广西钦州市钦州港经济技术开发区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理

广西钦州市钦州港经济技术开发区 2016-2017 学年下学期期中考试

高二理科数学试卷

(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.袋中有大小相同的 5 只钢球,分别标有 1、2、3、4、5 五个号码,有放回地依次取

出两个球,设两个球号码之和为随机变量 X,则 X 所有可能值的个数是( )

A.25

B.10

C.9

D.5

2.在比赛中,如果运动员 A 胜运动员 B 的概率是23,那么在五次比赛中运动员 A 恰有三

次获胜的概率是( )

A.24403

B.28403

110 C.243

20 D.243

3.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =i)=c·???23???i,i=1,2,3,则 c=(

)

A.1378

B.2378

17 C.19

27 D.19

4.若随机变量 ξ ~B(n,0.6),且 E(ξ )=3,则 P(ξ =1)的值是( )

A.2×0.44

B.2×0.45

C.3×0.44

D.3×0.64

5.甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件 A=“三个人去的景

点不相同”,B=“甲独自去一个景点”,则概率 P(A|B)等于( )

4

2

A.9

B.9

C.12

D.13

6.甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题,如果三人分别完成的概率依次是 p1、p2、 p3,那么至少有一人解决这道题的概率是( )
A.p1+p2+p3 B.1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)

C.1-p1p2p3 D.p1p2p3 7.从一批含有 11 只正品,2 只次品的产品中,不放回地抽取 3 次,每次抽取 1 只,设

抽得次品数为 X,则 E(5X+1)的值为( )

42 A.13

12 B.13

C.4133

D.163

8.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),P(ξ >1)=p,则 P(-1<ξ <0)等于( )

A.12p

B.1-p

C.1-2p

D.12-p

9.甲、乙两人对目标各射击一次,甲命中目标的概率为23,乙命中目标的概率为45,若

命中目标的人数为 X,则 D(X)等于( )

A.28255

B.28265

C.28285

D.28295

10.某校 14 岁女生的平均身高为 154.4 cm,标准差是 5.1 cm,如果身高服从正态分

布,那么在该校 200 个 14 岁的女生中,身高在 164.6 cm 以上的约有( )

A.5 人

B.6 人

C.7 人

D.8 人

11.节日期间,某种鲜花进货价是每束 2.5 元,销售价是每束 5 元;节日卖不出去的鲜

花以每束 1.6 元的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量 X 服从

如下表所示的分布:

X

200 300 400 500

P

0.20 0.35 0.30 0.15

若进这种鲜花 500 束,则利润的均值为( )

A.706 元

B.690 元

C.754 元

D.720 元

12.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为

c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分情况),则 ab 的最

大值为( )

A.418

B.214

C.112

D.16

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确的答案填在题中横线

上)

13.已知事件 A、B、C 相互独立,如果 P(AB)=16,P( B C)=18,P(AB C )=18,那么

P( A B)=________.

14.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下:

ξ

78

9 10

P

x 0.1 0.3 y

已知 ξ 的期望 E(ξ )=8.9,则 y 的值为________.

15.一个学生通过某次数学测试的概率是34,他连续测试 n 次,要保证他至少有一次通

过的概率大于 0.99,那么 n 的最小值为________.

16.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴左侧,其中 a,b,c∈{-3,-

2,-1,0,1,2,3},在抛物线中,记随机变量 X=“|a-b|的取值”,则 X 的均值 E(X)=

________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分 10 分)三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分

别为15、14、13,且他们是否破译出密码互不影响.

(1)求恰有两人破译出密码的概率.

(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由.

18.(本小题满分 12 分)设 S 是不等式 x2-x-6≤0 的解集,整数 m,n∈S.

(1)记“使得 m+n=0 成立的有序数组(m,n)”为事件 A,试列举 A 包含的基本事件;

(2)设 ξ =m2,求 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ ). 19.(本小题满分 12 分)(2013 浙江高考)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,

且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分.

(1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个

球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列;

(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)一个球,记随机变量 η 为取出此球所得

分数.若 E(η )=53,D(η )=59,求 a∶b∶c.

20.(本小题满分 12 分)(福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽

奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得 3

分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结

束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的

概率.

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案

抽奖,累计得分的数学期望较大?.

21.(本小题满分 12 分)(湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安

排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.

一次购物量

1至4件

5至8 件

9至 12 件

13 至 16 件

17 件 及以 上

顾客数(人)

x

30

25

y

10

结算时间(分钟/人)

1

1.5

2

2.5

3

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.

(1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;

(2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该

顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.(注:将频率视为概率)

22.(本小题满分 12 分)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,…,

8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6

元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件.假定甲、乙两厂的产品都符

合相应的执行标准.

(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

X1

5 67 8

P

0.4 a b 0.1

且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值. (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级 系数组成一个样本,数据如下:

3533855634 6347534853 8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买

性?说明理由.

注:①产品的“性价比”

产品的等级系数的数学期望



产品的零售价



②“性价比”大的产品更具可购买性.

参考答案:

一、选择题

1. C2. B3. B4. C5. C6. B7. C8. D9. B10. A11. A12. B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确的答案填在题中横线

上)

13.13

14. 0.4 15. 4

16.

8 9

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(1) 230.

(2)设“密码被破译”为事件 C,“密码未被破译”为事件 D.

D=-A 1-A 2-A 3,且-A 1,-A 2,-A 3 相互独立,则有 P(D)=P(-A 1)·P(-A 2)·P(-A 3)=45×34×23=25.

而 P(C)=1-P(D)=35,故 P(C)>P(D).

∴密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

19 18. (1) (-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2) 6 .

19. (1)

ξ

23

4

5

6

P

11

5

1

1

4 3 18 9 36

(2) a∶b∶c=3∶2∶1.

20.方法一:(1) 1151.

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次为 X2,则 这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期 望为 E(3X2).
由已知可得,X1~B???2,23???,X2~B???2,25???, 所以 E(X1)=2×23=43,E(X2)=2×25=45.

从而 E(2X1)=2E(X1)=83,E(3X2)=3E(X2)=152.

因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

方法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互

不影响.

记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A,

则事件 A 包含“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件.

因为 P(X=0)=???1-23???×???1-25???=15,P(X=2)=23×???1-25???=25,P(X=3)=???1-23???×25=

125,

所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=1115,

即这两人的累计得分 X≤3 的概率为1151.

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获得的累计得

分为 X2,则 X1、X2 的分布列如下:

X1

024

P

144 999

X2

0

3

6

P

9

12

4

25 25 25

所以 E(X1)=0×19+2×49+4×49=83,

E(X2)=0×295+3×1225+6×245=152.

因为 E(X1)>E(X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

21. (1) 1.9.(2) 890.

22. (1)因为 E(X1)=6,所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即 6a+7b=3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5.

由?????6aa++b7=b=0.35.,2, 解得?????ab= =00..32,.

(2)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2

3

4

5

6

7

8

f

0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布 列如下:

X2

3

4

5

6

7

8

P

0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1

所以 E(X2)=3×0.3+4×0. 2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙厂产品 的等级系数的数学期望等于 4.8.

(3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为66=1.

因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为44.8=

1.2.

所以乙厂的产品更具可购买性.


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