江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 微积分基本定理教案 苏教版选修2-2

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修 2-2 教案: 微积分基本 定理 教学 目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积 分 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系, 使学生直观了解微积分基本 定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 重点难 点 教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂, 所以不是求定积分的一般方法。 我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t ) ? o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为 即 ? T2 T1 v(t )dt 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表达, ? T2 T1 v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 ) 而 S ?(t ) ? v(t ) 。 对于一般函数 f ( x ) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有 若上式成立, 我们就找到了用 f ( x ) 的原函数 (即满足 F ?( x) ? f ( x) ) 的数值差 F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [ a, b] 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数 F ( x ) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则 ? b a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) ? b a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 证明:因为 ? ( x ) = F ( x) - ? ( x) =C( a ? x ? b ) 其中 C 为某一常数。 令 x ? a 得 F ( a ) - ? ( a ) =C,且 ? ( a ) = 即有 C= F ( a ) ,故 F ( x) = ? ( x ) + F ( a ) ? x a f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故 ? a a f (t )dt =0 ? ? ( x) = F ( x) - F (a ) = ? f (t )dt a x 令 x ? b ,有 ? b a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用 F ( x) |b a 表示 F (b) ? F (a ) ,即 ? (1) b a f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a) 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。 例 1.计算下列定积分: 3 1 1 dx ; (2) ? (2 x ? 2 ) dx 。 1 x 1 x 1 ' 解: (1)因为 (ln x ) ? , x 21 2 所以 ? dx ? ln x |1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 。 1 x 1 ' 1 2 ' (2) )因为 ( x ) ? 2 x, ( ) ? ? 2 , x x 3 3 3 1 1 所以 ? (2 x ? 2 )dx ? ? 2 xdx ? ? 2 dx 1 1 1 x x 1 3 1 22 3 ? x 2 |1 ? |1 ? (9 ? 1) ? ( ? 1) ? x 3 3 ? 2 例 2.汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/秒 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时,汽车速度 v0 =32 公里/小时 2 32 ? 1000 米/秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当汽车停 3600 8.88 ? 4.93 秒 住时,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= 1.8 = 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 s?? 4.93 0 v(t)dt ? ? 4.93 0 1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) 2 0 4.93 ? 21.90 米 , 即在刹车后 , 汽车 需走过 21.90 米才能停住. 课外作业 教学反思

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