高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.2 奇偶性课后提升作业 新人教版必修1

课后提升作业 十二 奇 偶 性
70 分)

(45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2016·温州高一检测)函数 f(x)= A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 【解析】选 B.因函数 f(x)= = =f(x),故 f(x)为偶函数. ) (

)

的定义域为 R,且 f(-x)=

2.下列函数是偶函数的为 ( A.f(x)=|x-3| B.f(x)=x +x C.f(x)=x -x D.f(x)=
2 2

【解析】 选 D.A, B, C 选项中的定义域均为 R, 但 f(-x)≠f(x), 所以都不是偶函数, 只有选项 D 中 f(-x)=f(x) 且定义域关于原点对称. 3.(2016·济南高一检测)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时 f(x)=x(1-x),当 x<0 时,f(x)= ( A.-x(x-1) C.x(x-1) 【解析】选 D.当 x<0 时,-x>0, 所以 f(-x)=-x(1+x), 又 f(x)为 R 上的奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 即-f(x)=-x(1+x), 所以 f(x)=x(1+x). 4.f(x)=x + 的图象关于 (
3

)

B.-x(x+1) D.x(x+1)

)
-1-

A.原点对称 C .y=x 对称 【解析】选 A.由于 f(-x)=(-x) +
3

B.y 轴对称 D.y=-x 对称 =-

=-f(x),所以 f(x)是奇函数,故其图象关于原点对称. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且有 f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是 ( A.f(-1)<f(3) C.f(3)>f(2) B.f(0)<f(5) D.f (2)>f(0) )

【解析】选 A.f(x)为偶函数,所以 f(-1)=f(1),又 f(3)>f(1),所以 f(3)>f(-1)成立. 6.(2016·郑州高一检测)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,f(x)-g(x)=x +x +1,则 f(1)+g(1)= ( A.-3 ) B.-1 C.1 D.3
3 2

【解析】选 C.把 x=-1 代入已知得 f(-1)-g(-1)=1,所以 f(1)+g(1)=1. 7.若 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax +bx +cx ( A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函 数 D.既是奇函数又是偶函数 【解析】选 A.因为 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x),即 ax -bx+c=ax +bx+c, 所以 b=0,此时 g(x)=ax +cx(a≠0), 由于 g(-x)=a(-x) +c(-x)=-(ax +cx)=-g(x), 所以 g(x)是奇函数. 8.已知 f(x)=x +ax +bx-5,且 f(-3)=5,则 f(3)= ( A.-15 B.15
7 5 7 5 3 3 3 2 2 2 3 2

)

) D.-10

C.10

【解析】选 A.f(-3)=(-3) +a(-3) +(-3)b-5 =-(3 +a·3 +3b-5)-10 =-f(3)-10=5,所以 f(3)=-15. 【一题多解】 选 A.设 g(x)=x +ax +bx, 则 g(x) 为奇函数, 因为 f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5, 所以 g(3)=-10, 所以 f(3)=g(3)-5=-15. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
-27 5 7 5

9.(2016·佛山高一检测)已知 f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当 x>0 时,f(x)的图象如图所 示,那么 f(x)的值域是 .

【解析】由图象可知,当 x∈(0,2]时,2< f(x)≤3. 因为 f(x)为奇函数,故 f(-x )=-f(x), 所以当 x∈[-2,0)时,有 2<f(-x)≤3, 即 2<-f(x)≤3,所以-3≤f(x)<-2. 所以函数的值域为[-3,-2)∪(2,3]. 答案:[-3,-2)∪(2,3] 【延伸探究】本题条件改为偶函数,则 f(x)的值域如何? 【解析】由图象可知,当 x∈(0,2] 时,f(x)∈(2,3]. 因为 f(x)为偶函数, 故 f(-x)=f(x),所以当 x∈[-2,0)时, 有 2<f(-x)≤3,所以 f(x)∈(2,3]. 故 f(x)的值域为(2,3]. 答案:(2,3] 10.定义在(-∞, +∞)上的函数 y=f(x)在(-∞, 2)上是增函数, 且函数 y=f(x+2)为偶函数, 则 f(-1), f(4), f 的大小关系是 .

【解析】因为 y=f(x+2)为偶函数, 所以 y=f(x)关于 x=2 对称. 又 y=f(x)在(-∞,2)上为增函数, 所以 y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而 f(-1)=f(5),所以 f 答案:f <f(-1)<f(4) <f(-1)<f(4).

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

-3-

11.(2016·济宁高一检测)已知函数 f(x)=

,令 g(x)=f

.

(1)如图,已知 f(x)在区间[0,+∞)的图象,请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内的图象,请说 明你的作图依据. (2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0). 【解析】(1)因为 f(x)= ,所以 f(x)的定义域为 R.又任意 x∈R,都有 f(-x)= = =f(x),

所以 f(x)为偶函数.故 f(x)的图象关于 y 轴对称,其图象如图所示.

(2)因为 g(x)=f

=

=

(x≠0),所以 g(x)+f(x)=

+

=

=1,即 g(x)+f(x)=1(x

≠0). 12.(2016· 福州高一检测)已知函数 y=f(x)(x≠0)对于任意的 x, y∈R 且 x, y≠0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y). (1)求 f(1),f(-1)的值. (2)判 断函数 y=f(x)(x≠0)的奇偶性. 【解析】 (1) 因为对于任意的 x , y ∈ R 且 x , y ≠ 0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,所以令 x=y=1 ,得到 f(1)=f(1)+f(1),所以 f(1)=0,令 x=y=-1,得到 f(1)=f(-1)+f(-1),所以 f(-1)=0. (2) 由 题 意 可 知 , 函 数 y=f(x) 的 定 义 域 为 (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞ ) , 关 于 原 点 对 称 , 令 y=-1 , 得
-4-

f(xy)=f(-x)=f(x)+f(-1),因为 f(-1)=0,所以 f(-x)=f(x),所以 y=f(x)(x≠0)为偶函数. 【能力挑战题】 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), (1)求证:f(x)是奇函数. (2)若 f(-3)=a,试用 a 表示 f(12). 【解析】(1)由已知 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 y=-x 得 f(0)=f(x)+f(-x), 令 x=y=0 得 f(0)=2f(0),所以 f(0)=0. 所以 f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x),故 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)为奇函数. 所以 f(-3)=-f(3)=a,所以 f(3)=-a. 又 f(12)=f(6)+f(6)= 2f(3)+2f(3)=4f(3), 所以 f(12)=-4a.

-5-


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