高中数学:4.1.1《圆的标准方程》课件2(新人教A版必修2)_图文

1 § 4.1 圆的方程 §4.4.1 圆的标准方程 2 求曲线方程的步骤 选系取动点,找等量,列方程,化简 3 圆的定义: 平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径. 根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b), 半径是r的圆的方程? (x-a)2+(y-b)2=r2 三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程. 4 练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 y (2)、(x+1)2+y2=1 Y -2 C(0、0) r=2 0 +2 X -1 0 X C(-1、0) r=1 5 练习 2、写出下列圆的方程 (1)、圆心在原点,半径为3; (2)、圆心在(-3、4),半径为 5 (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5 . 6 练习 3、圆心在(-1、2),与y轴相切 Y c C(-1、2) r=1 -1 0 X (x+1)2+(y-2)2=1 7 练习 4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2. Y Y=X C(2,2) -2 0X C(-2,-2) -2 2 2 (x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4 8 练习 5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程. Y C(8、3) P(5、1) 0 X (x-8)2+(y-3)2=13 9 练习 6、求以c(1、3)为圆心,并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程. Y C(1、3) 0 X 3x-4y-6=0 10 ? 解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ? 已知a=1,b=3 ? 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的 距离, ? 所以 |3 × 1-4 × 3-6| r= 2 2 = 3 + ( -4 ) 15 5 =3 ? 所以圆的方程为 (x-1)2+(y-3)2=9 11 练习 7、已知两点A(4、9)、B(6、 直径的圆的方程. Y A(4、9) 3), 求以AB为 B(6、3) 0 X 提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2 12 例2、已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆 上一点M(x0,y0)的切线方程. y 思考 M ( x0 , y 0 ) O 1.圆的切线有哪些性质? 2.求切线方程的关键是什么? 3.切线的斜率一定存在吗? x 13 4.除了课本解法,你还能想到哪些方法? 解:当M不在坐标上时,设切线的斜率为k,则k= - 1 kOM = y0 x0 , k =- x0 . y0 kOM . y 经过点M 的切线方程是 x y - y0 = - y0 (x - x0 ), 0 M ( x0 , y0 ) 2 0 所求的切线方程是 x0 x + x0 x + y0 y = x + y . 2 2 2 = r , 因为点M在圆上,所以 x 0 + y 0 整理得 2 0 O x y0 y = r . 2 14 当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用. 例2 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ,求经过圆 y 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。 分析:利用平面几何知识, 按求曲线方程的一般步骤求 解. 如图,在Rt△OMP中 由勾股定理: |OM|2+|MP|2=|OP|2 P(x,y) M ( x0 , y0 ) O x x0x +y0 y = r2 15 例 2.已知圆的方程是 x + y 过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。 2 2 =r 2 ,求经 y P(x,y) 分析:利用平面向量知识. 设P(x,y)是切线上不同于M的 任意一点,则 OM MP OM MP= 0 M ( x0 , y0 ) O x x0x +y0 y = r2 当P与M重合时,P的坐标仍满足上面方程. 16 经过圆 x 2 + y 2 = r 2上一点M ( x0 , y0 ) 的切线的 方程是 x0x +y0 y = r2 x2+y2=r2 xx+yy=r2 x0x+y0y=r2 练习3:写出过圆x2+y2=10 上一点 M(2, 6) 的切线方程。 2x + 6 y =10 17 例3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图, 该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时 每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长 y 度(精确到0.01) x 思考: 1.是否要建立直角坐标系?怎样建立? 2.圆心和半径能直接求出吗? 3.怎样求出圆的方程? 4.怎样求出支柱A2P2的长度? 18 解:建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是(0,b), 圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 . 把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得, b= -10.5 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m 答:支柱A2P2的长度约为3.86m. 19 例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) y 思考 利用圆的几 何性质,你能否 用直线方程求出 圆心坐标?进而 写出圆的方程? x C1 20 小结: (1)、牢记: 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、明确:三个条件a、

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