常用逻辑用语

“常用逻辑用语”简介
北京师范大学 郭玉峰 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质,无论是进行思 考、交流,还是从事各项工作,都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。在 本模块中,学生将在义务教育阶段的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语 在表述和论证中的作用, 利用这些逻辑用语准确地表达数学内容,从而更好地进 行交流。 一、内容与要求 1.命题及其关系 (1)命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。 ②理解必要条件、 充分条件与充要条件的意义, 会分析四种命题的相互关系。 (2)简单的逻辑联结词 通过数学实例,了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义。 (3)全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义。 ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 与以往“教学大纲”相比,现在新增了“全称量词语与存在量词”的内容, 更加重视了对意义的理解以及通过数学实例或生活中的实例理解相关概念, 如要 求“理解必要条件、充分条件与充要条件的意义”“通过数学实例,了解逻辑联 、 结词“或” “且” “非”的含义”“通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词 、 与存在量词的意义” 。

二、内容安排及说明 1.本章有四节内容,共 8 课时,具体分配如下(供参考) : 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联接词 1.4 全称量词与存在量词 约 2 课时 约 2 课时 约 2 课时 约 2 课时
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2.本章知识框图 常用逻辑用语

命题及其关系

充分条件与必 要条件

简单的逻辑 联结词(且、 或、非)

全称量词和 存在量词

3.对内容安排的说明 (1) 命题、 四种命题及其相互关系是逻辑学的基础知识。 数学学科包含了大量的命题, 了解命题的基础知识,认识命题的相互关系,对于掌握具体的数学学科知识很有帮助。教科 书规定“可以判断真假的陈述句叫做命题” ,并通过具体实例说明了判断一个语句是否是命 题的依据: “陈述句”和“可以判断真假” 。通过对“若 p,则 q”形式命题的条件和结论的 讨论,认识了四种命题;通过对四种命题的条件和结论之间关系的讨论,认识了四种命题的 相互关系;通过对“若 p,则 q”形式命题真假性的讨论,认识了充分条件和必要条件,并 通过命题条件与结论间的相互推出关系,认识了充要条件。 (2)认识了命题,教科书接着介绍命题间的联接词“或”“且”“非” 、 、 。这些联结词 含义和用法的介绍,都是通过学生熟悉的数学实例讲授的,以使学生理解其含义,体会表述 的准确性和简洁性,避免对其含义和用法的机械记忆和抽象解释。 (3)对于某些含有变量因而无法判断其真假的语句,如果对变量加以限制,这些语句 就可以成为命题了。教科书介绍了对变量加以限制的两类量词:全称量词和存在量词,指出 判断全称命题和特称命题真假的方法, 并介绍了如何对只含有一个量词的全称命题和特称命 题进行否定。对此,旨在让学生体会全称量词和存在量词的意义,能正确地对含有一个量词 的命题进行否定。 (4)对“命题及其关系”“简单的逻辑联结词”“全称量词与存在量词”三部分内容 、 、 的介绍,可以让学生更清除的认识数学中大量存在的命题,学会分析命题的条件与结论,认 识四种命题以及借助几个简单逻辑词联结的命题间的关系, 体会逻辑用语表述数学内容的准 确性和简洁性。 通过判断由逻辑联结词联结的命题的真假或含有量词的命题的真假, 可以帮 助学生进一步体会逻辑联结词以及全称量词与存在量词的意义, 体会命题之间的关系。 要让 学生体会到三部分内容之间的联系,而不是孤立的学习和机械记忆。 (5)本段内容相对较为刻板、传统,为提高学生学习的兴趣,教科书采用了大量的数
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学实例,注重了知识间的前后联系,给学生提供了充分的思考和探究的空间。如结合串联、 并联电路理解逻辑联结词 “且” 、 “或” 的含义, 结合串联、 并联电路的接通和断开理解 “且” 、 “或”联结的命题的真假;类比集合的“交” “并” “补”运算理解逻辑联结词“且” “或” “非”等。各部分内容的编排,一般是按照思考、探究、发现、归纳总结,最后给出数学结 论的形式展开的,结合大量的数学实例,按照这种以学生为主体的思路设计的内容安排,可 以增进本段内容的亲和性, 增强学生学习本段内容的兴趣, 更好的体会和理解本段内容的含 义以及实际意义, 提高学习本段内容学习的兴趣, 以使看似枯燥无味的内容能变得津津有味 起来。 4.本章的重点和难点 (1)本章内容的重点是命题及其关系,充分条件、必要条件、充要条件的意义,逻辑 联结词“或” “且” “非”的含义,全称量词与存在量词。 (2)本章的主要难点是理解必要条件的意义,能正确的对含有一个量词的全称命题或 特称命题进行否定。 对于充分条件,学生较易理解,对于必要条件概念的理解则是难点。学生往往不清楚由 p 推出 q, p 是 q 的充分条件, 则 为什么 q 又成了 p 的必要条件了?这儿的必要性怎么理解? 为此, 教科书在边框中引入与不等式有关的例子, 帮助学生从原命题与逆否命题的等价性角 度去理解必要条件。 对含有一个量词的命题的否定,学生也会出现一些逻辑错误。如错误的认为教科书 P26 的探究 1 中“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形” ;错 误的认为 P27 的探究 2 中“某些平行四边形是菱形”的否定是“某些平行四边形不是菱形” 等。对于这些学生易犯的逻辑上的错误,教学中要引起重视,这关系到学生对相关命题的认 识,并可能影响到后来的相关命题的证明,如从逆否命题的角度去证明一个命题,就涉及到 对这个命题结论的正确否定。 为避免这些逻辑上易犯的错误, 教科书是通过大量的实例帮助 学生去理解量词的含义以及对它们的正确否定。 三、编写中考虑的几个问题 1.通过大量数学实例的介绍,加强对基本概念意义的理解 在大量的数学实例的基础上,思考、探究、分析、发现,最后总结概括出相关概念和 知识,是本章内容的突出特色。本章内容,重在让学生通过对常用逻辑用语的学习,体会运 用逻辑用语在表述和论证中的作用, 能用这些逻辑用语准确地表达数学内容, 更好地进行交 流。为此,教科书在安排内容时,就突出了让学生领会这些常用逻辑用语的含义,从而更好 的运用这些常用逻辑用语的这一目的。本章内容与学生日常生活中的某些概念有一定关联,
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但就在数学上的运用和含义还有一定差别, 因此数学中如何正确理解和运用这些常用逻辑用 语,是本章的关键也是较难处理的,为此,教科书是从大量的丰富数学实例出发,来帮助学 生认识数学中的这些常用逻辑用语的含义的。例如,对“命题”概念的阐述,就是通过总结 6 个数学例子的基础上概括得出的;对于四种命题及其关系,也是通过对命题“若 f(x)是正 弦函数,则 f(x)是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论,达到对四种 命题及其关系的认识;逻辑联结词“或” “且” “非”含义和用法的介绍,也是通过学生熟悉 的数学实例讲授的;学习完命题及命题的否定后,教科书又安排了丰富的实例,使学生了解 生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在量词) ,并通过例子说明如何对含有一 个量词的命题进行正确地否定。 2.给学生提供充分的思考、探究的空间 这样的编写意图贯穿本章内容始终。由于本章内容较为传统,引用的数学实例很多是 学生熟悉的,如何在学生熟悉的内容基础上,激发学生学习的兴趣,引发探究知识的欲望, 体会本章知识内容学习的重要性和实际意义, 是教科书设计的一个重点。 本章突出了对数学 实例进行“思考、探究、发现、总结规律、得出结论、实际运用”的特点,从第一节“命题 及其关系”中关于“命题”概念的学习,就体现了这一特点。教科书首先展示了 6 个学生熟 悉的数学表述形式, 让学生观察并思考这些表述形式有什么特点, 说明能否判断它们的真假, 然后归纳总结出这些表述形式的共同特点: 是陈述句, 可以判断真假, 给出命题的数学定义, 然后运用定义,判断例题中的语句哪些是命题,是真命题还是假命题。随后的四种命题及其 关系的学习,也是通过这样的方式展开,先观察四个命题,思考这四个命题的条件和结论的 关系,然后发现、归纳出什么是互逆、互否、互为逆否命题,发现四种命题的相互关系。逻 辑联结词“或” “且” “非”也是选取学生熟悉的命题,观察思考这些命题间的关系,引出逻 辑联结词,体会借助逻辑联结词联结得到一个新命题的过程,激起思考和探究的欲望。 3.强调数学知识间的前后联系 本章知识内容的学习注重了几个方面的联系: (1)新内容的学习建立在大量的学生已 经学过或熟悉的数学实例的基础上,也即联系已学过的数学实例学习新内容; (2)联系物理 中的串联、并联电路及其开通情况,更加形象地理解和学习逻辑联结词“且” “或”的含义 及判断由它们联结的命题的真假,体会新知识内容的含义; (3)联系并类比集合“交” “并” “补”运算,进一步体会逻辑联结词“且” “或” “非”的含义,以及由它们联结得到一个新 命题的过程。通过前后知识内容的关联,使学生更好的理解新知识,体会新知与旧知间的联 系及新知识的运用。 4.注重数学符号语言的运用 大量的借助符号语言表述数学内容, 也是本章的特色之一。 符号语言作为数学的基本语 言,具有表述的简洁、准确的特点。如对四种命题的符号表示能帮助我们更加清楚地认识四 种命题及其相互关系;对充分条件、必要条件、充要条件的符号表示有利于我们认识条件和 结论间的推出关系; “或” “且” “非”以及全称量词与存在量词的符号表示,也使我们看到 了符号语言运用的方便、准确及便利的特点。本章借助大量的符号语言,使我们进一步体会 了运用常用逻辑用语表达和交流的简洁与准确。 四、对教学的几个建议
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1.避免追求概念的形式化定义,忽视对概念意义的理解。 课程标准中明确提出, “注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用 语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。 避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释” 。与以往教材相比,本章内容呈现注重了通过对实 例的思考、探究、发现、归纳总结,最后得出相关概念的特点,这样的设计意图是力求突出 学生学习的主体地位,体现通过学生自己的探究和发现,体会新概念意义的课程设计理念。 教学中要充分领回教材的这种编写意图, 要结合数学或生活中的实例, 让学生充分体会新概 念的意义。如对“命题”的概念,教材改变了给出“命题”概念,然后让学生对相关例题做 出判断的呈现方式,而是先给出具体例子,让学生去发现、归纳,得出“命题”概念,再运 用得出的概念做判断的方式,教学中要给学生有发挥的空间,也就是在学生得出“命题”概 念前,要对给出的 6 个具体例子有充分的发现、思考的空间,要允许学生有不同的见解和看 法,最后归结到“命题”的概念。新概念的得出是学生在充分酝酿、感受的基础上得出的, 是学生充分感受其意义的基础上自己总结出来的。 总之,教学中要避免“形式的”理解概念,而忽视对概念意义的理解。要注意通过实 例让学生去理解概念,同时要给学生充分的思考、探究的时间和空间,避免“概念+例题” 的形式化教学,避免教学中的“灌输” 。 2.联系日常生活实例或已有知识学习新内容。 除了教科书中给出的实例,实际教学中可以适当增加相关的生活实例进行学习,同时 注意联系已有知识学习新内容。如对本章学生理解较为困难的“充分条件” “必要条件”概 念的学习,由于它们与日常生活中的“充分” “必要”的意义相近,教学中可以适当给出一 些生活中的例子以帮助学生理解。对逻辑联结词“或” “且”的理解,可以借助并联、串联 电路理解等。 3.注意自然语言、文字语言、符号语言三者的结合运用。 教学中鼓励学生用这三种语言描述对新概念的理解。自然语言也就是让学生用自己的 话陈述对一个概念的理解, 以此检验学生对这个概念的理解与否以及理解程度, 而不是形式 的去背教科书中的界定, 实际不理解这个概念的真正含义; 文字语言可以帮助学生进一步精 确、形式化的严谨表述这个概念,以达到对这个概念的给为准确理解;符号语言则可以达到 对这个概念的简约化理解,以符号的形式简洁、准确的表述概念。教学中要注意这三种语言 的结合运用,以达到对新内容的准确、深刻理解。

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