12年高二上期末考试试题

江苏省天一中学 2012- 2013 学年第一学期 高二强化班数学期末考试试题
命题:李维维 审核:陆 韧

注意事项及答题要求:
1.本试卷包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题)和解答题(第 15 题~第 20 题,共 6 题)两部分.本次考试时间为 120 分钟,满分为 160 分.考试结束后,请将答题纸交回. 2.答题前,请务必将自己的班级、姓名、学号用黑色笔写在答题纸上密封线内的相应位 置. 3.答题时请用黑色笔在答题纸上作答,在试卷或草稿纸上作答一律无效. ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题纸相应 ..... 位置上. ... 1、集合 A ? 3, 2 a , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ?

? ?



2i (i 为虚数单位)的实部是 1? i 3、根据如图所示伪代码,则 f ( ?e) ? f (e) =
2、复数 z ?

▲ ▲ Read x If x≤0 Then f ( x ) ← ln x 2 Else f ( x) ← 2 x End If Print f ( x ) (第 3 题图)

4、设向量 a,b 满足: | a |? 1, a ? b ? 3 , a ? b ? 2 2 ,则 | b |? 2

▲ ▲

5、在正项等差数列 {a n } 中,且 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 30 ,则 a5 ? a6 的最大值是 6、若 ? ? π , π ,且 sin 2? ? 1 ,则 cos ? ? sin ? 的值是 4 2 16

? ?



?x ? 0 ? 7、设不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ? ?x ? y ? 2

坐标原点的距离大于 1 的概率是

▲ ▲

8、若函数 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k =

9、已知函数 f ( x ) ? cos x( x ?(0,2 ?)) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,且方程 f ( x ) ? m 有两个不同 的实根 x3 , x4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 10、如图,F1,F2 是双曲线 C: ▲

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C a2 b2

的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5,则双曲线的离心率 为 ▲ y B A F1 O F2 x
D A (第 10 题图) B (第 12 题图) C A1 D1 B1 C1

11、若点 P 在直线 l1 : x ? my ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l 2 与圆 C : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 只有一个公 共点 M,且 PM 的最小值为 4,则 m ? ▲

12、 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=1, AD=2. 若存在各棱长均相等的四面体 P1P2P3P4, 其中 P1,P2,P3,P4 分别在棱 AB,A1B1,C1D1,CD 所在的直线上,则此长方体的体积为 ▲ 13、设 x ? R, x ? 1 且 x ? 9 ,记 S ?
3 1 3 1 ? ? ? ,则 S 的最大值为 x ?1 x ? 9 x ?1 x ? 9



14、已知正方形 ABCD 的中心在原点,四个顶点都在函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? a ? 0? 图象 上.若正方形 ABCD 唯一确定,则 b 的值为 ▲

二、解答题:本大题共 6 题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (见答题纸)

江苏省天一中学高二第一学期强化班数学期末考试答题纸
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 4. 8. 12.

二、解答题:本大题共 6 题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.说明:本题由 A、B 两题组成,只需选择其中之一完成。若两题均做,按 A 号题计分 (本题满分 14 分) 2 1? ?1 ?2? A、已知矩阵 A ? ? ? ?1 2? , B ? ?0 1 ? . ? ? ? ? (1)计算 AB ; (2) 若矩阵 B 把直线 l : x ? y +2=0 变为直线 l ? ,求直线 l ? 的方程.

B、已知极坐标系的极点

O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 ? x ? 4t 2 , ? C1: ? cos(? ? ) ? 2 2 与曲线 C2: ? (t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB. 4 ? y ? 4t

16. (本题满分 14 分) 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AD=1, AB=2,点 E 是 C1D1 的中点. (1)求证:DE⊥平面 BCE; E D1 (2)求二面角 A—EB—C 的大小.
A1 B1 D

C1

C B

A

17. (本题满分 14 分) 一个袋中装有黑球,白球和红球共 n( n ? N * )个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任 2 意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5 4 (1)若 n=15,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ,设 ? 表示摸出的 2 个球中 7 红球的个数,求随机变量 ? 的概率分布及数学期望 E? ; (2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少?

18. (本题满分 16 分) 椭圆 T 的中心为坐标原点 O , 右焦点为 F (2, 0) , 且椭圆 T 过点 E(2, 2) ,△ ABC 的三个顶点 M,N,P . 都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 .. (1)求椭圆 T 的方程; (2)设△ ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2, 3 ,若直线 1 1 1 OM , ON , OP 的斜率之和为 0,求证: ? ? 为定值. k1 k2 k3

19. (本题满分 16 分) 1 已知函数 f(x)=alnx+ x2+(a+1)x+1. 2 (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,且对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有| f(x1)-f(x2)|>2| x1-x2|,求实数 a 的最小值.

20. (本题满分 16 分) 已知各项均为正数的等差数列 {a n } 的公差 d 不等于 0,设 a1 , a3 , ak 是公比为 q 的等比数列 {bn } 的前三项, (I)若 k ? 7 , a1 ? 2 , (i)求数列 {an bn } 的前 n 项和 Tn ; (ii)将数列 {a n } 和 {bn } 的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列 {cn }: 3,5,6,7,9,? , 设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,求 S2 ?n?1 ? 22n?1 ? 3 ? 2n?1 (n ? 2, n ? N * ) 的值;
n

(II)若存在 m ? k , m ? N * 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,求证: k 为奇数.


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