题没有备选项, 因此, 解答时既有不受诱误的干扰之好处, 但也有缺乏提示的帮助之不足;第二,填空题的结构往往是一个 正确的命题或断言中,抽出其中的一些内容(既可以是条件,也 可以是结论),留下空位,让考生独立填上,考查方法比较灵活.
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专题九

第二讲

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从历年高考成绩看,填空题得分率一直不很高,因为填空题 的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简,稍有毛病,便
重 难 点 透 析

是零分.因此,解填空题要求在“快速、准确”上下工夫.由于 填空题不需要写出具体的推理、计算过程,因此要想“快速”解 答填空题,则千万不可“小题大做”,而要达到“准确”,则必 须合理灵活地运用恰当的方法,在“巧”字上下工夫.
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解填空题的基本原则是“小题不能大做”, 基本策略是“巧 做”.解填空题的常用方法有:直接法、特例法、数形结合法等.
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专题九

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重 难 点 透 析

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方法一
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直接法

【自主回顾】 直接法是解答填空题最基本的方法, 它是直接从题设条件出 发,利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、运 算等过程,直接得到结果,即“小题大做”,把填空题当作解答 题来处理的一种方法.
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专题九

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1.函数
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? 1 ? ? f(x)=ln?1-x-1? ?的定义域是________. ? ?

1 ? ?1- >0, x - 1 解析:使函数有意义,则须满足? ? ?x-1≠0,

解得 x>2 或
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x<1,所以函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
答案:(-∞,1)∪(2,+∞)

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专题九

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2.(2014· 辽宁卷)执行如图所示的程序框图,若输入 x=9, 则输出 y=________.
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9 解析:x=9 时,y= +2=5,|y-x|=|5-9|=4<1 不成立;x 3
重 难 点 透 析

?11 ? 4 5 11 11 11 ? ? =5,y= +2= ,|y-x|= 3 -5 = <1 不成立;x= ,y= 3 3 3 9 ? ? 3 ?29 11? 4 29 29 ? ? +2= ,|y-x|= 9 - 3 = <1 成立,输出 y= . 9 9 ? ? 9
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29 答案: 9

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【典例剖析】
重 难 点 透 析

(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内 角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 则△ABC 面积的最大值为________. 【思路启迪】 利用正弦定理及余弦定理求解.
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a b c 【解析】 ∵ = = =2R,a=2,又(2+b)(sin A sin A sin B sin C
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-sin B)=(c-b)sin C 可化为(a+b)(a-b)=(c-b)· c, ∴a2-b2=c2-bc,∴b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 bc 1 ∴ 2bc =2bc=2=cos A,∴∠A=60° . ∵△ABC 中,4=a2=b2+c2-2bc· cos 60° =b2+c2-bc≥2bc -bc=bc(“=”当且仅当 b=c 时取得),
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1 1 3 ∴S△ABC=2· bc· sin A≤2×4× 2 = 3.
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【答案】

3
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解三角形一般围绕“三个定理(正弦、 余弦、 内角和)”、 “一
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个公式(面积公式)”展开,公式运用要熟练、准确,解题途径要 合理、简捷,考查三角函数或者解三角形的核心知识,解题要围 绕核心展开思考,如三角函数的定义、三角形中基本的边、角关 系等.
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【举一反三】 1.(2014· 浙江名校联考)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,
重 难 点 透 析

且 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为________.

解析:设等比数列{an}的公比为 q,则由 S1,2S2,3S3 成等差数 列得,4S2=S1+3S3,∴4(a1+a1q)=a1+3a1+3a1q+3a1q2,解之 1 得,q= (q=0 舍去). 3
1 答案:3

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2. 设圆 x2+y2=1 的一条切线与 x 轴, y 轴分别交于点 A, B, 则|AB|的最小值为________.
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解析:由条件知切线在两坐标轴上的截距存在,且不为零, x y 故设切线方程为 + =1, 切线与两坐标轴交于点 A(a,0)和(0, b), a b ab 不妨设 a>0, b>0, 则 2 ∴a2b2=a2+b2≥2ab, ∴ab≥2, 2=1, a +b 则|AB|= a2+b2≥ 2ab≥2.
答案:2
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3 . (2014· 辽宁三校联考)若
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? π? cos ?α+6? - sin ? ?

3 3 α= 5 ,则

? π? cos?α+3?=________. ? ?
? π? 解析:∵cos?α+6?-sin ? ?

π π α=cos αcos 6-sin αsin 6-sin α=

? π? 3 3 3 3 3 1 3 3 ?α+ ?= . 3? 5 2 cos α-2sin α= 5 ,∴2cos α- 2 sin α=5,∴cos?

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3 答案: 5

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方法二
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特殊化法

【自主回顾】 当填空题暗示答案是一个“定值”时,我们可以取一个(些) 特殊数值或一个 ( 些 ) 特殊位置或一个 ( 些 ) 特殊图形来确定这个 “定值”,以节省推理论证过程.对于解答题,特例常常只是提 供论证的方向,而对填空题却就是答案了,当题目的条件是从一 般性的角度给出时,特例法尤其有效.
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值得注意的是,特殊化法中,根据普通与特殊的关系,除了 取特殊数值外,还可以取特殊角、特殊函数、特殊位置、特殊数
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列、特殊图形等. 1.(2014· 东北三校联考)若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则 实数 a=________.
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解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a.因为 f(x)为偶函数,所以 f(-1) =f(1),即 1-(a-4)-4a=1+(a-4)-4a,a=4.
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答案:4
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2.如图,在△ABC 中,AO 是 BC 边上的中线,K 为 AO 上 → → 一点,且AO=2AK,过点 K 的直线分别交直线 AB、AC 于不同 → → → → 的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n=________.

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解析:当过点 K 的直线与 BC 平行时,MN 就是△ABC 的一
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→ → → 条中位线(∵AO=2AK,∴K 是 AO 的中点).这时由于有 A B = → → → 2AM,AC=2AN,因此 m=n=2,故 m+n=4.
答案:4
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【典例剖析】
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(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45° ,则 x0 的取值范围是________. 【思路启迪】 借助 M、N 的特殊位置求解.
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【解析】
重 难 点 透 析

设圆 x2+y2=1 与 x 轴负半轴交于 A 点,与 x 轴

正半轴交于 B 点, 当点 M 位于 M1(-1,1)位置, 点 N 位于 A 点时, 由对称性可知当点 M 位于(1,1), 点 N 位于 B 点时, ∠OMN=45° , 当 M 横坐标的绝对值大于 1 时均不能满足∠OMN=45° ,故- 1≤x0≤1.
【答案】 [-1,1]
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本题在解答中,充分考虑了“x0 虽然任意,但∠OMN 的值
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却是定值”这一信息, 通过取直线的一个特殊位置得到了问题的 解,显得非常简单,在求解这类填空题时,就要善于捕捉这样的 有效信息,帮助我们解决问题.
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【举一反三】
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1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AP⊥BD, 垂足为 P, → → 且 AP=3,则AP· AC=________.

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解析: 把平行四边形 ABCD 看成正方形, 则 P 点为对角线的
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→ → 交点,AC=6,则AP· AC=18.
答案:18

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2.设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A,
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→ → B 两点,则OA· OB=________.
1 解析:如图,由题意可取过焦点的直线为 x=2,

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?1 ? ?1 ? A?2,1?,B?2,-1?, ? ? ? ?

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求出交点
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3 → → 1 1 ∴OA· OB= × +1×(-1)=- . 2 2 4
3 答案:- 4
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1 1 1 3.如果 abc=1,则 + + 的值是 ab+b+1 bc+c+1 ca+a+1
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________.
解析:∵abc=1,可取 a=1,b=1,c=1,代入得:原式= 1 1 1 + + =1. 3 3 3
答案:1
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方法三
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图解法

【自主回顾】 对于一些含有几何背景的填空题, 若能赋数以形, 以形辅数, 则可以简捷地解决问题,得出正确的结果.常见应用方式有:借 助函数图象、不等式表示的平面区域、数轴、图表等.对于有的 问题还可以依据代数式的几何意义构造图形解答.
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1 . 如 果 不 等 式 4x-x2 >(a - 1)x 的 解 集 为 A , 且 A ? {x|0<x<2},那么实数 a 的取值范围是________.
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解析:
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根据不等式解集的几何意义,作函数 y= 4x-x2和函数 y= (a-1)x 的图象(如图),从图上容易得出实数 a 的取值范围是 a∈
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[2,+∞).
答案:[2,+∞)
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重 难 点 透 析

-x2+x,x≤1, ? ? 2.(2014· 山东青岛一模)已知函数 f(x)=? 1 log3 x,x>1, ? ? g(x)=2x+|k-1|,若对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)成立, 则实数 k 的取值范围为________.
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解 析 : 对任意的 x1 , x2 ∈ R , 都 有 f(x1)≤g(x2) 成立,即
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-x2+x,x≤1, ? ? f(x)max≤g(x)min.观察 f(x)=? 1 的图象可知,当 x log3x,x>1 ? ? 1 1 =2时,函数 f(x)max=4;因为 g(x)=2x+|k-1|>|k-1|,所以|k- 1 3 5 1|≥4,解得 k≤4或 k≥4.
3 5 答案:k≤ 或 k≥ 4 4
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【典例剖析】
重 难 点 透 析

(2013· 四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 当 x≥0 时, f(x)=x2-4x.那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 【思路启迪】 依据已知条件求出 y=f(x),x∈R 的解析式, 再借助 y=f(x)的图象求解.
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重 难 点 透 析

【解析】

设 x<0,则-x>0.

∵当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, ∴f(-x)=(-x)2-4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x),

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∴f(x)=x2+4x(x<0),
重 难 点 透 析
2 ? ?x -4x,x≥0, ∴f(x)=? 2 ? ?x +4x,x<0. 2 ? ?x -4x=5, 得? ? ?x≥0 2 ? ?x +4x=5, 或? ? ?x<0,

由 f(x)=5

∴x=5 或 x=-5.

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观察图象可知由 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3.
重 难 点 透 析

∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}.
【答案】 {x|-7<x<3}
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借助图象直接反映函数值的变换,可以直接、简捷地解决问
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题.
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【举一反三】
重 难 点 透 析

? π? 1.不等式?|x|-2?· sin ? ?

x<0,x∈[-π,2π]的解集为________.

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π 解析: 在同一坐标系中分别作出 y=|x|- 与 y=sin x 的图象: 2
重 难 点 透 析

? π? ? π? 根据图象可得不等式的解集为?-π,-2?∪?0,2?∪(π,2π). ? ? ? ?

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? π? ? π? 答案:?-π,-2?∪?0,2?∪(π,2π) ? ? ? ?

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2.抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形 区域为 D(包含三角形内部与边界).若点 P(x,y)是区域 D 内的
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任意一点,则 x+2y 的取值范围是________.
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解析:由于 y′=2x,所以抛物线在 x=1 处的切线方程为 y-1 =2(x-1),即 y=2x-1.
重 难 点 透 析

1 1 画出可行域(如图).设 x+2y=z,则 y=-2x+2z,可知当直线
?1 ? 1 1 y=- x+ z 经过点 A?2,0?,B(0,-1)时,z 分别取到最大值和最 2 2 ? ? ? 1? 1 小值, 此时最大值 zmax=2, 最小值 zmin=-2, 故取值范围是?-2,2?. ? ?
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? 1? 答案:?-2,2? ? ?

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3.已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的 球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的
重 难 点 透 析

距离为________.
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解析:正三棱锥 P-ABC 可看作是由正方体 PADC-BEFG 所截得的,如图所示,PF 为三棱锥 P-ABC 的外接球的直径,
重 难 点 透 析

且 PF⊥平面 ABC.设正方体棱长为 a,则 3a2=12,a=2,AB= AC=BC=2 2. 1 3 S△ABC=2×2 2×2 2× 2 =2 3. 1 1 1 由 VP-ABC=VB-PAC,得3· h· S△ABC=3×2×2×2×2,
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2 3 3 所以 h= 3 ,因此球心到平面 ABC 的距离为 3 .
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3 答案: 3

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方法四
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整体法

【自主回顾】 在解数学问题时,把问题中的对象看作一个整体,通过研究 问题的整体形式、整体结构,全面关注已知条件和待求结论在这 个“整体”中的地位与作用, 然后通过对整体结构的调节与转化 使问题获解.
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在运用整体思想解题时, 应注意通过观察把解题的注意力和 着眼点放在问题的整体结构上,对整体结构进行全面、深刻地分
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析和改造,以便从整体的研究中找出解决问题的途径和方法.
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1.(2013· 江西卷)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x +ex,则 f′(1)=________.
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解析:令 ex=t,则 x=ln t,所以 f(x)=ln x+x,即 f′(x)=1 1 + ,则 f′(1)=1+1=2. x
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答案:2

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x2 2 2.设 F1 和 F2 为双曲线 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲 4
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线上且满足∠F1PF2=90° ,则△F1PF2 的面积是________.

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解析:根据题意,△F1PF2 的面积是
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1 S=2|PF1|· |PF2|,
? ?|PF1|-|PF2|=4, 而? 2 2 ? | PF | + | PF | ? 1 2 =20.

① ②
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于是,由②-①2,即得|PF1|· |PF2|=2, 1 1 从而 S=2|PF1|· |PF2|=2×2=1.
答案:1

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【典例剖析】
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(2014· 新课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)= sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为________. 【思路启迪】 把 x+2φ 转化为(x+φ)+φ.
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【解析】 ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
重 难 点 透 析

=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin[(x+φ)-φ]=sin x, ∴f(x)的最大值为 1.
【答案】 1
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根据关系式的形式特点,有意识的进行整体配凑,达到运用
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公式求值的目的.
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【举一反三】 1.(2013· 广东卷)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则
重 难 点 透 析

3a5+a7=________.
解析:因为 a3+a8=10,所以 3a5+a7=2a5+a5+a7=a1+a9 +a5+a7=(a1+a7)+(a5+a9)=2(a4+a7)=2(a3+a8)=20.
答案:20
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专题九

第二讲

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2. (2014· 北京西城区模拟)在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,且 PD=a,PA=PC= 2a,若在这个四棱
重 难 点 透 析

锥内放一个球,则此球的最大半径是________.
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专题九

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解析:设放入的球的半径为 r,球心为 O,连接 OP,OA, OB,OC,OD,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,
重 难 点 透 析

这些小棱锥的高都是 r,底面分别为原四棱锥的侧面和底面,则 1 VP - ABCD = 3 r(S △ PAB + S △ PBC + S △ PCD + S △ PAD + S 2)a2. 由题意,知 PD⊥底面 ABCD, 1 1 3 所以 VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= a . 3 3 1 正方形 ABCD) = r(2 + 3
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专题九

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1 1 由体积相等,得 r(2+ 2)a2= a3, 3 3
重 难 点 透 析

1 解得 r= (2- 2)a. 2
1 答案: (2- 2)a 2
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3. (2014· 沈阳质量监测)已知函数 y=f(x)是 R 上的可导函数,
重 难 点 透 析

f?x? 当 x≠0 时,有 f ′(x)+ x >0,则函数 F(x)= 1 xf(x)+ x 的零点个数为________.
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解析:依题意,记 g(x)=xf(x),则 g′(x)=xf ′(x)+f(x),g(0)
重 难 点 透 析

=0.当 x>0 当 x<0

? 时,g′(x)=x? ?f ?

f?x?? ? ′?x?+ ?>0,g(x)是增函数,g(x)>0; x ?

? 时,g′(x)=x? ?f ?

f?x?? ? ′?x?+ x ?<0,g(x)是减函数,g(x)>0.在同一 ?

1 坐标系内画出函数 y=g(x)与 y=- x的大致图象, 结合图象可知, 它 1 们共有 1 个公共点,因此函数 F(x)=xf(x)+ x 的零点个数是 1.

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答案:1

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方法五
重 难 点 透 析

构造法

【自主回顾】 通过对条件和结论的分析,构造适当的辅助量来转换命 题.或者直接构造结论所述的数学对象,从而使问题得以解决; 或者构造一个符合条件但不满足结论的反例来否定结论. 我们称 这种解题方法为“构造法”,用构造法解题,在高中数学中应用 广泛,它需要独特的见解、灵活的思维.
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1 1 1 1 1 1.a=ln - ,b=ln - ,c=ln - 2 012 2 012 2 013 2 013 2 014
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1 ,则 a,b,c 的大小关系为________. 2 014
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1-x 1 解析:令 f(x)=ln x-x,则 f ′(x)= -1= . x x
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当 0<x<1 时, f ′(x)>0,即函数 f(x)在(0,1)上是增函数. 1 1 1 ∵1> > > >0,∴a>b>c. 2 012 2 013 2 014
答案:a>b>c
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? 1 ? ? 2 ? 3x-2? 1? ?x≠ ?,则 f? ?+f? ?+?+ 2.已知函数 f(x)= 2x-1? 2? ?2 014? ?2 014?
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?2 f?2 ?

013? ?的值是________. 014?
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解析:通过观察,可先试探性地计算 f(x)+f(1-x)再推广,
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? 1 ? ?2 013? 3x-2 3?1-x?-2 f(x)+f(1-x)= + =3,所以 f?2 014?+f?2 014?= 2x-1 2?1-x?-1 ? ? ? ? ? f ?2 ? ? f?2 ? ?1 006? ?1 008? ? 1 ? 2 ? ?2 012? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 014? + f ?2 014? = ? = f ?2 014? + f ?2 014? = 3 ,所以 f ?2 014? + ?2 013? 2 ? 3 6 039 ?+?+f? ?=1 006×3+ = 014? 2 2 . ?2 014?

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6 039 答案: 2

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【典例剖析】
重 难 点 透 析

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如图,已知球 O 的球面上有四点 A,B,C,D,DA⊥平面 ABC, AB⊥BC, DA=AB=BC= 2, 则球 O 的体积等于________.

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【思路启迪】 构造长方体解决.
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【解析】
重 难 点 透 析

如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设

正方体的外接球球 O 的半径为 R, 则正方体的体对角线长即为球 O 的直径,所以|CD|= 6 ? 2? +? 2? +? 2? =2R,所以 R= 2 ,故球 O 的体积 V
2 2 2

4πR3 = 3 = 6π.

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【答案】



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构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用, 需要根据
重 难 点 透 析

已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函 数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.本 题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为正方体的体对角线, 问题很容易得到解决.
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【举一反三】
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1 2 1. 若不等式 m≤2x+ 当 x∈(0,1)时恒成立, 则实数 m 的 1-x 最大值为________.
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?1-x?+x 1 2 解 析 : x ∈ (0,1) 时 1 - x>0 , ∴ 2x + = + 2 x 1-x
重 难 点 透 析

2?1-x?+2x 1-x 2x 1 5 9 = 2x + + +2≥2+2 1=2,当且仅当 1-x= 1-x 1-x 2 9 1 2 2x,即 x=3 时取得最小值 ,∴使 m≤ + 恒成立的实数 m 2 2x 1-x 9 的最大值为 . 2
9 答案: 2
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2.已知整数 x,y,z 满足 x>y>z,且 2x+3+2y+3+2z+3=37, 则整数组(x,y,z)为________.
重 难 点 透 析

解析: 37 = 1 + 4 + 32 = 20 + 22 + 25 = 2x 3 + 2y 3 + 2z 3 ,∵
+ + +

?x+3=5, ? x>y>z,∴?y+3=2, ?z+3=0, ?

?x=2, ? 得?y=-1, ?z=-3. ?

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答案:(2,-1,-3)

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1 3.已知数列{an}中,an>0,Sn 是{an}的前 n 项和,且 an+ an
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=2Sn,则 an=________.

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1 解析:将 an+ =2Sn 变形为 a2 n+1=2Snan,再将 an=Sn-Sn an
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-1

2 (n≥2)代入并化简,得 S2 n-Sn-1=1,S1=a1=1,

∴{S2 n}是等差数列,公差为 1,首项为 1, ∴S2 1 =n . n=1+(n-1)· ∵an>0,∴Sn>0,∴Sn= n,∴an= n- n-1.
答案: n- n-1
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重 难 点 透 析

填空题解题的基本原则是: “小题小做, 不能小题大做”. 解 题的基本策略:“争取巧做,但未必能巧做”. 填空题解答的基本要求是: (1)要有合理的分析和判断, 要求推理运算的每一步都要正确 无误. (2)所填的结果要完整,务必做到不重不漏.
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(3)所填结果的形式要规范、准确、简约,应符合高中数学教 材的要求.
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(4)解答填空题时平均每小题的用时应控制在 3 分钟左右.
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重 难 点 透 析

请做:课时作业(二十七)

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