2015高考数学一轮精品导学案函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用

高三一轮复习 《函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质》导学案
★复习要点: (1)理解“五点法”画函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的意义,能根据 y ? A sin(? x ? ? ) 图 象确定 A,ω ,φ 的值; (2)熟悉由 y ? sin x 的图象到 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的两种变换; (3)掌握研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法,能够借助三角恒等变换求解有关函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的问题 ★知识梳理 形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定;? 由周期确定;? 由图 象上的特殊点确定, (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X = ? 3? 0, , ? , , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变 2 2 换法:这是作函数简图常用方法。 (3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: ①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; ②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的 函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;
1

时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。 ★互动探究 如何得到函数 y=3sin( 方法一: “五点法”
1 ? x ? )一个周期的图象? 2 6

方法二:由 y ? sin x 的图象变换得到

★ 热点考点题型探析 例 1 :已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< 所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sinx 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,写出 变换过程。

? )的部分图象如图 2

?

,得到

③函数 y ? sin?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象; 要特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应 ? 平移 | | 个单位, ? (4)研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将 y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间

练习 1 :已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0, ? ω >0,|φ |< )的部分图象如下图所示,求函数 f(x)的解 2 析式;

? 例 2:函数 y ? 4sin(2 x ? )( x ? R ) 的对称轴是直线_________________ , 3

对称中心是_____ ___,单调减区间是______________. 例 3 :(2009·陕西卷) 已知函数 f(x) =Asin(ω x+φ ) ,x∈R(其中 A>0,ω > ? ? 0,0<φ < )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一 2 2 2? 个最低点为 M ( ,-2). 3 (1) 求 f(x) 的解析式; (2) 求 f(x) 的最大值以及达到最大值时 x 的集合; (3) 求 f(x) 的单调递增区间.

★效果检测 1.若函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图像(部分)如下图 所示,则 ? 和 ? 的取值是( ) ? ? A、 ? ? 1, ? ? B、 ? ? 1, ? ? ? 3 3 1 ? ? C、 ? ? , ? ? D、 ? ? 1, ? ? ? 2 6 6 2.[2014·四川卷] 为了得到函数 y=sin (2x+1)的图像,只需把函数 y=sin 2x 的 图象上所有的点( ) 1 A.向左平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 D.向右平行移动 1 个单位长度

例 4 (2014 天津)

?? 3 ? 设 f ?x ? ? cos x ? sin? x ? ? ? 3 cos2 x ? , x?R 3? 4 ? (1)求 f(x) 的最小正周期。 ? ? ?? (2)当 x ? ?? , ? 时,求 f(x) 的最小值及最大值。 ? 4 4?

? π? 3.[2014·安徽卷] 若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图像向右平移 φ 个单位,所得图 4? ? 像关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. ? ? ?(x ? ? A )? ( ?0 ?, ? 0 , ?? ? 4. 已 知 f ( x ) ? A s i n 的 ) 2 2 图象如右图 (Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)说明 y ? f ( x) 的图象 是由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到?
4

y

练习 2 、设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是 ? 直线 x ? 8 (1)求 ? 的值 ; (2)求函数 f(x) 的单调增区间;

5.已知向量 m ? (1, cos?x), n ? (sin?x, 3) , (? ? 0 ) ,函 数 f ( x) ? m ? n 且 f(x) 图象上一个最高点的坐标为 ( 坐标为 (
7? ,?2) .求 f(x)的解析式。 12

0

?4

? 6

?

x

?
12

,2) ,与之相邻的一个最低点的

1 6.[2014·福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 (1)若 0<α <
间.

π 2 ,且 sin α = ,求 f(α )的值(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区 2 2


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