高中物理竞赛教程:2.2《光的量子性》

§ 2.2 、
2.2.1 、光电效应

光的量子性

某些物质在光(包括不可见光)的照射下有电子发射出 来,这就是光电效应的现象。利用容易产生光电效应的物质制成 阴极的电子管称为光电管。
图 2-2-1 所示的电来研究光电效应的规律。实验发现了光电效应的如 下规律:
?9 光电效应过程非常快, 从光照到产生光电子不超过 10 s ,

v

I

EKm
V A O

I m2 I m1

2 1

v0

v
O
P

图 2-2-1

停止光照,光电效应也立即停止。 各种材料都有一个产生光电效应的极限频率 v0 。入射光 的效率必须高于 v0 才能产生光电效应;频率低于 v0 的入射光,无 论其强度多大,照射时间多长,都不能产生光电效应。不同的物 质,一般极限频率都不同。 逸出的光电子的最大初动能可以这样测定,将滑动变阻 器的滑片逐渐向左移动,直到光电流截止,读出这时伏特表的读 数即为截止电压 U 。根据动能定理,光电子克服反向电压作的功

等于动能的减小,即
eU ? 1 2 mv m 2

实验结果表明,当入射光频率一定时,无论怎样改变入 射光的强度,截止电压都不会改变;入射光频率增大,截止电压 也随着呈线性增大。这说明,逸出的光电子的
最大初动能只能随入射光频率增大而增大,与入射光强度无关。最大 初动能与入射光频率的关系如图 2-2-1 所示。

在入射光频率一定条件下,向右移动变阻器的滑动片, 光电流的强度随着逐渐增大,但当正向电压增大到某一值后继续 再增大时,光电流维持一个固定图 2-3 值不变,此时光电流达到 饱和。增大入射光的强度 P,饱和光电流也随着成正比地增大。 如图 2-2-1 所示。 2.2.2 、光子说 光电效应的四个特点中,只有第四个特点够用电磁来解 释,其他特点都与电磁场理论推出的结果相矛盾。爱因斯坦于 1905 年提出的光子说,完美地解释了这一现象。 光子说指出:空间传播的光(以及其他电磁波)都是不 连续的,是一份一份的,每一份叫做一个光子。光子的能量跟它 的频率成正比即 E=hv 式中 h 为普朗克恒量。光子也是物质,它具有质量,其 质量等于

m?

E hv ? c2 c2

光子也具有动量,其动量等于
p ? mc ? hv hv ? c c

根据能量守恒定律得出:
1 2 mv m ? hv ? W 2

上式称为爱因斯坦光电效应方程。式中 W 称为材料的逸 出功,表示电子从物而中逸出所需要的最小能量。某种物质产生 光电效应的极限频率就由逸出功决定:
v0 ? W h

不同物质电子的逸出功不同, 所对应的极限频率也不同。 在图 2-3 中,图线与 v 轴的交点 v0 为极限频率,将图线 反身延长与 E km 轴的交点对应的数值的绝对值就是 W。图线的斜率 表示普朗克恒量的数值,因此,图示电路还可以用来测定普朗克 恒量。 2.2.3 、康普顿效应 当用可见光或紫外线作为光电效应的光源时,入射的光 子将全部被电子吸收。但如果用 X 射线照射物质,由于它的频率 高,能量大,不会被电子全部吸收,只需交出部分能量,就可以 打出光电子,光子本身频率降低,波长变长。这种光电效应现象 称为康普顿效应。 当 X 射线光子与静止的电子发生碰撞时,可以用 p 表示 入射光子的动量,代表散射光子的动量, mv代表光电子的动量。

则依据动量守恒定律,可以用图 2-2-4 表示三者的矢量关系。由 于
p? hv c ,所以

(m v) 2 ? (

hv 2 hv ? 2h 2 ) ? ( ) 2 ? 2 ? vv ? ? cos? c c c
h?

mv
p

由能量守恒定律得出:
mc2 ? hv? ? m0 c 2 ? hv

p?

式中 m0 表示电们的静止质量,
图 2-2-4

m 表示运动电子的质量,有图
2-4
m? m0 v 1 ? ( )2 c

联立上述各式,并将

??

c v 代入整理得

?? ? ? ? ? ? ?

h ? (1 ? cos? ) m0 c

2.2.4、光压 光压就是光子流产生的压强,从光子观点看,光压产生 是由于光子把它的动量传给物体的结果
p ? (1 ? ? )

?
c

? 为入射光强, ? 为壁反射系数。

2.2.5 、波粒二象性 由理论和实验所得结果证明, 描述粒子特征的物理量 ( E,

p)与描述波动特征的物理量( v, λ )之间存在如下关系。

E ? hv

p?

h

?

事实上,这种二象性是一切物质(包括实物和场)所共 有的特征。 例 1、图 5-1 中纵坐标为光电效应实验中所加电压( U) , 横坐标为光子的频率( v) 。若某金属的极限频率为 v0 ,普朗克恒 量为 h,电子电量为 e,试在图中画出能产生光电流的区域(用斜 线表示) 。 分析:在 U-v 图第一象限中能产生光电流的区域,可根 据极限频率 v0 很容易地作出。关键在于如何确定第四象限中能产 生光电流的区域,但我们可以利用爱因斯坦的光电方程找出这一 区域。
U

解:爱因斯坦的光电方程
m v2 ? hv ? W 2 .



O

v

根据极限频率 v0 可知 W ? hv0 ②

图 2-2-5

m v2 由于光电子具有最大初动能为 2 ,则它可克服反向电

压作功为 Ue ,故有图 5-1
m v2 ? Ue 2

U A


O

B v0 C 图 2-2-6

v

将②、③式代入①式可得
Ue ? hv ? hv0

Ue ? h(v ? v0 )
U h ? v ? v0 e

此即为图 2-2-5 中 BC 斜率的绝对值。据此可作出图 2-2-6,图中画有斜线区域即为能产生光电流的区域。
?7 例 2、一光电管阴极对于波长 ? ? 4.91? 10 m 的入射光,发

射光电子的遏止电压为 0.71V ,当入射光的波长为多少时,其遏
?19 止电压变为 1.43V?(电子电量 e ? 1.6 ? 10 C ,普朗克常量

h ? 6.63? 10?34 J ? s ) 。

1 mv 2 ? hv ? W 2 分析:根据爱因斯坦的光电方程 ,可知,当

加在光电管上的反向电压达到一定值时可有 Ue=hv-W,此时光电 管无光电流产生,这个电压 U 即为遏止电压。知道了遏止电压 U 即可由光电方程求出逸出功 W。对于一个光电管,它的阴极逸出 功 W 是不变的,因而也可利用 W 求出对应不同遏止电压的入射光 的频率(或波长) 。
Ua ? (hv ? W ) e ,式中 U a 为遏止电压, W 为

解:光电方程为

阴极材料的逸出功, v 为入射光的频率。设所求入射光的波长为
? ? ,将 ? 和 ? ? 两次代入光电方程,消去逸出功 W ,得
0.71 ? 1.43 ? hc ( 1 ? 1 )/e ??

?

代入数据得

? ? ? 3.8 ? 10?7 m

例 3、一波长为 ?i 的光子与一运 动的自由电子碰撞。碰撞的结果使电子变

?i ?
2-2-7

?0

0 为静止,并且波长为 ?0 的光子在与原先方向的夹角为 ? ? 60 的方

向上前进。此光子员另一静止的自由电子碰撞,然后以波长
? j ? 1.25?10?10 m 的光子前进,其方向在碰撞后改变了 ? ? 600 。计算

第一个电子在碰撞前的德布罗意波长。 (普朗克常数
?31 h ? 6.6 ? 10?34 J ? s ,电子质量 me ? 9.1?10 kg ,光速 c ? 3.0 ? 108 m ? s ?1 )

分析:此题需运用能量守恒与动量守恒求解,但必须应 用相对论作必要的变换。 解:对第一次碰撞,能量守恒定律为
hv0 ? hvi ? Ee

① 式中 v 是光子的频率, Ee 是电子的能量。在波长为 ?0 的光子的出 射方向,以及在与它垂直方向上写出动量守恒定律(见图 2-2-7) 分别为

h

?0

?

h

?i

cos? ? pe cos? ,0 ?

h

?i

sin ? ? pe sin ?

式 pe 是电子的动量。 从上述两方程消去 ? ,并把 λ 写成 c/v ,有
2 2 (hv0 ) 2 ? (hvi ) 2 ? 2h 2 v0 vi cos? ? pe c

② 利用相对论关系
2 c 2 pe ? Ee ( Ee ? 2me c 2 )

③ 以及方程①和②得
vi hvi (1 ? cos? ) ? 1 me c 2

v0 ?

④ 变换后得
? 0 ? ?i ?
h (1 ? cos? ) me c

⑤ 对第二次碰撞可作同样的计算,得如下结果

?0 ? ? f ? ?

h (1 ? cos? ) me c

⑥ ⑤⑥两式相减,得
?i ? ? f
?10 两次碰撞是类似的,利用⑤式得 ?0 ? 1.238?10 m 。

分别利用①和③式,可算出电子的能量和动量为
Ee ? hv( 1 ? 1 ) ? 1.56 ? 10?17 J , pe ? 2.84 ? 10?48 kg ? m / s

?0

?i

第一个电子的波长为

?e ?

h ? 1.24 ? 10?10 m pe 。

例 4、一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为

P=1000W ,射出的光束截面积为 A=1.00mm2。试问:
(1) 当该光束垂直入射到一物体平面上时, 可能产生的光 压的最大值为多少? (2) 这束光垂直射到温度 T 为 273K,厚度 d 为 2.00cm 的 铁板上,如果有 80% 的光束能量被激光所照射到的那一部分铁板 所吸收,并使其熔化成与光束等截面积的直圆柱孔,这需要多少 时间? 已知,对于波长为 λ 的光束,其每一个光子的动量为

k=h/λ ,式中 h 为普朗克恒量,铁的有关参数为:热容量
3 ?3 K ,熔解 c ? 26.6 J ? mol?1 ? K ?1 ,密度 ? ? 7.90?10 kg ? m ,熔点 Tm ? 1798
4 ?1 ?3 热 Lm ? 1.49?10 J ? mol ,摩尔质量 ? ? 56?10 kg 。

分析:光压即光对被照射物产生的压强,而求压强的关 键在求出压力。利用动量定理,可由光子的动量变化求出它对被 照射物的压力。 解:(1) 当光束垂直入射到一个平面上时,如果光束被完 全反射,且反射光垂直于平面,则光子的动量改变达最大值
?k ? k ? ( ? k ) ? 2 k ? 2h

?

① 此时该光束对被照射面的光压为最大。设单位时间内射到平面上 的光子数为 n,光压 p 的数值就等于这些光子对被照射面积 A 的 冲量(也就是光子动量的改变量)的总和除以面积 A,即
p? 2h n ? ? A


hv ? hc

每个光子的能量为 为光的频率,因而

? ,这里 c 为真空中的光速, v

n?

P ? P? /(hc ) hv

于是,由②式

p?(

2h P? 2P )( )/ A ? ? 6.67 Pa ? hc cA

(2) 激光所照射到的质量为 M 那一小部分铁板在熔化过 程中所吸收的热量为
M

Q?

?

(c ? ?T ? Lm ) ? P ? t ? 80%

所以

t?

M

?

(c?T ? Lm ) /(80% P) ?

Ad?

?

(c?T ? Lm ) /(80% P) ? 0.192s


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