2019年人教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积优质课教案

§1.3 空间几何体的表面积与体积 §1.3.1 一、教材分析 柱体、锥体、台体的表面积与体积 本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手,分析 展开图与其表面积的关系,目的有两个:其一,复习表面积的概念,即表面积 是各个面的面积的和;其二,介绍求几何体表面积的方法,把它们展成平面图 形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积. 接着,教科书安排了一个“探究”,要求学生类比正方体、长方体的表面 积,讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题,并通过例 1 进一步加深学生的认识. 教学中可以引导学生讨论得出:棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形, 棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形,棱台的展形图是由梯形组成的平面 图形.这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的 面积问题. 教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们 的表面积?”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特 征,在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形,圆锥的侧面可以展开 成为一个扇形的结论,随后的有关圆台表面积问题的“探究”,也可以按照这 样的思路进行教学.值得注意的是,圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式, 得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开 图中的边长之间的关系,教学中应当引导学生认真分析,在分别学习了圆柱、 圆锥、圆台的表面积公式后,可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间 的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台;圆锥可看成上底面半径为零的 圆台,因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样,圆柱、圆锥的表面积公式 就可以统一在圆台的表面积公式之下. 关于体积的教学.我们知道,几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体 积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示 几何体占据了多大的空间,因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道: ①完全相同的几何体,它的体积相等; ②一 个几何体的体积等于它的各部 分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积 体,但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的. 柱体和锥体的体积计算,是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了 解,但进一步了解这些公式的推导,有助于学生理解和掌握这些公式,为此, 教科书安排了一个“探究”,要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之 间的关系.教学中,可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论. 与讨论表面积公式之间的关系类似,教科书在得出柱体、锥体、台体的体 积公式后,安排了一个“思考”,目的是引导学生思考这些公式之间的关系, 建立它们之间的联系.实际上,这几个公式之间的关系,是由柱体、锥体和台体 之间的关系决定的.这样,在台体的体积公式中,令 S′=S,得柱体的体积公式; 令 S′=0,得锥体的体积公式. 值得注意的是在教学过程中,要重视发挥思考和探究等栏目的作用,培养 学生的类比思维能力,引导学生发现这些公式之间的关系,建立它们的联系.本 节的重点应放在公式的应用上,防止出现:教师在公式推导过程中“纠缠不 止”,要留出“空白”,让学生自己去思考和解决问题.如果有条件,可以借助 于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生,可以通过制 作实物模型,经过操作确认来增强空间想象能力. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式). (2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. (3)培养学生空间想象能力和思维能力. 2.过程与方法 让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,培养转化化归能 力. 3.情感、态度与价值观 通过学习,使学生感受到几面体表面积的求解过程,激发学生探索创新的 意识,增强学习的积极性. 三、重点难点 教学重点:了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用. 教学难点:表面积和体积计算公式的应用. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 1.在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法 及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积?(引导学生回忆,互相交流,教 师归类)几何体的表面积等于它的展开图的面积,那么,柱体、锥体、台体的 侧面展开图是怎样的?你能否计算? 思路 2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔, 在 1889 年巴黎埃菲尔铁 塔落成前的四千多年的漫长岁月中,胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物. 在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此 之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔,真是一个十分难解的 谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑, 塔底边长 230 米, 塔高 146.5 米, 你能计算建此金字塔用了多少石块吗? (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①在初中,我们已经学习了正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图 (图 1) ,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗? 正方体及其展开图(1) 图1 长方体及其展开图(2) ②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,它们的展开图是 什么?如何计算它们的表面积? ③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积? ④联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且 画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是 r′,r,母线长为 l,你能计算出 它的表面积吗? ⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系? 活动:①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式. ②学生思考几何体的表面积的含义,教师提示就是求各个面的面积的和. ③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状. ④学生思考圆台的侧面展开图的形状. ⑤提示学生用动态的观点看待这个问题. 讨论结果:①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,它们的表

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